I .2.6 . . .ni
S'il y a t/ois variables, on a, en faisant n z=z3,
1115. Lorsqu'un système d'équations algébriques contient autant d'inconnues que d'équations, le nombre des valeurs associées des inconnues qui satisfont aux équations ou le nombre des soLVTiOî^s du système est, en général, déterminé.
Supposons, pour fixer les idées, trois équations générales de degrés /», n, p, contenant trois inconnues x, y, z.
Prenons la première. Qu'on puisse ou non la résoudre effectivement par rapport à .r, elle doit donner théoriquement pour cette inconnue (1017) m valeurs x^, x,, . . ., x„i, qui seront fonctions des autres inconnues y et z, regardées comme données. En substituant successivement ces valeurs de j:^ dans les deux autres équations du système, on obtiendra un nouveau système composé de m groupes de deux équations à deux inconnues y et z, l'une de degré n, l'autre de degré /^, et l'inconnue x se trouvera théoriquement éliminée.
En prenant la première équalion de chacun de ces m groupes, laquelle est de degré n, et en la résolvant par rapport à y, z étant regardée comme donnée, on obtiendra chaque fois n valeurs de y, qu'on substituera successivement dans la seconde équation du même groupe, laquelle est de degré p, et l'inconnue y sera théoriquement éliminée.
Ayant trouvé mn valeurs de / en fonction de z, on parviendra ainsi à mn équations de degré p ne contenant plus que l'inconnue z. Chacune d'elles donnera théoriquement p valeurs pour z, de sorte que cette inconnue en admettra en tout m?ip, c'est-à-dire un nombre limité (^). En remontant ensuite de proche en proche, on aura les valeurs correspondantes de y et de x, qui seront en même nombre, puisque les trois inconnues entrent de la même manière dans les équations données. On voit d'ailleurs que, dans chacune des mn valeurs de y en fonction de:;, on doit substituer/? valeurs de 3, ce qui donnera mnp valeurs de /; et que, dans chacune des m valeurs de x en fonction de y et de z, on doit substituer n valeurs de y répondant chacune à p valeurs de ^, ce qui donnera mnp valeurs pour x.
Il résulte de ce qui précède que tout système renfermant autant d'inconnues que d'équations admet, en général, un nombre de solutions égal au produit des degrés des équations proposées.
C'est, sous une forme un peu différente, le théorème important du à Bezout, et sur lequel nous reviendrons.
• 1116. Lorsqu'on a plus d'inconnues que d'équations, il y a indéterm in a t io n .
Car, si l'on a n -v p inconnues et n équations, on rentre dans le cas précédent (lllo) en attribuant des valeurs arbitraires à p inconnues. Les n autres inconnues seront alors obtenues en fonctions de ces /> inconnues, c'est-à-dire qu'elles seront indéterminées comme ces p inconnues elles-mêmes.
(') Les cas d'impossibilité et d'indétermination que nous avons rencontrés en exposant la théorie des équations linéaires (85 et suiv.), dans l'hypothèse où le nombre des inconnues est égal à celui des équations, peuvent avoir lieu à plus forte raison pour les équations de degrés supérieurs; mais, seulement, pour les unes comme pour les autres, lorsque les coefficients des équations générales considérées satisfont à certaines relations spéciales.
3oo
ALGEOnE SrPERIKtRE.
1117. Enfin, on peut avoir moins d'inconnues que d'équations, par exemple, n inconnues et n -^ p équations.
Dans ce cas, en clioisissanl n équations, on peut délermincr les n inconnues (1115), et les valeurs de ces inconnues doivent satisfaire aux p équations restantes. Ces équations ne contenant plus alors d'inconnues deviennent des équations de condition, c'est-à-dire des équations qui doivent être satisfaites d'elles-mêmes, pour que le système proposé soit compatible ( 4lff. élém., 146).
1118. Si l'on a, par exemple, n équations et n — i inconnues, il ne peut y avoir de solutions que si les coefficients des équations sont tels, que l'équation obtenue en éliminant les n — / inconnues entre les n équations données se trouve satisfaite d'elle-même.
L'ensemble des procédés employés alors pour arriver à cette équation de condition constitue la méthode d'élimination suivie; et cette équation elle-même, qui exprime que les équations sur lesquelles on opère sont compatibles, est dite équation finale ou équation résultante. Son premier membre, lorsque le second est égal à zéro, a été appelé par Bezolt le résultant ou Véliminant du système proposé.
1119. Soient deux équations du premier degré
ajc—b = o. a'jc-^b'=zo.
En éliminant j- par voie d'addition et de soustraction ( Alg. élém., 121-) entre ces deux équations, on trouve immédiatement pour équation résultante
ab' — ba' :=z o.
Le résultant des deux équations est donc ab' — ba' .
En opérant ainsi, on sous-entend que les deux équations sont simultanées, c'est-à-dire qu'elles admettent pour a: une même valeur.
Ainsi, l'équation résultante exprime la condition nécessaire pour que les équations dont elle est déduite aient une solution commune.
