I .2.3. . .fi
En faisant varier l'entier /j. depuis n jusqu'à m, l'équation (i) deviendra (8il, 843)
1 o{z) = Z„/-"[cos(«a -h w„) -t- is\n{nx — oj^)] 4- ... (i bis) • '
( H- Z,„ /•'" [ cos {ma -+- (o„,) -Y- isin ( m a h- o),,, )].
On aura donc en même temps, en séparant la partie réelle et la partie imaginaire,
P=:Z„/-" cos(rta -- w,j) -+- Z„+i /••'*-^-' cos[. . .] h-. . . — Z,„ /-'" cos ( m a -^- io,„ ),
Q = Z„/''* sin {na-r- «„) ^ Z„+i/-""^* sin [. . .] -h. . . -h Z,„/-'" sin (7?ia — ol),„).
Ces transformations effectuées, il s'agit de prouver que, lorsque le point M décrit une circonférence entière dans le
sens direct, le rapport jr s'annule 2« fo!S, en passant chaque
fois du positif au négatif. Or, il revient au même de dêinonlrer
que le rapport inverse ^^ traverse nn fois l'infini, en passant
chaque fois du positif au négatif.
En divisant membre à membre les deux relations (2), on a
Q Z„ r" sin ( /i a -+- co,; ) ^ Z„^i r^+' sin [ . . . ] -^ . . . -i- Z„, /•"' sin ( moL-^ut ^^' P ~ Znr"' cos(rta-i-a),j -f- Z„+ir«+i cos[. ..]—.. .^ Z^/-'»COS(ma-L.a)
Le rayon /• peut d'ailleurs être aussi petit qu'on veut. Si on le fait tendre indéfiniment vers zéro, on a à /a limite, en négligeant les infiniment petits d'ordres supérieurs (520), ou
bien encore, en remplaçant /• par -, en rendant ensuite les
deux termes de ^ entiers, et en appliquant la règle du
n^Yl^CS"),
/ /s Q sin (/^a -f- o)„) . , .
(4 *:- = ) ; ^ =:tang(«a-^a3„).
P cos ( « a H- co« )
w„, argument du premier coefficient de l'équation (i\ a
ALGÈBRE SUPÉRIEURE, 28g
une valeur fixe, inférieure à 271. Si l'on considère {fig. 02) le cercle trigonométrique ABA'B', où A est l'origine des arcs et BB' le diamètre perpendiculaire au diamètre AA', l'extrémité de l'arc co„ pourra appartenir à l'un quelconque des quatre quadrants et se trouver en i^i, i^^, i^a ou en i^;.
L'arc a doit partir de zéro et croître jusqu'à 27:, pendant que le point M {fig. 5i) parcourt la circonférence GqM pour revenir à son point de départ. Il s'ensuit que l'arc ny. part de zéro et croît jusqu'à inr.. L'origine étant en A, on obtiendra donc les valeurs successives de l'arc ny. + w„ en partant, sur la circonférence ABA'B', de l'extrémité de l'arc co„, et en décrivant ensuite n circonférences qui ramèneront au point de départ. De cette manière, on voit que, quel que soit le quadrant qui contienne l'extrémité de l'arc oi„, on passera toujours n fois en B et n fois en B', dans le sens direct, c'està-dire que la tangente de l'arc variable «a — co„ ou le
rapport— [rapporté au point M {fig- 5i)] traversera in fois
l'infini {Trigon., 23,, en passant toujours du positif au négatif : ce qu'il fallait démontrer.
On voit en même temps que le rapport -^ s'annule m fois
en passant du négatif au positif, c'est-à-dire que le rapport
p inverse ^ traverse in fois l'infini, en passant chaque fois du
négatif au positif; ce qui lui permet de s'annuler ensuite en passant du positif au négatif.
On peut remarquer enfin que -p représente la tangente de
De C. — Cours. IV.
2QO ALGEBRE SUPERIEURE.
l'argument de l'expression imaginaire P—Qi ou de o{z) [836].
1111. En s'appuyant sur ce qui précède, on peut démontrer facilement le théorème de Cauchy, à l'aide de considérations dues à Sturm et Liouville (>).
Les notations étant les mêmes que dans le n° 1110, imaginons dans le plan des axes rectangulaires 0 j? et Oj {fig- 53 un contour fermé quelconque ABCD, qui ne passe par aucun
des points-racines de l'équation o{z) ~^o : le rapport jr aura
une valeur déterminée (1109) en tout point de ce contour. Si l'on suit le contour ABCD dans le sens direct (958), à partit' d'un point quelconque A, de manière à revenir au point de
départ, ce rapport -^ s'annulera ou deviendra infini, chaque
fois que son numérateur P ou son dénominateur Q passera par zéro.
Fig. 53.
