ABA, BAB

BAA, BBA.

De C. — Cours. III. 16

ALGEBRE SUPEIUEUUE.

Si l'on ne tient pas compte de l'ordre de succession des événemeiUs simples formant l'événement composé, il n'y a plus que quatre événements composés différents :

AAA, AAB, ABB, BBB,

dont les probabilités sont exprimées par

p\ ip^cj; 3pq^, <y3,

c'est-à-dire par les termes du développement (p-^qy.

On pourrait continuer ainsi de proclie en proche; mais il vaut mieux passer immédiatement à la démonstration générale.

2S8. On peut toujours assimiler les épreuves répétées relatives aux mêmes cliances à des tirages successifs de boules de diverses couleurs contenues dans une urne, la boule extraite étant njetée dans l'urne après chaque tirage, afin que tous soient effectués dans des conditions identiques.

Supposons donc, par exemple, une urne renfermant h boules blanches

et /boules noires. La chance d'extraire une boule blanche serap = 7-^,;

la chance contraire, c'est-à-dire celle d'extraire une boule noire, sera q = , ■> et l'on aura p -h rj = i (244).

Admettons qu'on fasse m tirages successifs ou m épreuves répétées.

D'après la règle des probabilités composées (2i9, 1°), la chance d'extraire d'abord m — n boules blanches, puis ensuite n boules noires, sera le produit de (m — n) facteurs égaux à la probabilité simple/» et de «facteurs égaux à la probabilité simple q, c'est-à-dire /j'"-"ç".

Mais, si l'on ne doit tenir aucun compte de l'ordre de succession des boules blanches et des boules noires, et si l'on demande seulement la probabilité d'extraire en m tirages successifs m — n boules blanches et n boules noires dans n'importe quel ordre, il est clair {'2o[, 287) que cette probabilité sera représentée par le produit/»'"-"^", répété autant de fois qu'on peut faire de combinaisons avec m objets pris m — n à m — n ou n a n (226).

11 résulte immédiatement de là que, si l'on forme la m'^""' puissance du binôme (/>-+- g) ( :2S6;,

(p -f- q)'" = pm^Clp"'-'q-hCf„p"'-^q'- + . . . -h C%p"'-'^ </" ^ . . . -+- C;;i q'",

le premier terme p^ exprime la probabilité d'amener m boules blancJies en m tirages; le deuxième terme Cl,ip"^-^q, la probabilité d'amener

m — I boules blniiclies et i boule noire; le troisième terme Cf„p"'~-q^, la probabilité' d'amener m — 2 boules blanches et 2 boules noires; et ainsi de suite.

Le terme ge'néral (lj,ip"'--'^q" répond à la question posée et exprime la prohabilite' d'amener m — n boules blanches et n boulet noires, en m tirages successifs.

Le dernier terme ^l^q"^ exprime la probabilité d'amener m boules noires.

Remarquons que la somme de toutes ces probabilités est éirale à i. puisqu'on a p -i-^r = i. Et, en eiïet, cette somme représente une certitude (2i4), en ce sens que m tirages successifs no peuvent donner que l'un quelconque des résulials que nous venons d'énumérer.

289. En définitive, en laissant de côté l'urne que nous venons de considérer et les boules qu'elle renferme, si nous appelons p la probabilité d'un événement simple A et q la probabilité de l'événement contraire B, la probabilité de répe'ter, dans m épreuves s:iceessives et identiques, m — n fois l'e'vénement A et n fois l'événement B, est représentée par le terme général du développement {p -+- q)'".

290. Nous avons \u que, si un événement composé pe.it arriver dans plusieurs liypotlièses dont les [)robabililés sont inégales, sa probabilité est la somme des probabilités composées favorables- à l'événement dans chaque hy|)Othèse (2ol).

Par suite, si l'on veut savoir quelle est la probabilité que, dan^ m épreuves répétées, l'événement B, dont la probabilité est q, n'arrive pai plus de n fois (il pourra arriver moins de n fois), il suffit de faire la somme des termes du dévelofipement de (p-hq)"' (288), depuis le premier terme/?'" jusqu'au terme général C'/„p'^-"q'\ qui contient q". Cette même somme exprime quelle est la probabilité que, dans les m épreuves répétées, l'événement A, dont la probabilité est p, n'arrive pas moins de m — n fois (il pourra arriver plus de m — n fois).