Soient encore deux équations du second degré
a j?- -i- ^j? -L- c= o, a'jc-— b'.v -^ c' = o.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3oi
On commence par éliminer x'^ de la même manière, ce qui conduit à l'équation
( ab' — ba')x ~ ac — ca' ^=. o.
On en tire
ca — ac'
^ " ab'—ba' ''
et, en substituant cette valeur dans l'une des équations proposées, il vient, pour résultante du système,
\ca' — «c')-= [ab' — ba' ) { bc' — cb' ).
C'est, comme on le sait (99 et Alg. élém., 24G), la condition nécessaire pour que les équations proposées admettent une racine commune,
La méthode du plus grand commun diviseur (1079) pourrait être employée; mais elle serait beaucoup plus pénible.
Plus généralement, si l'on a n équations algébriques
contenant n — i inconnues, on ne peut les combiner de manière à obtenir une dernière équation
ne renfermant plus aucune variable, que s'il est entendu que ces variables possèdent les mêmes valeurs dans toutes les équations. Le résultant d'an système de n équations à n — i iï^connues est donc une fonction des coefficients de ces équations, qui doit se réduire à zéro lorsqu'elles ont des racines communes, et seulement dans ce cas.
1120. Ce qu'on vient de dire peut s'appliquer comme il suit, lorsqu'on a autant d' inconnues que d'équations.
Soient, par exemple, n équations algébriques et n inconnues ^1, z-i, z^. . . ., ^„. Supposons que les n équations soient satisfaites par le groupe de valeurs
Si l'on regarde ^j comme une donnée, on n'aura plus que n —I inconnues entre n équations. En les éliminant, l'équation finale (1118) à laquelle on parviendra contiendra ^i et les
3o;i ALGÈBRE SUPKniEUIlE.
coefficients des équations. Mais, lorsqu'on fait ^, -r «,, les équations proposées admettent un système de solutions communes, de sorte que cette équation finale doit être satisfaite par cette même valeur z^ r= ^,. Il en résulte que, lorsqu'on élimine // - i inconnues entre n équations qui en contiennent n, Véquation finale a précisément pour racines les valeurs de la /i'^™" inconnue qui, associées avec des valeurs convenables des autres inconnues, forment les systèmes do solutions des équations proposées.
Élimination par les fonctions symétriques. Cas de deux équations à une ou plusieurs inconnues.
1121. Soient d'abord deux équations à une seule inconnue
(2) 'h{z) —Z'"- + 7,;"-' -~ rj.-.z'^-- +. . .:=0.
Trouver la condition pour que ces deux équations, l'une de degré m, l'autre de degré n, aient une racine commune, c'est éliminer z entre les deux équations ou former leur résultante (1118, 1119). Nous y parviendrons de la manière suivante.
Désignons par ce, ^,y, .... les m racines de la première équation, et par a', |3', y', .... les « racines de la seconde.
Si les équations (r) et (2; ont une racine commune, une certaine racine de l'équation (i) satisfera à l'équation (2), ou une certaine racine de l'équation (2) satisfera à l'équation (i). Supposons le premier cas. L'un des résultats di(a), "h^/^)^ d;(y), . . ., devra être nul, et il en sera de même, par conséquent (822), du produit fJe m facteurs
On a d'ailleurs (1017)
^{z) = {z-a'){z-<^')iz-y')....
Le produit P est donc évidemment (1039) une fonction symétrique et entière des racines de l'équation (i) et, par suite, une fonction entière des coefficients de cette équation (1050). De plus, P est aussi une fonction entière et de degré /« des coefficients de l'équation (2).
Supposons, inversement, qu'une certaine racine de l'équa-
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3o3
lion (2) satisfasse à l'équation (i). L'un des résultats o{y.'), ■j{'^'), ?(7'\ • ••> devra être nul, et il en sera de même, par conséquent, du produit de n facteurs
On a d'ailleurs
©(s) = (; — a)(j — [3)(c — yt
Le produit Q est donc, à son tour, une fonction symétrique et entière des racines de l'équation (2) et, par suile, une fonction entière des coefficients de cette équation. De plus, Q est aussi une fonction entière et de degré n des coefficients de l'équation ( i).
La condition cherchée sera, d'après ce qui précède, exprimée par l'une ou l'autre des équations résultantes
Pzrzo, Q = o.
On voit sans peine que les deux résultants P et Q sont égaux en valeur absolue et ne peuvent différer que par le signe. En effet, P revient à
et Q n'est autre chose que
X (y' — aUy' — ,3My' — y)....
De part et d'autre, on a le produit des mn facteurs binômes formés en retranchant de toutes les manières possibles une racine de l'équation ( 2) d'une racine de l'équation (i), ou une racine de l'équation (i) d'une racine de l'équation 12). Les deux produits sont identiques, sauf le signe qui peut différer ou non, suivant que le produit mn des degrés des deux équations est impair ou pair. C'est ce qu'on exprime en posant
Ces deux fonctions entières des coefficients des deux équations étant identiques au signe près, il en résulte que P, qui est de degré m par rapport aux coefficients de l'équation (2),
3o4 ALGKimF. .sui'i';kii:uri:.
sera, coiniiio Q, de degré n par ra[)port aux cocniciciils de l'équation (i), et réciproquement.
