ÉLIMINATION PAR LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

Définitions et notions préliminaires.

1113. On appelle fonction entière de plusieurs variables toute fonction qui est entière par rapport à chaque variable considérée isolément. Toute fonction entière de plusieurs variables égalée à zéro est une équation algébrique à plusieurs inconnues.

111 V. 11 est utile de connaître le nombre de terines que peut cnn tenir la fonction entière la plus générale d'un degré finnné.

Considérons d'abord une fonction entière et homogène de degré m, contenant n -^ i variables

Si cette fonction est la plus générale possible de son degré, si elle n'est pas incomplète par le manque de certains termes, elle devra renfermer tous les termes de la forme (sauf les coefficients constants)

la somme des exposants aj-^ a,— «3-1-. . .m- a„M- a„^i devant toujours être égale à m.

298 ALGÈBRE SLPÉRIEURE.

Le noMibie total des termes ainsi figurés est alors celui des combinaisons m à m de n ;- i objets distincts, avec répétition permise de ces objets dans les combinaisons formées (234 et suiv.). Il en résulte que le nombre cberché est celui des combinaisons ordinaires (ou sans répétition) de n -h m objets pris m à m (235 I. On a donc, pour ce nombre,

Si, dans la fonction entière cl liomogène considérée, on suppose maintenant la dernière variable ?/ = i, on obtient la fonction entière et non homogène la plus générale de degré m, contenant n variables, sans que rien soit changé au nombre des termes. La formule (i) fait donc connaître le nombre des termes de la fonction entière la plus générale de degré m, à n variables.

S'il y a. par exemple, deux- variables, on a, en faisant