ig4.2g
ei, en multipliant par — 8i5 les deux membres de celle égalité,
^r7(27.8i5) — io4(— 2o.8i5)=:8i5.
En comparant ce résultat à l'équation donnée, on voit qu'on obtient une solution entière de cette équation en posant
et
/ = — 2G.blD
Toutes les solutions entières cherchées sont alors comprises dans les formules (182)
/ =: — 1 63oo 4- 77 ^
et
186. Remarque. — On peut d'ailleurs toujours simplifier les relations fournies pai* ce premier procédé, et dans lesquelles les termes indéi)cn(lants de ô contiennent comme facteur le terme tout connu de l'équation proposée.
Prenons la valeur de /, par exemple, et divisons i63oo par 77, en rendant le reste de l'opération moindre que la moitié du diviseur, s'il ne l'est déjà. Le quotient sera alors obtenu par défaut ou par excès, à une demi-unité près (Ariihm., 122, 232). Comme Q est un entier quelconqui;, positif ou négatif, on a le droit de le remplacer par ce quotient pris avec le signe convenable, et l'on est certain d'oi)lenir ainsi pour / niie valeur entière, inférieure en valeur absolue à la moitié du coefficient de x dans l'équation donnée.
i63oo divisé par 77 donne, dans ces conditions, 212 pour quotient et — 24 pour reste, de sorte qu'on a
i63oG=: 77.212 — 24 ou 77.212 = i63oo H- 24.
En faisant (5 := 212 d;»ns la valeur de j, il vient donc
y = — i63oo -h 77.?. 12 r= 24.
l66 ALGÈBRE StPÉRIFXKE.
la même subslilulion dans la valeur de jc conduit à
^ = — 22oo5 H- 104.212 r= 43.
On peut donc prendre pour point de départ la solution entière
j'r=24 et ;r •= 43,
el, pour formules générales plus simples,
/:=24+770 ^^ x = 43 + io49.
Cette première solution entière, où l'une des inconnues a une valeur inférieure à la moitié du coefficient de l'autre inconnue, peut être regardée comme une solution minimum.
187. Deuxième procédé, fondé sur l'existence même d'une solution entière.
Ce procédé ne convient que lorsque l'un des coefficients des inconnues est un petit nombre.
Soit l'équation
En la résolvant par rapport à l'inconnue qui a le plus petit
coefficient, il vient
On est alors certain (181) que, si l'on donne à x les valeurs o, 1,2, 3, l'une des valeurs correspondantes de j sera entière. Pour j; = 3, on trouve
L'équation donnée admettant la solution entière
toutes ses solutions entières sont renfermées dans les formules (182)
oîi 6» désigne un entier quelconque, positif, négatif ou nul.
ALGÈBRE STjPÉRIEUKE. 1 6*7
