ÉLLMINATION PAR LA MÉTHODE DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

Remarques préliminaires.

11V3. Toutes les méthodes délimi nation ramenant nécessairement la question (1137) à l'élimination d'une inconnut entre deux équations, nous pouvons considérer spécialemen le cas de deux équations à deux inconnues. Pour les résoudre il faut trouver tous les systèmes de valeurs des deux inconnues qui satisfont aux équations données et, pour- cela, déterminer l'équation finale qui résulte de l'élimination d( l'une des inconnues entre les deux équations. La méthod( d'élimination est regardée comme parfaite) lorsque l'équa tion finale obtenue a pour racines toutes les valeurs admissibles de l'inconnue qu'elle renferme, sans complication d'auj cune solution étrangère (H VI).

liy».. Avant d'indiquer successivement les méthodes (lu'oi pont préférer à celle des fonctions symétriques (ll'27), i n'est pas inutile de rappeler des procédés déjà connus et sou vent applicables.

Soient les deux équations

Admettons qu'on puisse résoudre l'une des équations pa rapport à l'une des inconnues. On pourra alors opérer direc iiiUMiwl par substitution {Àlg. éléin., 1*23, 126).

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. SaO

Si, (le l'équation (2), on peut llrer

on n'aura qu'à mettre cette valeur à la place de ^ dans l'équation (i), pour obtenir l'équation finale qui fera connaître exactement (1120) toutes les valeurs de a et, par suite, toutes celles de ^.

Les valeurs de u et de z qu'on doit associer sont d'ailleurs celles qui vérifient ensemble les équations (i) et (2).

llio. Lorsque les deux équations données sont de même degré par rapport à l'inconnue qu'on veut éliminer, on a intérêt à remplacer l'une de ces équations par celle qui résulte de leur soustraction {Alg. élém., 122, 124-), après qu'on a préalablement ramené au même coefficient les termes qui conliennent la plus haute puissance de l'inconnue considérée dans les deux équations. On abaisse ainsi le degré de celte nconnue, et l'on a, en général, des calculs plus simples.

C'est ce qu'il ne faut pas manquer de faire, en particulier, lorsque l'inconnue à éliminer entre au second degré dans les deux équations proposées. Comme on l'abaisse ainsi au premier degré, on évite toute difficulté à l'égard de la formation des groupes de solutions communes (IIH).

llifi. Les calculs peuvent encore se simplifier, lorsqu'on aperçoit, pour les premiers membres des équations données, une déconiposiiion en facteurs.

On devra alors cbercher les solutions communes aux équaions obtenues en prenant deux à deux, de toutes les malières possibles, les facteurs qui composent les premiers membres des équations données.

Admettons, par exemple, qu'on ait pu ramener ces équa-

ions à la forme

AB = o, \'B'=o.

Au lieu du système primitif, on traitera les quatre systèmes )lus simples

Élimination entre deux équations à deux inconnues par la méthode du plus grand commun diviseur.

1147. Considérons les deux équations

Si l'une quelconque des solutions du système esl représentée par X =z a et y := b, les deux équations

devront admettre une racine commune b. Les premiers membres de ces équations auront alors un plus grand commun diviseur du premier degré en j (1079), et le reste correspondant, indépendant de j, sera nul.

Plus généralement, deux équations à deux inconnues étant données, toute valeur de l'une des inconnues qui fera acquérir à leurs premiers membres un plus grand commun diviseur fonction de l'autre inconnue constituera, avec les racines de ce plus grand commun diviseur égalé à zéro, autant de groupes de solutions communes aux deux équations.

La question est donc toujours d'obtenir l'équation finale qui a pour racines toutes les valeurs convenables de l'une des inconnues, et de pouvoir la résoudre.