291. EXEMPLES. i° D'u/i l'eu de 32 cartes, on tire successivement 5 cartes, qu'on remet chaque fois pour l'épreuve suivante. Quelle al la probabilité d'amener 3 cœurs?

On a ici

Il faut développer {p^qf et prendre le terme du développement qui contient p^ (28S, 289), c'est-à-dire le terme

lo p^(j^= lo — — = 2- = —L-. = 1. ' ' 4' 4' 4" a.-i* 5i2

La probabilité d'amener trois cœurs sur cinq cartes tirées est donc la fraction 4— comprise entre — et —

1° On jette un dé ^ jois de suite, et l'on demande quelle est la probabilité' d'amener l'as au moins deux fols.

On a ici

Il faut développer { p -h qY et faire la somme des termes du développement jusques et y compris celui qui contient p^ (190), c'est-à-dire la somme des termes

La probabilité d'amener l'as au moins deux fois dans quatre jets succès-

î ^ I II

sifs est donc la fraction — ^ comprise entre - et tt • 1296 7 8

292. La somme de tous les termes du développement ûe{p-i-q)"^ est égale à l'unité (288). D'autre part, le nombre des termes du développement ou le nombre des hypothèses relatives à la manière dont l'événement directe! l'événement contraire peuvent se produire dans les m épreuves répétées est égal k m -h i. Far conséquent, à mesure que m ou le nombre des épreuves devient plus grand, les différents termes du développement ou les différentes probabilités doivent décroître, en conservant de certains rapports.

293. Clierchons quel est le plus grand terme du développement de (p^q)'".

On a (239) pour le terme général T„, comparé à celui qui le précède et à celui qui le suit immédiatement,

n p n -hi p

Pour que le terme T„ soit le plus grand terme du développement, il faut qu'on ait à la fois (262)

m — n q et '- <l.

Il en résulte

et

On satisfait évidemment à ces deux dernières inégalités en posant (3) 11^^ = 1.

On voit alors que, si l'on Jait croitre indéfiniment les deux nombres

m — n et n sans changer leur rapport, les termes - et - - tendent ^ t^r ' n n q

vers zéro autant qu'on veut. On ne peut donc satisfaire aux inégalités (2) que par l'égalité (3).

On arrive ainsi à ce résultat remarquable :

En général, quand il s'agit d'un grand nombre d'épreuves répétées, l'événement composé dont la probabilité est la plus grande est celui dans lequel les nombres d'événements simples composants sont dans le même rapport que les probabilités de ces événements.

Par exemple, si l'on tire un très grand nombre de cartes d'un jeu de 32 cartes, en remettant chaque fois la carte tirée, la probabilité d'amener

un cœur est r- ou - , et celle d'amener une carte d'une autre couleur 32 4 est -• On a donc une probabilité plus grande que toutes les autres que

le nombre des cœurs sera à celui des autres cartes tirées dans le rapport de - à -- ou de r à 3.

294. Nous allons chercher à comparer le terme maximum que nous venons de déterminer avec les termes qui le suivent ou qui le précèdent.

Désignons par M le terme maximum et par K un terme placé A- rangs après le terme maximum.

Nous aurons

pm—nqn^

avec

la condition

et

m — rt -4- i)(m —

Leur rapport

se ru

.{ft + /i

m-n-k nn ^-k

2 Î6 ALGÈBRE SLVtr.LKCRE.

On peut poser é\idemmeiit {.^rithm., 188. 190)

m — « := rp et n = rq.

Ea divisant alors par r'^ les deux termes de l'expression (4), co qui ?e fera en divisant par r chacun des facteurs du coefficient fractionnaire, qui sont en nombre égal à k au numérateur et au dénominateur, il viendra

Si l'on fait maintenant croître indéfiniment le nombre des épreuves, m — Il et n croîtront indéfiniment, et il en sera de même de r. L'expression (4 bl^) tendra donc elle-même indéfiniment vers la valeur

c'est-à-dire vers l'unité.

Lorsqu'on multiplie suffisamment le nombre des épreuves, la probabilité exprimée par un terme K du développement de (p -^ ?)"S -^itue k rangs après le terme maximum M, tend donc à devenir égale à la probabilité maximum exprimée par ce terme. La même propriété existe, comme on peut le démontrer d'une manière analogue, pour un terme K' situé k rangs avaxt le terme M.