Ainsi, dans le résultant P des équations (i) et (2), les degré> des coefficients de ces équations permutent avec ceux de c('> équations elles-mêmes. P est de degré m j)ar rapport an\ coenicients de l'équation (2) qui est de degré /^, et de degré /' par rapport aux coefficients de l'équation (i) qui est de degré m.
Remarque. — Il est important de montrer que le poids (1040, Remarque) du résultant P, exprimé en fonction des coefficients des équations (i) et (2), est égal à mn^ c'està-dire que, dans chaque terme de P, la somme des indices de ces coefficients est constante et égale à mn.
En effet, si l'on multiplie les racines des équations (1) et (2) par un même facteur A, chacun des mn binômes dont le produit forme P sera multiplié par>., de sorte que le résultant le sera par >/"".
D'ailleurs, pour multiplier les racines de l'équation ( i) par >i, il suffit (1057) de remplacer />i par \pu P2 par ^'Pi, Pi par X*/>3, ...; et, pour multiplier les racines de l'équation (2) par >., il suffit de remplacer 71, q^, q^, ..., par X^,, '^•-q^, "k^qa, .... Les indices répondent donc exactement aux puissances de >..
Par conséquent, puisque, en opérant ainsi, tous les termes du résultant P se trouvent multipliés par /'"", c'est que, primitivement, dans chacun de ces termes, la somme des indices était mn.
1122. La méthode pratique à suivre est celle-ci : On doit former le produit P à l'aide des m facteurs
J>(a) = a" -h qi(x"~^ -^ q^a <I;(P) = (3« + 7,(3«"' + ry2f3
re— 2 .
qui conlieinient les racines de l'équation (ij et les coefficients de l'équation (2); puis, remplacer les fonctions symétriques des racines a, [3, y, . . . , que l'opération fait apparaître, en fonction des coefficients de l'équation (i), d'après les résultats obtenus au Chapitre III du Livre VII.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3o5
1123. Appliquons cette marche aux deux équations du second degré
En désignant par a et j3 les racines de la première, nous aurons P = 1x2— ryia-f-r/,)! p2^yip-i-^,) = a2^2+ ryi a3(a -H JS ) - ^^(a^- ^2) + ,^2 ^p ^ ,^^,^^(^ + P; -^ ryf On a d'ailleurs ('1032)
Par suite, on a, en substituant et en rapprochant les termes,
P = ( Pi— liY — y Pi~ qi ' KPiqi — p^qi),
résultat qui concorde avec celui du n° 1119, quand on suppose dans ce dernier « = «' = i .
1124. Si les équations (i) et (2) étaient de la forme
I on diviserait respectivement les deux membres de chacune d'elles par a^ et bç, pour ramener à l'unité les coefficients de
I leurs premiers termes. On aurait ainsi, en se reportant au n»1121,
Ih
et il suffirait de substituer ces valeurs dans l'expression trouvée pour P, quand les premiers termes des deux équations ont pour coefficients l'unité.
Comme P est (1121) du degré m par rapport aux coefficients de l'équation (2) et du degré n par rapport aux coefficients de l'équation (i), on fera disparaître tous les dénominateurs en multipliant P par le produit a^b^^ Le nouveau résultant
sera alors une fonction entière et homogène, du degré n par rapport aux coefficients de l'équation (i), et du degré m par rapport aux coefficients de l'équation (2).
De C. — Cours. IV.
3o6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
D'une manière générale, la condition pour que les équations (i) et (2) aient au moins une racine commune est R =0.
1123. Dans le cas de deux équations du second degré que nous venoud'examiner (1123), les deux équations étant prises sous la forme
«oz^-r «1- — a^— o et bfyZ- — b^z -^ b-i-^ o,
on aura
c'est-à-dire ( 1119)
R — ( «0^2 — (H^oY — i,«o^i — ft^b^i) ( «1 b-i — Chbi).
1126. Le résultant R jouit de propriétés qu'il est utile de signaler.
Il ne change pas quand on diminue d'une même quantité // les racines des deux équations considérées (1124); car, lo> différences de ces racines n'étant pas modifiées, il en est de même des valeurs de P et de Q (1121 ). On peut donc remplacer z par z -h h (1061) dans les équations proposées, sans altérer leur résultant ou leur équation tinale.
Le résultant R ne change pas non plus, lorsqu'on remplace
les équations données par leurs transformées en - (1067).
En effet, au lieu de la différence a — a' entre deux desl racines des équations traitées, on a à considérer la différence!
a oc' ax'
Cela posé, si les équations sont de la forme indiquée au n" 112i, elles ont pour résultant
Âi)rès leur transformation, le nouveau résultant sera évidemment
P' représentant le produit des nouvelles différences
a[—x ^-a y' -a oc' - ^ (3'— (3 /-jb a' - y ^' - y /-)
ococ' aâ' ay' '" ^oc' (3(3' ^y' ' ' ' yy.' ' y^' yy
c'est-à-dire i,1121)
Mais on a i 1036 i
et (1121
11 en résulte
La valeur de R' aura le signe -t- ou le signe — , en supposant «0 et b^ positifs, suivant que les degrés m et n seront pairs, ou bien que l'un au moins sera impair. On a donc, en simplifiant.