Si cette équation finale renferme, en même temps que les valeurs cherchées de l'une des inconnues, des valeurs étrangères, on reconnaîtra ces dernières à ce qu'elles ne feront pas acquérir de plus grand commun diviseur fonction de l'autre inconnue aux premiers membres des équations données, et l'on aura soin de les rejeter.

Il peut arriver que l'une des racines de l'équation finale satisfasse aux équations proposées, indépendamment de toute valeur de l'autre inconnue. Cette racine, associée avec des valeurs arbitraires de l'autre inconnue, correspond alors à un nombre illimité de solutions communes.

11^8. Cela posé, on commencera par débarrasser, s'il y a lieu, les premiers membres des équations données (i) o{jr,y)=o, ^{j:,v) = o

des facteurs, fonction de jc seule ou fonction de y seule, fju'ils peuvent admettre.

ALGEBRE SUPERIEURE.

Sa;

On ordonnera, par exemple, o{j^,y) par rapport à r, et l'on cherchera, pour le mettre en évidence, le plus grand commun diviseur Oi(^) de tous les coefficients de ce polynôme, qui no contiennent plus que x. Cette opération s'effectuera évidemment (1075, 1076) comme en Arithmétique {Arithm.. 119), en cherchant le plus grand commun diviseur des deux premiers coefficients, puis le plus grand commun diviseur entre ce premier plus grand commun diviseur et le troisième coefficient, et ainsi de suite jusqu'au dernier coefficient.

En ordonnant le quotient ohlenu par rapport à x, et en cherchant le plus grand commun diviseur Oi{y) de tous les coefficients de ce polynôme, qui ne contiennent plus que y, on le mettra de même en évidence.

On répétera les mêmes calculs pour 'h{x,r), et l'on pourra alors poser

Les deux facteurs 9i(^) et '-pi(^), qui ne contiennent plus que X, peuvent admettre un plus grand commun diviseur D, tel, qu'on ait

o,(x) = I)iF,(^), 'h,{x) = \)J,{x).

Les deux facteurs 00(7) et '^^2(7)» qui ne contiennent plus que V, peuvent admettre un plus grand commun diviseur D, tel, qu'on ait

En dernier lieu, les deux facteurs Oi{x, y) et 'li{x, y), qui contiennent à la fois x et y, peuvent admettre un plus grand commun diviseur (') 1)3 tel, qu'on ait

<^z{x,y) = D^Vz{x,y), 'h^{x,y) ^D^^f-^ix, y).

(') La reclierche du plus grand diviseur entre deux polynômes entiers en X G\. en y s'effectue de la même manière que pour deux polynômes entiers en X seulement ( !076 et suiv.). On ordonne les deux pohnômes en x et en y par rapport à x, en ayant soin de réunir en un seul terme tous ceux qui renferment une même puissance de x. Les coefficients constants sont remplacés par des coefficients qui sont fonction de la seconde lettre y; mais rien n'est changé aux précautions à prendre, aux simplifications permises et aux raisonnements.

3 26 ALCicBRE SUPKKIEliUE.

On a donc, finalemenl,

el l'on peut appliquer la l'cniarque du n° iiïii.

11 est clair que les racines de l'équation en œ, Di = o, on nombre limité, donneront, associées à des valeurs arbitrairede j, un nombre illimité de solutions.

De même, les racines de l'équation en j, D^^o, en nombrr limité, donneront, associées à des valeurs arbitraires de ./ . un nombre illimité de solutions.

De même encore, comme le premier membre de ré([uation D3=o contient j? et j, cette équation donnera un nombre limité de valeurs de r pour chaque valeur arbitraire donnée à a-, c'est-à-dire un nombre illimité de solutionpour les équations proposées.

Les polynômes Fi(^') eifi{jc) sont premiers entre eux, comme les polynômes F.2{r) g\ fiiy) [1077], et ne peuvent tlonner lieu à aucune combinaison.