En résumé, quand on fait croître le nombre des épreuves, les probabilités exprimées par les termes qui se succèdent de K.' à K, K étant d'ailleurs quelconque, mais fixe, vont toutes en se rapprochant autant qu'on veut de la probabilité maximum exprimée par le terme M.

29o. Reprenons l'expression (4) à un autre point de vue. Laissons m et n très grands, mais fixes, et faisons croître k. L'expression (4) peut s'écrire

rp

rp — I rp — 1

rp-(k-

I) ryi-

rq -+- I

rq-\- % rq -}- "i

rq M- k

OU, en décomposant le dernier terme fractionnaire du second membre

de manière à multiplier par -^ chacune des k fractions qui précèdent ce

dernier terme,

K rpq rpq — q rpq — iq rpq — ( k — i)q

M rqp -+- p rqp -\- ip rqp -^3/) rqp -r- hp

On voit alors que les fractions du second membre vont en diminuant de la première à la dernière, puisque leurs numérateurs vont en décroissant et leurs dénominateurs en croissant. Il en résulte que. si on les rem-

ALGEBRE SUPÉraEURE. 247

place toutes par la plus grande d'entre elles qui est la première, on a, leur nombre élant /f,

K / rpq

.M \ rqp -\-

Comme la quantité élevée à la puissance k dans le second membre de celle inégalilé est moindre que l'unité, on peut, en faisant croître sufFisainment /i<w, rendre celle puissance moindre qu'une quandlé donnée 3 {Alg. c'ie'in.^ 336). Il en résulte qu'en prenant k assez grand, on

peut a fortiori rendre — moindre que o.

La même propriété existe, comme on peut le démontrer d'une manière analogue, pour un terme K' situé A- rangs avant le terme M.

Les probabilités exprimées par les termes qui s'éloignent indéfiniment du terme maximum M dans un sens ou dans l'autre sont donc de plus en plus petites par rapport à ce terme.

En rapprochant ce résultat du n''29i, on voit que les termes du développement qui ont, après le terme maximum M, les plus grandes valeurs, s'agglomèrent pour ainsi dire dans son voismage, et que leur somme constitue la plus grosse partie du développement total.

29G. Tout ce qui précède conduit à une proposition fondamentale qu'on doit à Jacques Bernoufxi, qui l'a démontrée dans son Ars conjectandi publié après sa mort, en i7i3, et qui a justement conservé son nom. Elle peut s'énoncer comme il suit :

TtiÉORÈME DE Jacques Bernoulli. — A mesure qu'on multiplie les épreuves concernant un éve'nement simple A et l'événement contraire B, on a une prohabilité toujours croissante que le rapport du nombre des événements A à celui des événements B ne s'écartera pas, en plus ou en moins, du rapport de leurs probabilités respectives p et q, d'une quantité supérieure à une limite donnée ; quelque resserrée que soit la limite indiquée, cette probabilité croissante peut, d'ailleurs, tendre indéfiniment vers l'unité, pourvu que le nombre des épreuves augmente suffisamment.

En effet, représentons par Ti, T2, T3, . . ., T/i-, les termes du développement de ip-^q)"' qui sont distants du terme maximum M, de i, 2, 3, . . . , k rangs, comptés après ce terme. Les termes qui suivent T/^ seront T/,+i, T/,^2, T/,+3, • • -, TaA-,

A mesure qu'on s'éloigne du terme maximum M, le rapport de chaque terme à celui qui le précède Vii en diminuant (29j); le rapport inverse va, par conséquent, en augmentant. On peut donc écrire

Ti ^ T/,.,.1

T2 - Ta4-2 T3^Ta.+3'

246 ALGtBIîE SUPERIEURE.

On en conclut évidemment

i./c l>(--t-i l/lM-2 1^+3

On a aussi, identiquement,

T/t Ta:h-1 -!- Tyt-f-2 -T- Tyt+3 + ■ •

M Si l'on remplace alors, dans le second membre de cette identité, t^t-

par les rapports successifs, tous plus grands, indiqués dans les ini'galités (i), il vient, en simplifiant,

Ta- Ta-+i -+- Tyt-i-2 -1- Ta-(-3 -t- . . . -^ 'l\k

La valeur de A- qui rend ^ plus grand qu'une quantité donnée ^ C29o)

rend donc a fortiori le second membre de l'inégalité (2) plus grand que

cette quantité.

