CHAPITRE VIL
PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS ENTIÈRES. — THÉORÈME DE CAUCHY.
Propriété fondamentale des dérivées des fonctions entières.
1105. Nous avons montré précédemment (722 et suiv.) comment le signe de la dérivée d'une fonction quelconque d'une seule variable était lié, d'une manière générale, avec la croissance et la décroissance de cette fonction, supposée réelle ainsi que la variable.
Nous allons rappeler succinctement cette importante propriété, en considérant une fonction entière et réelle.
Soit f{oc) cette fonction entière, à coefficients réels, et admettons que la variable x soit elle-même réelle.
On a, par définition (534),
Par conséquent, avant de parvenir à la limite qui conduit à la dérivée ou avant de supposer Aa- infiniment petit, on doit avoir
en désignant par a une certaine quantité, fonction de x et de t^x, qui tend vers zéro en même temps que A.r. On déduit de là la relation
Supposons que, pour une valeur donnée de x, f'{x) ait une valeur finie et bien déterminée, différente de zéro. Si l'on fait
284 ALCÈBRE SUPÉRIEURE.
tendre Aa- vers zéro, en le prenant pour infiniment petit principal (515), a tendra aussi vers zéro, et le produit (xA.x disparaîtra devant /'( 07 ) Ax comme infiniment petit d'ordre supérieur (521, 2"). Par conséquent, d'après l'expression (i), l'accroissement A/(^) de la fonction aura le signe du produit/'(^) Ax ou le signe de/'(.r), si l'on convient de prendre l'accroissement Ax de la variable toujours positif, c'est-à-dire si l'on convient de faire croître la variable réelle de — c» à
Si la dérivée f {oc) est positive, l'accroissement Af{x) est aussi positif, et la fonction va en croissant ; si la dérivée f'{x) est négative, l'accroissement Af{x) est aussi négatif, et la fonction va en décroissant.
Ainsi, une fonction f{x), entière et réelle, croit ou décroit à partir d'une valeur déterminée de la variable réelle x, supposée croissante, suivant que sa dérivée f {oc) est, pour cette même valeur de x, positive ou négative.
La réciproque de cette proposition est évidente.
1106. La dérivée f'{x) est une fonction entière et réelle comme /(ii?) [324, 582]. Si elle change de signe, en passant d'une valeur positive ou négative à une valeur négative ou positive, elle traverse nécessairement la valeur zéro (1008\ Pour la valeur correspondante de x, l'accroissement de la fonction /(^) est donc nul, et la valeur de celte fonction demeure stationnaire dans un intervalle infiniment petit (723),
1107. Si, dans le cas d'une fonction entière et réelle, la dérivée est constante (72i), la fonction est du premier degré, et elle est alors constamment croissante ou décroissante, suivant que la dérivée constante est positive ou négative.
En effet, si l'on a
f'(x)^^m ou f'{x)dxTzzmdx,
il vient, en intégrant (766),
f{x) =z mx + C.
Si m est positif et qu'on fasse croître x éc — 00 à +00, f{x) croît elle-même de — co à + 00; si m est négatif, f{x) décroît de -h 00 à — 00.
1108. Nous (levons maintenant chercher quel est le théorème qui remplace le précédent (1105), lorsqu'il s'agit de fonctions et de variahles imaginaires.
Supposons donc une fonction entière o{z), à coefficients réels ou imaginaires, et où la variahle z peut recevoir des valeurs quelconques, réelles ou imaginaires.
En représentant par u la fonction, par x~-yi une valeur quelconque de z, on peut écrire (926)
u:=zcf(z) —- o{jc -^ yi) ^ P — Qi,
P et Q étant deux fonctions connues et réelles de a; et de y. Comme il s'agit d'une fonction entière (93i, 933), les conditions nécessaires pour l'existence d'une véritable fonction ou pour l'existence d'une dérivée bien déterminée sont remplies, c'est-à-dire qu'on a (926)
dP dQ dP__dQ
dx dy ' dy dx
ou I 930), en mettant la variable z sous forme trigonométrique
z = r(cosa -r- i sina),
dr Sa ' dy. dr
P et Q sont alors des fonctions réelles de /• et de a.
