f-IO^ . ,., IP, r
X — ) on mettrait en évidence le facteur 0 qui entre au di-
, . . , . 5 ( 1 -H 2 ^ ) vidende sans entrer dans le diviseur, en écrivant ,
I -t- 2 1 et l'on poserait seulement ^— = ^'. Le résultat final ne
sérail pas modifié {Arithni., 155).
Résolution de l'équation (i.v-hljf = c en nombres entiers et positifs.
191. Lorstpie a et 6 sont premiers entre eux, ré(|ualion ax -\- b V ^=^ c admet une infinité de solutions entières (182). Nous voulons séparer, parmi ces solutions entières, celles qui sont posi'ires.
Si l'on met en évidence les signes des coeflicients a, b, c, on a à considérer les quatre formes suivantes :
ax -h by =z c, a.v — /) y — c,
a.r -t- b r ----■;— <', ax — by := — c.
La troisième forme exclut évidemment l'existence de solutions positives, et la (luatrièmc forme rentre dans la deuxième; car peu impoite que ce soit le coefficient b ou le
I^o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
coefficient a qui ait le signe moins. Nous garderons donc seulement les deux équations
a ^ + 6 r = c, ax — h y = c.
192. Commençons par la deuxième, et soit iP = a, j=;j3, une solution entière quelconque de celte équation. Toutes ses solutions entières seront renfermées dans les formules
Pour que les solutions soient à la fois entières et positives, il sufiit de donner à Q les valeurs entières qui satisfont aux
inéga'ités
a-\- bf)>o, (3-l-a6>o,
ou telles 'u o ; ait
La seule condition est donc de donner à d les valeurs entières qui surpassent la plus grande des deux limites — t'
— - ) et l'on voit que l'équation ax — by = c admet une infinité de solutions entières et positif es.
193. Passons à l'équation ax + by =^c. Les formules qui donnent ses solutions entières sont
x=^a — bQ, y=:'^'+-a9.
On ne doit donc, dans ce cas, donner à 9 que les valeurs entières qui satisfont aux inégalités
v. — bB>o, |3+a0>o,
ou telles qu'on ait
B<-jy 6>—'-'
L'équation de condition
ncrmet de remplacer ^ par — - h r • On peut donc prendre
' b a ab
et
ab
AJLGÈBKE SlTPÉraEXJKJE. 1^1
pour limites
Par conséquent, les solutions entières et positives de l'équation ax -\- by ^ c sont données par les valeurs entières
de 6 comprises entre les nombres — - et — - h r-
' a a ab
On voit que l'équation ax-\- by =^c peut n'admettre aucune solution entière et positive et que, dans tous les cas, elle n'en admet qu'un nombre limité.
Le nombre de ces solutions entières et positives est d'ail-
ç leurs le quotient entier qui correspond à —r-, différence des ' ab
deux limites trouvées pour 9, ou ce quotient augmenté d'une unité.
Ainsi, si les deux limites étaient 29 | et 38 |, leur différence serait 9 4, et il y a neuf nombres entiers entre les deux limites. Si les deux limites étaient 29 | et 89 t, leur différence serait 9 |, et il y a dix nombres entiers entre les deux limites.
Applications.
194. 1° Indiquer un nombre entier et positif tel^ qu'en le divisant par 7, on trouve pour reste 5, et qu'en le divisant par 12, on trouve pour reste 1 1 .
Si l'on désigne par x et par y les deux nombres entiers et positifs,
quotients du nombre cherché par 7 et par 12, ce nombre admettra les
deux formes
jj; -f- 5 et \%y -I- 1 1.
On doit donc satisfaire, en nombres entiers et positifs, à l'cqualion
7,r -+-5 = I2J -r- 1 1 ou 70: — i2j"=6.
On aura une infinité de solutions (192). On déduit de l'équation j)osée
i2j-t-6 6(27 + 1) ^- ij - ^
Il suffit, pour trouver une valeur de y qui rende entière l'expression — 5 de remplacer j par 1 une des valeurs o, i, 2, 3, 4, 5, 6 (181,
■187). Pour j)- = 3, on a — =1 cl x = 6.
Il en résulte les formules générales
On doit avoir