Les autres combinaisons

'/2(7)=o, j/3(jr,r) = o, ]fi{x) = o, ) fs{.r,Y) = o,

sont possibles; mais, comme elles comprennent toutes une équation à une seule inconnue, la seule difficulté est de résoudre cette équation dans chaque groupe.

Il ne reste donc plus à examiner que la combinaison

et c'est à elle seule que s'applique à proprement parler la méthode d'élimination que nous voulons faire connaître et qui est fondée sur la théorie du plus grand commun diviseur.

1149. Pour plus de simplicité, désignons les deux polynômes Fiix-,}') et fii-^fV) par A et B. Ces deux polynômes, par hypothèse et d'après ce qui précède, ne présentent plus aucun facteur ou diviseur commun de quelque nature (pie ce soit. Ordonnons-les par rapport aux puissances décroissantes de X et supposons que, par rapport à j-, A soit de degré supérieur ou égal à celui de U. Divisons alors A par B, et poursui-

ALGÈBRE SUPÉKIEUllE. À'!'

vons l'opéralion jusqu'à ce que nous parvenions à un reste qui soil, par rapport à .r, de degré inférieur à celui de B. Désignons ce reste par R, et, le quotient correspondant, par Qi. Nous aurons

Admettons que la division n'ait introduit aucun dénominateur fonction de r. Les polynômes Q, et R, seront des fonctions entières. Par suite, les groupes de valeurs de .r et de y qui satisferont à l'équation R =; o donneront en même temps A = R,.

Il en résulte que les deux systèmes, dont le second di plus simple,

répondent réciproquement aux mêmes groupes de solutions, c'est-à-dire sont, à ce point de vue, é<juivalents.

On est ainsi conduit à opérer sur les polynômes A et R, comme s'il s'agissait (1079 et suiv.) de Lrouver leur plus grand commun dii'iseur. Puisqu'ils n'ont aucun diviseur commun (1148), les calculs se poursuivront jusqu'à ce qu'on arrive à un reste R,, indépendant de^c. En admettant toujours que les divisions successives n'introduisent aucun dénominateur fonction de y, on aura donc cette suite d'égalités :

A =RQi +R,, R =RiQ. +R,, Rj =:R,03 -+-R3.

R„2= R«-lQ«-r R/c

Les restes Ri, R,, R3, . . ., R„, sont des fonctions entières de a% dont le degré par rapport à x va successivement en diminuant, et le dernier reste R„ est indépendant de x, sans pouvoir être nul.

D'ailleurs, le système

est, en remontant de proche en proche, équivalent au système proposé lui-même. Comme la dernière équation

.)28 \I-r.i:BKE SLPKniEUUE.

ne conliciil plus que y, c'est précisément l'équation liuale en y qui résulte de l'élimination de a; entre les équations données. En la résolvant, on aura toutes les valeurs de y qui font partie des groupes de solutions communes satisfaisani ;i ces équations. De l'équation

qui est en général du premier degré en ûc, on déduira ensuite la valeur de jc (\u\ doit être associée à chaque valeur de y.

Si le reste ll„ se réduisait à une constante, ou on conclurait que les équations proposées sont incompatibles.

Cette méthode très simple ne laisserait rien à désirer théoriquement, si les divisions se faisaient, comme on l'a supposé, sans introduction de dénominateurs fonctions de /; mais cela n'a lieu que dans des cas très particuliers. Nous devons donc maintenant supposer le contraire; ce qui fera apparaître le vice de la méthode.

1150. Reprenons les calculs précédents, en admettant que les divisions introduisent des dénominateurs fonctions de j-. On ohtiendra alors dans l'une d'elles, la première si Von

veut, un quotient Q, de la forme -■> et le dénominateur osera

une fonction entière de y. On aura, dans cette hypothèse,

et il est clair (]ue les groupes de valeurs de .r et de /qui donnent B = o ne donnent plus nécessairement (1149) A = R,, parce que, le dénominateur o pouvant s'annuler en même temps que B, on peut avoir

Pratiquement, on peut toujours éviter les dénominateurs fonctions de y, en multipliant r/'at-a/ice le dividende A par une fonction entière de y convenablement choisie, que nous désignerons par Y. Mais on a, dans ce cas, une égalité de la forme

yA = BQ,-hR.;

el les groupes de valeurs de j: et de j qui rendent B =o rendent en même temps YA = R,.