Les formules (i) lient les dérivées partielles de P et de Q prises par rapport à r et par rapport à a, et elles permettent, en se reportant au n° llOo, d'énoncer immédiatement ce théorème :
Soit une fonction entière de la variahle imaginaire z-=ir{ cos a — f sin a ) ,
ramenée à la forme u =zo{z) ^^P ^- Qi, où P et Q sont des fonctions entières et réelles de r et de a. Si l'on donne au module r une valeur déterminée et que l'on fasse croître l'argument a d'une manière continue (887), de o à itz, la fonction Q aura, par rapport à oc, une dérivée positive ou négative, c'està-dire croîtra ou décroîtra, tant que la dérivée de P par rapport à r sera elle-même positive ou négative. Au contraire, la fonction P aura, par rapport à a, une dérivée négative ou positive, c'est-à-dire décroîtra ou croîtra, tant que la dérivée de Q par rapport à r sera elle-même positive ou négative.
Théorème de Gauchy.
1109. Ce théorème, indépendammentdeson utilité propre, est extrêmement remarquable. Le lecteur, pour bien comprendre l'exposition qui va suivre, doit se reporter aux notions développées dans le Livre VI.
Considérons une fonction entière et de degré m de la variable imaginaire z—^x-hyi, telle que u := (f{z) =iP -\- Qi, J* et Q étant des fonctions entières et réelles de ce et de r, et admettons que l'équation cp(5)=:ro ait n racines égales à Xq h- j'o /, n pouvant être égal à i .
Déterminons alors, par rapport à deux axes rectangulaires Ox et 0/ {Jig- 5i), le point Go dont les coordonnées sont x^
Fig. 5i.
mz'i
Y /go(zo) y
et/o> c'est-à-dire le point z^z^ x^^-a- y^i-^ puis décrivons du point Go comme centre, avec un rayon /• su ffisamment petit , une circonférence GqM. Nous désignerons par a l'angle formé avec 0^ par le rayon GoM. Cet angle sera nul, quand GoM sera parallèle à 0^, et croîtra lorsque le rayon GcM, se déplaçant toujours dans le môme sens, tournera d'abord de 0^ vers 0/ ou dans le sens direct.
Il est entendu que le rayon /• est tel que, en aucun point de la circonférence GoM, les fonctions P et Q ne sont nulles à la fois, de sorte que, en chaque point M de la circonfé-
p rence, le rapport -^ a une valeur parfaitement déterminée.
Pour que cela ait lieu, il faut et il suffit qu'il ne se trouve sur la circonférence GoM aucun des autres points-racines (1016) de l'équation <p(^) = o, c'est-à-dire que le rayon /• ne soit pas égal à la dislance du point G» à l'un de ces points.
Ainsi, dans tous les cas, le rayon r doit être inférieur à la plus petite des distances du point Gq ou ^o aux autres pointsracines ; ou, ce qui revient au même, il ne doit y avoir qu'un seul point-racine (simple ou multiple) à l'intérieur de la circonférence Go M.
1110. Cela posé, nous commencerons par établir une proposition préliminaire.
Si le point mobile M décrit la circonférence entière pour rei'enir à son point de départ, c' est-à-dire si l'angle oc croit de 2 71, et si, comme on le suppose, la racine qui répond au point Go est une racine multiple d'ordre n, le rapport déter-
miné -^j rapporté au point M, s'annule précisément in fois.
en passant chaque fois d'une valeur positive à une valeur négative.
Soit, en effet,
z=izç)-^ h.
On a, par la série de Taylor étendue aux variables imaginaires (967),
9(..) z=<ï>(^o) - 9' (3o)/^ + cp"(^o) ^i^---
-ha)«(so) o h...+ <p'«(so) ^
Mais, ^0 étant, par hypothèse, racine multiple d'ordre n, on a (1089)
cp(so)=o, cp'(:;o)— o, f{zo)=o, ..., cp^^-i (so) = o,
en même temps que
et il reste simplement
(1) o {z)^0'^{Zo) r, h...+ 9'"(5o) 5— •
Si l'on se meut sur le cercle GoM, /■ et a sont le module et
l'argument de l'accroissement ou de la variable h (875), de
sorte qu'on a
h z= r{ cos a + / sin a ) .
On peut d'ailleurs représenter par Z|j. et oi^j, le module et
l'argument du coefficient