Le terme M, qui renferme /?'"-" et q", a m — n termes après lui; le

terme Ta-, situé A- rangs après M, en aura donc m — n — A après lui.

,, . „ . . , ,. , . , m — n — A Si 1 on désigne par a 1 entier immédiatement supérieur a 7 -,

on pourra partager ces m — n — A termes en a — i groupes de A termes chacun, plus un dernier groupe contenant moins de A termes. Comme les termes considérés à partir de Ti vont en diminuant de l'un à l'autre (29o), la somme des termes de chaque groupe sera nécessairement inférieure à la somme des termes allant de Ti à Ta-. Or, si l'on représente la

quantité donnée k-> aussi grande qu'on veut pour A assez grand, par Na, N sera lui-même aussi grand qu'on voudra et, puisqu'on a, par hypothèse, ^ > Tcj on aura aussi, d'après l'inégalité (2), 1a 6

Ti-f- T.^ T3 + . . .^ Ta> Xï^Ta-^, ^- T/,+2^- Ta+3 + . . .-^ Tu-).

Le premier groupe de A termes après le terme maximum M peut donc être rendu plus grand que Xa fois le groupe de A termes qui vient après Ta- et, a fortiori, plus grand que N fois la somme de tous les termes qui viennent après Ta, puisque les (a — i) groupes de A termes qui suivent Ta: et le dernier groupe contenant moins de A termes et terminant le développement diminuent de l'un à l'autre.

On démontrera, d'une manière analogue, que la somme des A termes qui précèdent immédiatement le terme maximum M, et qu'on peut dési-

gner, en remontant, par T'i , T',, T'^, ..., T^., peut être rendue plus grande que N fois la somme de tous les termes qui précèdent T'^..

Il en résulte que la somme des termes qui vont de T},. à T;^) en laissant môme de côté le terme maximum M, peut être rendue plus grande que N fois la somme de tous les autres termes du développement de

(/; + ry)'«.

Si l'on désigne par Sa- la somme des termes allant inclusivement de TA à T/c et, par R, le reste du développement de (p + qY'^, avant et après, on peut donc toujours prendre A- assez grand pour avoir, en désignant par p une quantité finie,

Sa= NR + p;

ce qui donne, pour le développement entier, l'expression

NU -f- p -i- H.

Mais les probabilités exprimées par T/., .... T'^, T',, Tj, et par Ti. T2, T3, . . ., T/t, sont, pour m assez grand, aussi proches qu'on veut de

la probabilité maximum M (294) qui répond à la condition = -

(2'J3;, c'est-à-dire qui représente la probabilité p que l'événement A se produira m — n fois sur m épreuves répétées.

11 s'ensuit que, si la répartition des événements A et B a lieu conformément aux exposants qui affectent p el q dans l'un des termes de Sacette répartition différera aussi peu qu'on voudra, pour m assez grand, de celle qui donnerait m — n fois l'événement A sur m épreuves,

étant égal à la probabilité p de l'événement simple A.

Or la probabilité que la répartition des événements A et B répondra à l'un des termes de Sa- étant désignée par P, on a évidemment

p NR-^-p '■*"NR

NK -)- ? -f- R p 1

, KR N

Comme, en multipliant suffisamment le nombre m des épreuves, on peut augmenter k<^in et, par suite, NR et N autant qu'on veut, la probabilité P, toujours croissante, tend indéfiniment vers l'unité. Ccst précisément ce qu'on voulait démontrer.

(cherchons, comme application, quelle est la probabilité d'extraire

une figure d'un jeu de 52 cartes, lorsqu'on multiplie les tirages dans

les mêmes conditions. Comme il y a 12 figures, la probabilité pour Tévé-

12 3 nement simple est ^^ = -^7 • D'après le théorème de Jacques Bernoulli.

la probabilité que, pour un très grand nombre de tirages, le rapport du

20O ALGEBRE SUPERIEURE,

nombre de figures tirées au nombre total des tirages ne différera pas de

-X) en plus ou en moins, d'une quantité supérieure à la limite z aussi

resserrée qu on voudra, et restera compris entre -^- — e et -^-t-e, ^ ' ^ i3 i3

cette probabilité approchera de l'unité et, par conséquent, de la certitude

autant qu'on voudra, à la seule condition de multiplier suffisamment les

épreuves.