ANALYSE INDÉTERMINÉE DU PREMIER DEGRÉ
179. L'analyse indéterminée du premier degré est une partie importante de la Théorie des nombres.
Son but est le suivant : Étant données m équations à coefficients entiers, positifs ou négatifs, entre ni -\- n inconnues x, 1,5, . . ., trouver les solutions entières de ces équations, c'està-dire les systèmes de valeurs entières, positives ou négatives de X, y, z, . . ., qui les vérifient.
Nous considérerons d'abord une seule équation à deux inconnues.
Résolution de l'équation ax-\- bj- — c en nombres entiers.
180. On peut supprimer tout facteur, commun à la fois aux coefficients a, b, c, sans altérer les solutions de l'écjuation. Nous admettrons donc que ces coeflicients a, b, c sont premiers entre eux dans leur ensemble {Arit/i., 120).
181. I. Lorsque les coefficients a et b des inconnues x et y ne sont pas premiers entre eux, l'équation ax -{- by ^ c ne peut admettre aucune solution entière.
Lorsque ces coefficients a et b sont premiers entra eux, l'équation admet nécessairement une solution entière.
En eftet, si « et ^ ont un facteur commun k, différent de i, les valeurs entières de x et de y, quelles qu'elles soient, rendront le premier membre de l'équation multiple de /., tandis que le second membre ne pourra remplir cette condition, a, b, c étant supposés premiers entre eux (180).
Soient donc les coefficients a et b premiers entre eux.
Puisqu'on peut toujours changer les signes des deux mem-
De c. — Cours. III. II
102 Ali&ÈBRE SUPÉRIEURE.
bres, il est permis de regarder le coefficient de l'une des incoDiiues, a par exemple, comme [ ositif. On tire alors de l'cqualioii donnée
■ c — bv
On peut toujours eflfectuer la division de deux nombres entiers, (juels que soient leurs signes, de manière que le reste de ia division soit positif {Arilhm., l'22). Remplaçons donc successivement/, dans la relation (i), par les valeurs
et cherchons les quotients correspondant aux diverses valeurs du second membre, de façon que les restes des divisions effectuées soient tous positifs.
Il est facile de voir qu'on parviendra ainsi à une valeur entière de .X, et à une seule.
Admettons, pour un instant, que deux valeurs de y apirarlenant à la suite (2), et que nous désignerons par /' et y", puissent conduire au même reste r. Les quotients étant q' et q" , on aurait alors
c — hy' ■=: aq' -^ r, c — by" = aq" 4- r ;
d'où l'on déduirait, [ ar différence,
a, qui est premier avec b, diviserait alors y" — /'; ce qui est impos>iljle, puisqu'on a, d'après (2),
Tous les restes obtenus sont donc différents. Comme ils sont entiers, moindres que a et que l'on exécute a divisions, il en résulte <|ue l'un d'eux est forcément nul.
Si [3 est la valeur de y qui correspond à ce reste nul, on a
r y. (noml)re entier), d'où
et l'équalion proposée admet la solution entière a; = a, J = (3.
ALGÈBRE SUPÉRfEURE. I 63
182. II. Lorsque l'équation ax-{-by-=zc admet une solution entière, elle en admet une infinité.
Puisqu'on a alors (181)
ay.-{- h'^^= e,
on peut écrire
ax -h bf ^= aoc ~ï- b^,
d'où l'on déduit
Si l'on désigne alors par 0 un entier indétermin'é, positif, négatif ou nul, il suffit que y satisfasse à l'équation
pour que la valeur correspondante de x soit entière comme celle attribuée à/.
Tous les systèmes de valeurs entières de x et de /, qui satisfont à l'équation
ax + by ^ c,
seront donc données par les relations
/ — [3=:a9 et x — 3:=r — 69
ou
7 = |3 + a9 et x ^= y. — b'j,
en faisant parcourir à 9 toute la série des nombres entiers, positifs ou négatifs.
Les valeurs trouvées pour x et pour y forment deux progressions par différence, ilLimitées dans les deux sens {Alg. éléni.. :î22). L'une de ces progressions, celle qui correspond à y, a pour raison le coefficient de x dans l'équation: l'autre, celle qui correspond à x, a pour raison le coefjicient de y; mais l'un des deux coefficients est changé de signe.
183. D'après ce qu'on vient fie dire, la résululiiMi de réf[uation ax -i- by =zc en nombres entiers revient à trouver une seule solution entière de l'équation.
On peut, pour cela, choisir entre trois procédés, que nous allons indiquer successivement.
ALGEBRE SUPERIEURE.
184-. Prem ier procédé, fondé sur l 'emploi des propriétés des fractions continues.
Réduisons la fraction irréductible y? prise positivement en
fraction continue. Cette fraction continue sera limitée (152). P n
Soit 777 lavant-dernière réduite. La dernièi-e sera y En fori> b
niant la différence des deux réduites, nous aurons (160, 161)
c'est-à-dire
a R gR'— 6R ±i b R' ~ mT "~ èlV
aR'— 6l{ = ±i.
Si nous multiplions par c les deu\ membres de celte égalité, il vient
«R'c— 6Rc = ±c.
En comparant ce résultat à l'équation donnée
aœ -\- by = c,
on voit immédiatement qu'on obtiendra une solution entière de cette équation, en posant
x^^:±: R'c et y
Rc.
Toutes les solutions entières seront ensuite données par les
formules (182)
j3:rzpRc + a6, .r = ±: R'c — 6 6».
