rj — Srxi -hj- -i- a

et il ne reste plus qu'à éliminer .ri entre cette dernière équation et la première,

Nous emploierons pour cela la méthode du plus grand commun diviseur, avec les précautions indiquées (lloO). Nous

ALGEBRE SUPERIEURE.

croyons utile de donner ci-dessous la suite des opérations. Pour plus de commodité, nous remplacerons a-, par x.

x-hy

x^ -]- ax + b 3x^ -\- Zax H- 3 6

Zy x^-^ {2a — y^) X + 2> b

2 {y'^ -\- a)x — ( r* + ^jK — ^f^)

j '6x — ?>{y^-\-ay -\-'3b) 3x^ — 3j^-r-j'-+« < 2(y- -T-a)x — (j'*+ «/ — ^

a)x- — 6y{y--\-a)x-{-2{y--ha)'- i -h3{y^-^ay — 3b)x \

- 6(7' + «X -h 36) (/'- + fO >r -}- 4 (j'+ «)' -3[(r-^+ar)^-96^]

Le dernier reste est indépendant de x. En l'égalant à zéro, on obtiendra l'équation finale en r (1149). Celte équation est, après simplifications,

F ( r ) = j*^ + 6 a y'* -+- 9 a- y- -\- ^a^-h i-b- =zo.

Elle ne renferme aucune solution étra/igère (1150); car, dans la seconde division, nous avons multiplié deux fois de suite les dividendes successifs par j-+ a, c'est-à-dire le dividende primitif par (j'-H- ay, et ce facteur (Y) égalé à zéro réduit le diviseur (B) à 3 6, qui n'est pas supposé nul.

On voit que l'équation (3), qui est l'équation aux différences des racines, ne renferme en effet (1131) que des puissances paires de j-. En posant y-^z-, on a, pour la transformée F(v/s) = 0,

F(v^^) =z^-^ Qaz'- + ga^^ + 4«' 4- 27 6-

Telle est Véquation aux carrés des différences des racines de l'équation du troisième degré, privée ou non de son second terme.

On peut, si l'on veut, remplacer a et b parleurs valeurs en fonction des coefficients de l'équation proposée. Nous n'effectuerons cette substitution que dans le terme constant {\o}-\- 276-, afin d'obtenir une vérification. Ce terme constant deviendra alors

4'7'^— /'"'/'+ 'aP^ I' — 18/^7/- -h 27/-,

résultat qui concorde avec celui que nous avons trouvé au n° 1053.

'.yd4 ALGÈBUE SUPÉRIEURE.