Le nouveau résultant ne peut donc différer que par le signe du résultant primitif, de sorte que l'équation finale reste la même.
1127. Au lieu de deux équations à une inconnue, on peut avoir deux équations à deux inconnues z et u. On doit alors procéder comme il a été dit au n° 1120.
Les deux équations seront encore de la forme ( 1124)
(0 «0 ^■"'- -ciyz '" -' - a.z'''-'- ^- . . . -- «,„. , z - a,n = o,
Seulement, les coefficients a^, «j, a,, . . ., a,,, sont ici des polynômes en n dont les degrés respectifs ne peuvent surpasser o, I, 2, ..., m, puisque l'équation (i) est supposée de degré m (1114); de même, les coefficients bo, 6,, è,) • ■ -, b^, sont des polynômes en u dont les degrés respectifs ne peuvent surpasser o, i, 2, . . ., n, puisque l'équation (2) est supposée de degré n.
Si l'on regarde u comme donnée, on n'a plus qu'une inconnue z et deux équations, et l'on peut opérer comme précédemment (1122). L'équation finale obtenue sera donc du
3o8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
degré m par rapport aux coefficients de l'équation ( i ;, qui sont au plus du degré n par rapport à u, et du degré « parrappoil aux coefficients de l'équation (i), qui sont au plus du degré m par rapport à u. D'ailleurs (1121, Remarque), le poids du premier membre de cette équation finiale est mn, c'est-à-diio que, dans chaque terme, la somme des indices des coefficients des équations (i) et (2) est constante et égale à mn\, et cette somme répond précisément au degré possible de l'inconnue u dans chaque terme.
Il en résulte que l'équation finale obtenue sera au plus du degré mn par rapport à la seconde inconnue u.
Nous disons au plus, parce que l'abaissement du degré de cette équation finale peut toujours se produire par suite de réduction de termes. Mais, si les équations considérées sont générales, il ne peut y avoir de réduction, et le degré de l'équation finale est exactement mn.
Pour chacune des valeurs de u, les équations (1) et (2) auront une racine commune en z, qu'on pourra déterminer, puisque les deux équations ne renfermeront plus que^ (1079) ; et l'on trouvera ainsi les valeurs de z, associées en général en même nombre aux valeurs de u.
En résumé, dans le cas de deux équations à deux inconnues, le degré de l'équation finale ne peut pas surpasser le produit des degrés des équations données: et, il est égal à ce produit lorsque les coefficients des deux équations, supposées générales, demeurent indéterminés.
C'est le cas le plus simple du théorème dû à Bezout (1115), et qui est le principe fondamental de toute théorie de l'élimination.
1128. Soient, par exemple, les deux équations incomplètes du troisième degré
(^2) "XUZ^ — 5Z-T-4U — 1=0.
En regardant u comme donnée, désignons par a' et ^' les racines de l'équation (2) et substituons-les successivement dans l'équation (i). En ' multipliant membre à membre les deux résultats, nous aurons l'équation finale (1122, M2i)
[(«i — 2)a'2 — 3a'-r-7tt — 3][(ii— 2) P'^— 3 p'— ;« — 3] = o,
ALGÈBRE SUPÉRIErRE. SoQ
c'est-à-dire
— ga'S'— 3(7«— 3;(a'-+-p')-^(7M — 3)2=o.
On a d'ailleurs, d'après l'équation (2),
lu 111
II en résulte, sans avoir besoin do recourir aux formules des fonctions symétriques (1040, 10i3),
En substituant et en chassant les dénominateurs, l'équation finale devient donc, après simplifications,
100 u'*-^ 6of<3 — 54 «- — -l'ion -j- 124 = o.
Cette équation admet évidemment la racine i . Cette valeur de a doit assurer une racine commune aux équations (i) et (2^ qui deviennent du second degré en 3 et qui sont alors
On voit immédiatement que cette racine commune est aussi égale à I, et l'on a ainsi, pour les équations données, un premier groupe de solutions communes.
Si l'on débarrasse l'équation finale en u de sa racine égale à i, il restera, pour obtenir les trois autres groupes de solutions communes, à résoudre l'équation du troisième degré
iooM3 i i6o?<2__ io6« — 124 = o.
1129. Ce qui précède peut s'appliquer identiquement au cas où les deux équations données, au lieu de ne renfermer que deux variables z et «, en renferment un nombre quelconque z, u, c, 4v, .... Les coefficients a^, «,, a,, . . ., b^,, b^, 62, . . ., au lieu de dépendre seulement de u, dépendent des
variables u, v, «■ et il en est de même de l'équation
finale. Quant au tbéorème de Bezout relatif à son degré, il n'est pas modifié, parce que le degré le plus élevé des coefficients par rapport aux variables qu'ils contiennent reste toujours le même, qu'il y en ait une seule ou plusieurs.