Le théorème de Cauchy consiste alors dans cet énoncé :
Théorème de Cauchy. — Désignons par k le nombre de fois
que le rapport jr) en s' annulant et en changeant de signe
passe du positif au négatif; par A', le nombre de fois que et rapport, en s'annulant et en changeant de signe, passe du négatif au positif. Le nombre k ne sera jamais inférieur au nombre k' , et l'excès k — k' ^rr. A sera toujours égal au double 2p. du nombre [i de points-racines ou de racines {égales ou
(') Journal de Mathématiques pures et appliquées, i" série, t. I.
inégales) de V équation o{z) ^= o, qui se trouvent comprises à l'intérieur du contour ABCD.
11 est entendu qu'on laisse de côté les changements de
signes que le rapport ^ peut présenter en passant par l'infini,
et qu'on ne considère pas les valeurs nulles qu'il peut traverser sans changer de signe.
Nous diviserons la démonstration comme il suit :
i" Le théorème étant supposé vrai pour deux contours ABCA, ADBA, liés par une partie commune AB, a lieu nécessairement pour le contour total ADBCA qu'ils constituent, lorsqu'on fait abstraction de la partie commune ( fig. 54).
Fijj. 5^.
Fig. 55.
Soient fz le nombre des racines (égales ou inégales) com- [irises à l'intérieur du contour total et A l'excès k — k' relatif à ce contour. Si \i! et A', \il' et A" représentent les quantités analogues pour les deux contours partiels, on aura, par hypothèse,
A' =2^', A"==2^jl".
Ur, la somme des deux excès A' -h A" est évidemment égale à l'excès A augmenté des deux excès qui répondent au parcours de la ligne commune AB, d'abord de A vers B pour le contour partiel inférieur, et ensuite de B vers A pour le contour partiel supérieur. Ces deux derniers excès étant nécessairement égaux et de signes contraires, d'après Ténoncé incme du théorème, on a simplement
292 ALCEBUE SUPERIEURE.
D'ailleurs, /j. ^x'+^jl"; donc
Arr 2/JL.
Nous n'avons supposé que deux contours juxtaposés. Il est clair qu'o/i peiiL en avoir un nombre quelconque. Si / théorème est vrai pour chacun d'eux, il a encore lieu pnn , leur réunion, à l'exclusion des parties de liaison.
Ainsi, étant vrai {fig- 55) pour les contours i et 2, il aui;i lieu, d'après ce qu'on vient de voir, pour le contour ADBA. Étant vrai pour les contours 3 et f\, il aura lieu également pour le contour BCAB. 11 aura donc lieu finalement pour Ir contour total ADBCA.
2° S'il n'existe aucune racine à l'intérieur du contour considéré, ou si Von a iJ.^=- o. on a aussi A =1 o.
Dans cette hypothèse, il n'existe, pas plus à l'intéricnr du contour donné que sur ce contour, aucun point pour leriuol on ait à la fois P z^ o et Q = o, puisque celte double annulation répondrait à une racine de l'équation o{z' =0. Mais il peut exister des points pour lesquels on ail séparément P :::r o o(^ Q = o. Dans ce cas, on peut partager l'espace enfermé par le contour total en plusieurs parties telles que, sur leur contour ou à leur intérieur, il n'existe, soit aucun point pour lequel on ait P — o, soit aucun point pour lequel on ait Q 11:: 0. Il est permis d'ailleurs, d'après la première partie de la démonstration, de considérer tous les contours partiels ainsi déterminés au lieu du contour total.
Or, si, à l'intérieur d'un contour partiel et sur ce contour, on n'a jamais P = o, on a nécessairement A = o, puisque le
contour jr ne s'annule pas.
Si, au contraire, on a P = o, on n'a jamais Q ;^ o, de sorte que la fonction entière Q conserve toujours le môme signe.
et que le rapport — ne peut changer de signe qu'en s'annulant
avec P, qui changera de signe lui-même. D'autre part, quand on a parcouru complètement le contour partiel considéré, Ic
rapport ^ revient a sa valeur primitive et a son signe primitif. Il en résulte que, s'il s'est annulé k fois en passant du positif au négatif, il s'est annulé le même nombre de fois
k' --: k en passant du négatif au positif (chaque changement (le signe de -F à — étant alors nécessairement suivi d'un clian- -ciiient de signe de — à — ). On a donc
k — k'z=zO
ou
3" S'il existe une seule racine à l' intérieur du contour considéré, d'un ordre quelconque n de multiplicité, le théorème est vérifié, et l'on a ^^in.
Soit { fig. 06) Go le point racine correspondant, à l'intérieur du contour ABCD.
Du point G„ comme centre, avec un rayon G^M suffisamment petit, décrivons une circonférence intérieure au contour ABCD, et relions-la à ce contour par deux coupures ME et NF.
Nous formerons ainsi trois contours juxtaposés, pour chacun desquels le théorème aura lieu.
Fig. 56.
j En effet, le premier contour partiel est MHNFDAEM, pour lequel on a ( 2°) jul = o et A = o.
I Le deuxième contour partiel est MLXHM, pour lequel on a (1110) iJ.-=-n et A= 2/i (A' est alors nul). I La partie commune à ces deux contours est NHAl, et leur 'réunion forme le contour NFDAEMLX.
