CHAPITRE III

AUTRES MÉTHODES D'ÉLIMLNATION; EXPRESSION DES RÉSULTANTS SOUS FORME DE DÉTERMINANTS.

Méthode de Bézout et d'Euler.

1153. Cette méthode est fondée sur une remarque laite à la même date ( 1764) par Bézout et Euler. Soient les deux équations

dont les degrés respectifs sont m et /i; admettons qu'elles aient une racine commune, et proposons-nous de trouver le résultant du système ( 1118).

Nous allons prouver d'abord que, dans l'hypothèse d'une racine commune x^zp, il existe toujours deux polynômes entiers Fi(jr) ei J\{x), de degrés respectifs m — i et « — i, tels qu'on ait

En effet, on peut poser

?{x) = {x-p)ii>{x), fix) = [x-p)o{x).

Si l'on désigne alors par 1 une constante arbitraire, et si l'on prend

F,{x) = lip{x), /,{x) = lo{x),

l'équation (i) est satisfaite d'elle-même ou se réduit à une identité, de sorte que les coefficients des différentes puissances de X qu'elle renferme doivent être eux-mêmes identiquement nuls.

Si nous représentons maintenant, d'une manière générale.

les quatre polynômes considérés comme il suit :

— Fi(j:) = aoa;'"-i

f, ix) = f3oa:«-' 4- 3i X''-'- -h 3,a:"-3 4- ... - 3„,,

nous pourrons donc égaler à zéro les coefficients des difTérentes puissances décroissantes de x dans l'équation (i) qui est de degré m -^ n — -i . Nous obtiendrons ainsi les tu -h n équations

^/«-2^ oc^a;'"-^'^.

«0 l^o 4- 6o ao

«o,Si + «i;3o +^>oai-^

6, Zo

/vi a, -^

Z^oCZo --= 0,

dinpii—l +^«^//i — 1 =0.

Ces /?< -i- /i équations sont des équations homogènes du premier degré entre les m-i- n inconnues

Xq, Xi, y.2f • • -j y-iii—ij i-'e» r*!» r'2> - • •» ,-'«— i-

Ces inconnues, en raison de la constante arbitraire '/. qui y entre, sont indéterminées. Par suite, d'après le théorème de M. RoL'CHÉ, appliqué aux équations homogènes (101, 102), le déterminant des coefficients des inconnues dans les équations du système (2) doit èlre égal à zéro.

Or ce déterminant est précisément (1119) le résultant des deux équations proposées F(x) =: o et/(^) ^= o, et, en l'égalant à zéro, on obtient l'équalion finale qui résulte de l'élimination de X entre ces équations.

Remarque. — On peut rapprocher ce qui précède tlu Ibéorème démontré au n° 1080.

Si l'on cherche le plus grand commun diviseur de deux polynômes F(x-) et/(x) de degrés m et n, et si l'on poursuit l'opération aussi loin que possible, nous avons vu (1080) qu'on arrive nécessairement à une identité de la forme

Si les deux polynômes ¥{x) elf{x) sont premiers entre

eux absolument, ± K„ est une constante qui doit diviser le premier membre de l'identité ci-dessus, c'est-à-dire M et N. Si les deux polynômes F(j:) et/(jr) ont un facteur premier commun, ou si les deux équations F(:r) ^ o et /(.r) ;=o admettent une racine commune, R„ est nul. Les deux polynômes M et N, comme il est facile de le vérifier en suivant les calculs indiqués au n" 1080, sont d'ailleurs respectivement des degrés n — i el m — i.

On peut donc toujours trouver deux polynômes F, (a-) et fii-r) de degrés m — i et n — i, tels qu'on ait

ou

suivant que les deux polynômes ¥{0-) ei /{j-) sont euxmêmes premiers entre eux ou admettent un facteur premier commun.

lloi. Appliquons la méthode très ingénieuse et très élégante que nous venons d'exposer, et qui ramène le problème à la recherche de la résultante d'un système d'équations linéaires, au cas de deux équations du second degré, telles que

¥ {jr) =1^ OQj:--i- OiJT -^ a^^^ o, f{jc)=. b^^J.- -i- biW -r- 6j =1 o.

Nous aurons ici

— ¥i{j:) — XoX-~Xi, /,(^) = ,3oJ"^;3,,

et l'équation (i) du numéro précédent prendra la forme

( H- («oO- -r- a,) (6u.r--i- ^1 J" H- 62) Z3 o.

En égalant à zéro les coefficients des différentes puissances de jc dans cette équation, nous obtiendrons le système des quatre équations linéaires

a2Po'+- «iHi -i- b,cf.o-j- o, a,=z o.

L'équation résultante des deux équations données sera le

ALGEBRE SUPERIEURE.

déterminant 1, égalé à zéro, des coefficients des quatre inconnues j3o, Pi, «0, «1, dans le système (2), c'est-à-dire

cIq o bç, o

cil «0 '^i ^0

ûfj «1 ^2 ^1

O <7, G bn

Cherchons, comme vérification, la valeur de ce résultant R ou de ce déterminant A. On a (60), en l'ordonnant suivant les éléments de la première ligne.

«0 ^1 ^ ai b.2 b «2 o 62

En ordonnant aussi chacun des déterminants mineurs du troisième ordre suivant les éléments de leur première ligne, nous aurons, pour le premier,

-bi

-+- bo

= «0^^ ^ b^{aib., — c(.,bi) — b^ciobo; et, pour le second,

bx

Oi

— <^to

=^ «i(ai^2 — «2^1) — aoCi^bi-i- b^a-,.

Par suite,

1=1 albl — ao^i(«i bo — «2^1) — «0^0 ^2 ^2