3lO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Fonctions symétriques et rationnelles des groupes de solutions communes à plusieurs équations.
1130. Soient d'abord les deux équations à deux inconnues
Nous supposons que ce sont des équations générales, c'està-dire dont les coefficients demeurent indéterminés ou ne sont soumis à aucune relation particulière. On peut représenter par
leurs systèmes de solutions communes, en admettant que le nombre de ces systèmes soit égal à n, et l'on nomme fonction syniétrirjue de ces solittions communes toute fonction qui demeure invariable quand on y permute ces groupes de solutions.
En se reportant aux remarques faites au sujet des fonctions symétriques des racines d'une équation à une seule inconnue (1039), on voit immédiatement que la recherche d'une fonction symétrique et rationnelle des solutions communes à deux équations à deux inconnues peut toujours se ramener à celle de fonctions symétriques, entières et homogènes, dont les termes varient par les indices des lettres qui y entrent et non par les exposants de ces lettres. Une pareille fonction sera donc définie, quand on donnera un seul de ses termes, ainsi que toutes les lettres considérées.
La fonction symétrique est simple ou du premier ordre, quand ses termes ne renferment respectivement que les lettres d'un seul groupe de solutions communes. La forme générale des fonctions symétriques simples est donc
et on peut les représenter par la notation
La fonction symétrique est double ou du deuxième ordre, quand ses termes renferment respectivement les lettres de deux groupes de solutions communes. La forme générale des
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3ll
fonctions symétriques doubles est donc
^l> 1,1 rP' ll'f' ~ "P Ij'l ~P' 1/1' -^ ^ zP lll zP' ll'l'
et on peut les représenter par la notation i zP a' -.'"a'''
On continuera de la même manière.
1131. En partant des deux équations
nous allons appliquer la méthode indiquée par Poisson (M au calcul de la fonction symétrique simple
Désignons par t une nouvelle inconnue, par A une indéterminée, et posons
(i) t^=: z -T-y-u, d'où z^^t — \a.
En substituant cette valeur de z dans les équations données, elles deviennent
En éliminant alors u entre ces nouvelles équations, on parvient à une équation finale en t, qui est
D'après la valeur de t et les groupes de solutions communes supposées (1130), les racines de cette équation sont
de sorte que son degré est égal à n.
Nous avons démontré (1016) que les sommes S des puissances semblables des racines de l'équation (2) sont des fonctions rationnelles des coefficients de cette équation, c'està-dire des coefficients des équations proposées et de l'indéterminée ?.. On peut donc, en représentant par /z un exposant entier quelconque, et par Mo, Mj, M^, • ., des fonctions ra-
(') Journal de l'École Polytechnique, t. IV, XI= Cahier.
3l3 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
lioniielles des coefficients des équations données [qu'on déduira de l'équation (2) d'après les formules du n" 1040] et en ordonnant par rapport à >., poser à la fois
' ■ '^ i = Mo - M, X -^ M2>.2 - . . . -^ M^,l\^.
La dernière équation, ayant lieu quel que soit/, est une identité (1023), et les coefficients des mêmes puissances de), sont égaux dans les deux membres. En se reportant à la formule du binôme, on a ainsi les relations suivantes :
--1 . ~2 -3 ' • • • ^n "Oj
Ces équations permettent, en isolant les parenthèses des premiers membres, de calculer les fonctions symétriques simples l.z^u'l 1 1130\ de degré p ~ q ^ [j., p et g variant de G à /JL, en restant complémentaires {^Qj par rapport à [i.
113-2. Quant au calcul des fonctions symétriques d'ordre supérieur des groupes de solutions communes des deux équations proposées, il s'effectuera comme dans le cas des fonctions symétriques ordinaires (10i3 et suiv. .
Cherchons, par exemple, la valeur de la fonction symétrique double
^z'iuizp^iii;.
Prenons les deux fonctions simples
"S ,.p j.q — -p „1 -^ r-P lil — -p 1,1 -P//9
-'■'l"l — *"! "1 ^^~-2"2 -3 "3 ••• "n"nf
y -P' ,.7' — r.P' ,,?' -P' j.q' -p- uP' __ ~P' yq'
En les multipliant l'une par l'autre, on a évidemment
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3l3
d'où l'on déduit, pour la fonction symétrique double cherchée,
11 est clair (1043) que, si l'on avait à la fois />=/>' et ^ = q' , il faudrait diviser par 2 le résultat précédent.
Les fonctions symétriques triples, quadruples, etc., se calculeront de la môme manière, à l'aide des fonctions symétriques d'ordre inférieur.
1133. Il résulte de là (1131) que les fonctions symétriques et rationnelles des groupes de solutions communes à deux équations à deux inconnues sont des fonctions rationnelles des coefficients de ces équations. Déplus, leur détermination est assurée par la simple élimination d'une inconnue entre deux équations; car tout revient à trouver l'équation finale ■^{1,1)^=0, qui provient elle-même de l'élimination de u entre les deux équations o{t — \u, u) -= o et 'ij{t — An, u)^o (1127).