Par suite, le système B = o, Rj = o n'est plus équivalent au système A == o et B = o, mais bien au système YA ^ o et I!— o, qui se décompose dans les deux systèmes (lliC) : A = o et B = G, d'une part ; Y = o et B == o, d'autre part.

En évitant ainsi les dénominateurs, on ne supprime donc aucune des vraies solutions; mais on ajoute toutes les solutions étrangères satisfaisant au système particulier Y = o et 1> = G. Par conséquent, si l'on poursuit l'opération de cette manière, on ne sera pas, en général, conduit comme précédemment à une seule équation finale en j; mais bien à plur^ieurs, dont quelques-unes pourront donner des racines étranj:ères à la question, qu'on devra rejeter après vérification

au7).

11 y a là une véritable difficulté. Elle a été levée, en iSSa, par M. Labatie, qui a montré comment on devait procéder, en employant la méthode du plus grand commun diviseur, pour former la véritable équation finale débarrassée de toute solution étrangère.

Nous ne croyons pas devoir nous arrêter au théorème de M. Labatie (qu'on trouvera reproduit dans les Leçons d'Algèbre de Lefébure de Fourcy), parce qu'on préfère ordinairement, à l'emploi du plus grand commun diviseur, bien qu'on puisse toujours vérifier les solutions (lliT), d'autres méthodes plus sûres et conduisant dans tous les cas à la véritable équation finale.

Néanmoins, nous donnerons ici une application intéressante de ce procédé, en nous réservant de la traiter plus simplement dans un autre Chapitre.

Équation aux carrés des différences des racines.

llol. Étant donnée Véquation /(j-)=:g, de degré m, on demande de former Véquation F {y ) ^ g qui a pour racines les différences deux à deux des racines de la première équation.

Soient x^ et x, deux racines quelconques de la proposée, supposée sans racines égales. Nous aurons à la fois

(') /(■'ï-i) = o, f{Xi) — o, y = x,— x,.

,'i3o AI.r.KBnE SUPltuiEUnE.

Le véritable degré de l'é(|iialion ¥{y) — o est évidemmeni le iiomhre des arrangements de m objets pris 2 à 2, c'està-dire (215) m{m — 1). Mais, comme rien ne distingue les racines de réquation/(j^) 3:: 0, rien n'indique non plus, si l'on ne prend aucune précaution, qu'on ne doit pas retrancher une racine d'elle-même; ce qui introduit forcément m valeurs de j égales à zéro ou m solutions étrangères. Le calcul conduit alors à une équation finale de degré m{m — i)-{-m ou de degré /»-.

Pour supprimer les solutions j — o ou l'hypothèse Xi = œ^, on n'a qu'à remplacer le système (i) par le système équivalent

en divisant le premier membre de la deuxième équation, qui est de la forme

par le facteur jti — a,. On supprime ainsi toutes les solutions qui répondent à 0^1 = 0:,, c'est-à-dire toutes les valeurs nulles de r.

Il ne reste donc, pour résoudre le problème, vqu'à éliminer jt, et ^2 entre les trois équations

D'ailleurs, si l'équation F(j) =0 admet la racine a^j — j:.2» elle admet aussi la racine a-.^ — cci. Ses racines sont donc deux à deux égales et de signes contraires, de sorte que, si Vj est racine, — ji l'est aussi. lien résulte que le premier membre de l'équation finale cherchée ne doit contenir que des puissances paires dey, et qu'on peut l'abaissera un degré moitié

moindre, > en posant