Le troisième contour partiel est EBCFNLME, pour lequel on a ( 2° ) ,u = 0 et A = G.
La partie commune à ce dernier contour et à la réunion des deux autres est EMLNF.
L'ensemhle des trois contours, en supprimant les parties
communes, conslilue le contour total ABCDA, pour lequel le Ihéorème a lieu (i"i, puisqu'il a lieu pour les trois contourpartiels.
4° Enfin, le théorème a lieu, quel que soit le nombre ci points-racines compris à V intérieur du contour considéré.
Car, si l'on décompose l'espace limité par ce contour total à l'aide de contours partiels juxtaposés tels, que l'intérieur de chacun d'eux ne renferme qu'un seul point-racine, le théorème sera vrai pour chaque contour partiel (3") et, par suite (i" . il sera vrai pour le contour total qui résulte de leur réunion, toute partie commune supprimée.
1112. Nous avons vu (922, 94-7) que les fonctions entières, type des fonctions holomorphes, sont continues dans ie plan des axes et pour toutes les valeurs de la variable. Les zéros d'une fonction entière ou ses points-racines peuvent donc si' trouver distribués dans toutes les parties du plan des axes. Il faut, par conséquent, pour appliquer le théorème de Cauchy aux fonctions entières, au point de vue de l'ensemble de leui s racines, présenter le raisonnement d'une façon spéciale. Au fond, la marche que nous allons suivre est analogue à celle adoptée déjà, et qui nous a permis de démontrer d'une ma nière très simple la proposition préliminaire ( illO), fondement du théorème général.
Soit l'équation algébrique quelconque
(p(z)^P-^Qi = o ou
(i) c;^{z) = k^z"' ~ k,z"^-' -\- k^z"^-^ -^ . . .^ k,„^,Z -^ km^ o.
De l'origine 0 des axes rectangulaires Ox et Or comme centre, décrivons un cercle dont le rayon /• soit aussi grand qu'on voudra. Nous allons chercher combien il y a de racinede l'équation o{z) = o. supposée de degré m, dans l'intérieur de ce cercle qui deviendra le plan des axes pour r t=z oc. Posons la variable
z =: ri^cosa 4- i sina ), et désignons par Zjj, et oijji le module et l'argument du coeffi-
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 2g5
ci ont Au,, en faisant varier l'indice jji. de o à m. Nous aurons
alors (lUO)
/ GJ (;)=-- Z|3/-"'[cos( ma -T- coo) -f- i sin( ma -- Wo)i
j — Z, /-'"-' J cos[(m — I la — w,] ->- /sin[(m — i)a -h w,]!
bis) ' —
I + Z„,i/'[cos(a — oj,„i ) -r- i sin\ oc — w„,i )]
' ^- Z,„ ( cos oi„, — / sin «„, ) .
Il vient, par suite, en séparant la partie réelle et la partie imaginaire,
• = Zo /■'" cos {m a — Wo ) — Z, /•"*-! cos [. . .] . . . - Z„j.-i rcos (a - w„j i i — Z/„ cos a)„,, I^Zo/""' sin(TOa — to^i --Zi /■'"-' sin[...| — ... — Z,„^irsin(a — w,„ 1 1 — Z,„ sinto,,,.
En divisant ces relations membre à membre, il vient, pour
le rapport ^,
Zpr"^ sin(/wa — 'jJqi— ZiT^^» sin [...]-+-... ^Z„,-i;' sin(a-i~a>wi-i) + Z;„ sinoj,,; Zo /•'" cos U« a -t- lOo 1 -- Z I r'"- 1 cos [...]—... — Z,„^i r cos ( a — a);„i) -^ Z„t cos oj,„
Le ra3on /• pouvant être aussi grand qu'on veut, faisons-le croître indéliniment. Nous aurons à la limite, pour r=zœ (712, 5°),
(4) p =:tang(ma — o)o^.
Cette expression ne diffère de celle que nous avons trouvée au n" 1110 que par le changement de nx en ma et de m„ en mq, et aussi parce que /• est infiniment grand au lieu d'être infiniment petit. Il en résulte immédiatement, sans qu'il soit besoin de répéter le même raisonnement, que, lorsque a varie d'une manière continue de o à 27:, c'est-à-dire lorsque la variable z r= X ~ yi ou le point (z) parcourt la circonférence de
rayon mlini en revenant a sa position primitive, le rapport ~
traverse 2 m fois l'infini, en passant chaque fois du positif au
négatif. Le rapport inverse — s'est donc annulé 2 m fois en
passant chaque fois du positif au négatif, et l'on a ici (1111) [fc' est alors égal à zéro]
296 ALGi:iJHE SUPÉRIEURE.
I*ar snile, comme le contour fermé considéré est devenu lo plan des axes et qu'aucune racine n'a pu échapper, louleéqualion ali^éhrique de rlcs^ré m a préchémenl m racim'H.
Nous retrouvons ainsi directement le théorème du n" 1017. comme vérification du théorème de Cauchy.