1134. La même marche peut être suivie pour un nombre quelconque d'équations contenant le même nombre d'inconnues en augmentant le nombre des indéterminées introduites, toujours inférieur d'une unité à celui des équations.
Si l'on a, par exemple, trois équations à trois inconnues
o{z, u, v')^= o, ^{z„ u, v') —-0, ^h{z, u,v):=-o, et n groupes de solutions communes
on posera, en désignant par t une nouvelle inconnue et par ). et Q deux indéterminées,
(i) t — z^lu + 9v. d'oij z=it — '/.u — Qv.
En substituant cette valeur de z dans les équations données, on aura trois nouvelles équations
o{t — lui — Bv, u, v) = o,
<b{t — \u — 9 V, II, v) := O,
'^{t — }.u — 9 r, u, (• j z= o, entre lesquelles on pourra éliminer u&iv. On parviendra ainsi
3l4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
à une équation finale en /, qui sera
Les racines de cette équation seront, d'après la valeur de l et les groupes de solutions communes supposées.
zi-r-lui-- Oi'i, z,^ln2~ Oi'.,, ..., ^„-,- /«„-;- 9 1'„,
c'est-à-dire qu'elle sera de degré n.
Nous remarquerons alors, comme précédemment (1031), que les sommes S des puissances semblables des racines de l'équation (2) sont des fonctions rationnelles des coefficients de celle équation, c'est-à-dire des coefficients des équations proposées et des indéterminées À et 6. On peut donc les exprimer, à l'aide des formules du n° 1040, en fonction des coefficients des équations considérées et en ordonnant suivant les puissances des indéterminées 1 et B.
D'autre part et en désignant par ij., pour fixer les idées, un exposant entier quelconque, on a
-^ ( G, — >. «2 -r- 9l\)^-- . . .-h [ -.„ -r- 1 Un ~ 0 ('„ Vï^,
Nous devrons donc nous reporter ici à la formule qui donne le développement de la puissance d'un polynôme (302 et suiv.). On développera suivant cette formule les termes du second membre de la relation précédente, et l'on ordonnera ensuite le résultat suivant les puissances des indéterminées >. et Q. Il ne restera plus qu'à identifier cette valeur de S;j. avec celle qui résulte de l'équation (2) et des formules rappelées plus haut, en égalant les coefficients des termes qui contiennent les mêmes puissances des indéterminées.
Supposons qu'il s'agisse, par exemple, des termes en 1^9''. Nous désignerons par M^,,.le coefficient du terme correspondant dans la seconde valeur de Sp., et nous aurons d'une manière générale (303 ), en posant ix=zp -i- q -r- /■, d'où p =■[/. — <J — r, .. t
-p fil ,,<• — \r
C'est cette formule, qu'on peut écrire
ALGÈBRE SUPÉRIErRE. 3l5
qui permettra de calculer les fonctions symétriques simples des solutions communes des trois équations données.
On doit toujours avoir 7 — /-^ j^ et. si /? = o, on doit remplacer p\ par I (30i !.
1135. Pour obtenir les valeurs des fonctions doubles, qui sont ici de la forme
on opérera comme dans le cas de deux équations, et l'on vérifiera que ces fonctions doubles dépendent encore des fonctions symétriques simples, etc.
On peut donc dire, d'une manière générale, que les fonctions symétriques et rationnelles des groupes de solutions communes à plusieurs équations sont des fonctions rationnelles des coefficients de ces équations. C'est là le point que nous voulions établir.
Extension de la méthode d'élimination par les fonctions symétriques à un nombre quelconque d'équations.
1136. Considérons, avec Poisson loc. cit.), quatre équations à quatre inconnues
' o(^, r, ^, Il I =^0, , .. 1 <^{ûr,j-,z., u)—o,
Nous supposons que ces équations sont les plus générales des degrés correspondants, que nous désignerons par a, b, c pour les trois premières, et par /n pour la quatrième. Elles sont donc complètes, c'est-à-dire que les inconnues y entrent toutes de la même manière. De plus, les coefficients de ces équations sont indéterminés ou indépendants, c'est-à-dire ne sont liés par aucune relation spéciale.
Considérons les trois premières équations du système (A) et admettons qu'on puisse éliminer successivement entre ces trois équations z el y, z- et a^, y et x\ Xous obtiendrons trois nouvelles équations qui se/ont toutes les trois de même degré. En effet, les équations proposées étant générales, tout y est
3lG ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
identique par rapport aux quatre inconnues, de sorte que l'éliniination de deux inconnues quelconques entre les trois premières équations doit donner, par rapport aux autres inconnues, des résultats de môme degré. Nous désignerons par// ce degré commun.
