Troisième procédé fondé sur une remarque porticulière

Celte remarque, très simple, est la suivante : si, dans l'équation

(1) ax + by =ic,

le coefficient b, par exemple, est égal à i, on a iminédiale-

menl une solution enlière en posant x ^= o et >=:c. Nous

allons ramener le cas général à ce cas pnrliciilier.

Admettons que a soit le plus petit coefficient, et tirons de

l'équation (i)

c — bv

a Divisons c et 6 par a, en prenant les quotients par défaut

ou par cvcès, de manière à avoir des restes plus petits que -

en valeur absolue {Ari'hm., 122) : nous diminuerons la longueur des cale ils, en appli juant toujours celte même simpliiiealiun.

Si l'on trouve

c=:aQ±:R, b ^=aq±r,

la valeur de x deviendra

X =zQ — ny -\ -^ •

Par suite, en désignant par t une nouvelle inconnue, la question est ramenée à trouver une solution enlière de l'équation

±^^ry

c'est-à-dire

(2) at± ry=±\{.

Dans celle équation, les coefficients des inconnues sont le plus petit coefficient de l'équation primitive cl le reste obtenu en divisant le plus grand coefiicienl de l'équation primitive par le plus petit. En opérant sur l'équation (2) comme on vient de le faire sur l'équalion (i), on verra se poursuivre la même loi.

On en conclut immédiatement que les équations auxi-

ALGEBRE SUPERIEL'RE.

liaires successivement obtenues ont toujours pour coefficients des inconnues deux des restes consécutifs qui sont fournis par la recherche du plus grand commun diviseur des nombres a et b.

Comme ces nombres a el b sont, par bypothèse, premiers entre eux, on parviendra donc toujours à un dernier reste égal à I {Arithm., 113), c'est-à-dire à une dernière équation de la forme

mu ■+- i> =:/>.

Cette dernière équation aura pour solution entière « = o et v=p; et, en remontant de proche en proche, on en déduira une solution entière de l'équation proposée.