Les trois équations générales de degré n, ainsi trouvées, remplaceront les trois premières du système (, A) et formeront, avec la quatrième équation de ce système, un système équivalent. La première de ces équations générales contient x et u; la deuxième, y et u; la troisième, z et u. En regardant a comme donnée, admettons qu'on puisse les résoudre. Elles donneront, en fonction de //, n systèmes de valeurs pour x, y, z; et, en assemblant convenablement ces valeurs, on aura les II groupes de solutions communes aux trois premières équations
( -^n ,^'l> --'l)' \^-2i yi; ^2)1 • • • ■> {^m yni ''ni-
En substituant chacun de ces groupes dans la quatrième équation du système, on aura des résultats de la forme
Si V représente le produit de tous ces résultats, il est clair (1121) que
y=Wia\,yi,Zi, u)W{x,,y2,z,, u) . . . W(j7„, r„, z„, u)
est le résumant obtenu par l'élimination de x, y, z, entre les quatre équations données, et que
est l'équation finale correspondante. En effet, toute valeur de u, qui rend nul l'un des facteurs de Y ou V lui-même, satisfait aux équations proposées en même temps que le gi'oupe de valeurs de x, y, z, qui entre dans le même facteur; et, réciproquement, toute valeur de u qui satisfait aux équations proposées doit rendre nul l'un des facteurs de V ou V luimême.
Tout est ramené, par conséquent, à la formation de l'équation finale à laquelle on parvient par l'éliniination de x, y, z, entre les quatre équations données.
Or, V, étant évidemment une fonction symétrique et entière des solutions communes aux trois premières équations
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. Sl^
du système, est aussi (1133) une fonction rationnelle des coefficients de ces équations; et, pour calculer les diverses fonctions symétriques des solutions communes aux trois premières équations, qui entrent dans V, on pourra employer le même procédé que précédemment (1131, 1131.). }. et 0 étant des indéterminées, on posera encore
(i) ^=z j7 — }.j — 5^, d'où x^Lt — \y — Qz.
En substituant cette valeur de x dans les trois premières équations du système (A), elles deviennent
o {t~\y — Bz,y, z,u) — Q>, ^{t-ly-ez.,j,z, u)=o, ^{t — ly — Qz,y, z, u) = o.
sans que leur degré soit modifié. Si l'on élimine y Qi z entre ces trois nouvelles équations, Téquation finale en t et en u à laquelle on parviendra sera donc encore du degré n, aussi bien par rapport à u que par rapport à t. Représentons cette équation finale par
D'après la valeur (i) de t, les n racines de cette équation sont, en supposant u donnée,
Supposons l'équation (2j formée, et ordonnons son premier membre par rapport aux puissances décroissantes de t. Nous aurons ainsi
Les coefficients de cette équation sont des fonctions rationnelles de u et des indéterminées \ et 0, et les sommes de puissances semblables de ses racines pourront s'exprimer rationnellement en fonction de ces mêmes coefficients (lOiO). On pourra, par suite, en égalant les coefficients des termes qui, dans ces expressions et dans les développements directs des sommes considérées (113i), renferment les mêmes puissances des indéterminées À et 5, calculer les diverses fonctions symétriques des solutions communes aux trois premières équations du système, qui entrent dans V, et déterminer
3l8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
ainsi réqualioii finale V -- o, qui ne contiendra |)liis f|Lio l'inconnue II.
1137. On voit que la méthode qu'on vient d'exposer permet d'éliminer trois inconnues entre quatre équations, quand on sait éliminer deux inconnues entre trois équations et, par conséquent, une inconnue entre deux équations. D'une manière générale, elle permet d'éliminer n — i inconnues entre Il équations, quand on sait en éliminer n ^ i entre /* — i équations, de sorte qu'elle ramène tous les cas à l'élimination d'une inconnue entre deux équations.
1138. On doit remartiuer que la méthode d'élimination par les fonctions symétriques conduit à une équation linale qui ne présente aucun facteur inutile. Cette résultante est, par suite, la véritahle équation finale, sans solution étrangère. En outre, elle n'exige, pour être formée, la résolution effective d'aucune équation, de sorte que l'on peut toujours parvenir au résultat cherché.
La méthode dont il s'agit offre donc, au point de vue abstrait, la solution la plus directe et la plus satisfaisante du problème de l'élimination. Mais la longueur des calculs qu'il faut effectuer la rend, le plus souvent, impraticable au point de vue pratique. On a donc dû chercher d'autres procédés, inférieurs théoriquement, mais d'une application moins pénible.
Degré de l'équation finale, théorème de Bézout.
1139. Conservons les mêmes notations et faisons les mêmes hypothèses qu'au n° 1136. Nous démontrerons d'abord cette proposition :
Si n est le degré de l'équation finale en t et si m est le degré de la quatrième équation du système (A), le degré de l'équation finale en a, V=r o, est égal au produit mn de ces deux degrés.
La quatrième équation du système (Ai. ordonnée par rapport à u. est de la forme
Pi, P,, . . ., P,„, représentant des polynômes en x, y, z, qui
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. SlQ
sont, respectivement, les plus généraux du premier, du deuxième, . . ., du nv^"^^ degré (1114).
Le premier membre de l'équation V= o est le produit de n facteurs identiques au premier membre de l'équation (4), sauf la substitution des n groupes de solutions communes aux trois premières équations du système (Aj.
à la place de x, y, z. Le premier terme de V sera donc «'""; et, dans tous les autres termes, la somme des exposants de u et des valeurs particulières de a-, r, z ne dépassera pas tJin. Mais les coefficients des différentes puissances de // dans V sont des fonctions symétriques des groupes de solutions communes {Xi,y\,Zi), {ir=^,y^, z^^, ..., lesquels dépendent de u. Pour déterminer le degré de l'équation V= o par rapport à u, il faut donc chercher quel est le degré des différentes fonctions symétriques des groupes de solutions communes par rapport à la même inconnue. Pour cela, reprenons l'équation finale en t
(3) t"-p,t"-'-^^p,t''-'-^...-^p^^rt-p^=o.
(^omme elle est aussi du degré n par rapport à « (1136;. les coefficients pi, p^, . . -, p„ sont respectivement du premier, du deuxième, etc., du /t'^"'' degré par rapport à u.
Or, si l'on considère la somme des puissances semblables de degré ,a des racines de 'l'équation (3), qu'on peut représenter par
elle s'exprimera sous forme entière, en fonction des coefficients/»i, p^, pz, ..., par une formule dont les différents termes ne pourront contenir u à une puissance supérieure à |jl; car, en se reportant aux formules de Newton (1040), on vérifie que, dans chaque terme de Sj^, la somme des produits des indices des lettres p par leurs exposants est toujours égale à p. Tel sera donc aussi le degré le plus élevé de S^ par rapport à u, et celui de la fonction symétrique simple correspondante (1134)
pour laquelle on a a + j3 -:- y := ,a.
320 ALGÈBKE SUPÉRIEURE.
Les fonctions symétriques d'ordre supérieur des solutions communes considérées, se formant directement à l'aide des fondions symétriques simples (1132), satisferont à la même condition; c'est-à-dire que, si une fonction symétrique d'ordre supérieur est de degré ix, ses différents termes ne peuvent contenir u à une puissance plus élevée que /a.
Or, si un terme de V renferme explicitement u à la puissance A, le coefficient de u'^ sera une fonction symétrique des solutions communes aux trois premières équations du système (A) dont le degré, d'après ce qui précède, devra être égal à mn — k, c'est-à-dire dont aucun terme ne pourra contenir u à une puissance plus élevée. Par conséquent, l'exposant de u dans les différents termes de V, en dehors du premier terme «'"'% ne pouvant surpasser mn, l'équation finale V = o est exactement du degré mn.
1140. En appliquant les mêmes raisonnements à un nombre quelconque K d'équations complètes à K inconnues, on voit d'une manière générale que, si n est le degré de l'équation finale en t qui répond aux K — i premières équations, et si m est le degré de la dernière équation du système, le degré de l'équation finale, résultante du système, est égal à m/i.
1141. Le théorème de Bézout sur le degré de l'équation finale dans le cas le plus général découle immédiatement de cette proposition préliminaire.
Théorème de Bezout. — Le degré de l'équation finale qu'on obtient par l'élimination de n — i inconnues entre n équations complètes est égal au produit des degrés respectifs des n équations données (1115).
Supposons que les degrés de ces équations soient
En éliminant une inconnue entre les deux premières éciualions, l'équation finale obtenue sera, comme on l'a démontré (1127, 1129), de degré niyjyi^. Si l'on élimine deux inconnues entre les trois premières équations, il résulte de ce qui précède (1140) que le degré de l'équation finale obtenue sera égal au produit du degré de l'équation finale qui répond aux deux premières équations par le degré de la troisième équa-
ALGÈBRE SUPÉUIEDUE. 32 1
tion, c'est-à-dire égal à mifn.x ni.^ ou à mym.,m^. Si l'on élimine trois inconnues entre les quatre premières équations, le degré de l'équation finale obtenue sera, pour la même raison (1140), égal à mim^m^x m^ ou à m^^m^m^m^^. En continuant de proche en proche, on voit que le degré de l'équation finale obtenue après l'élimination de n — i inconnues sera, par rapport à la n'^™'' inconnue, égal au produit mim^m^m.^. . . in„ des degrés des n équations données. Ce résultat, auquel conduit la première méthode d'élimination, devient un critérium important pour les autres méthodes, en permettant de vérifier si elles introduisent ou non des solutions étrangères.
1142. Nous avons supposé jusqu'à présent que les équations proposées étaient les plus générales de leur degré et que leurs coefficients étaient indéterminés. Quand il n'en est pas ainsi, les plus hautes puissances de l'inconnue dans l'équation finale peuvent avoir des coefficients nuls, en raison des valeurs particulières attribuées aux coefficients des équations considérées, de sorte que le degré de l'équation finale n'est plus alors égal au produit des degrés de ces équations; mais, dans ce cas, il est toujours inférieur.
De C. — Cours. IV,
3o,9. alcèbue supérieure.
