ciib^irtibi — «2^1) — aob^a^b.,-^ bla'i

On a donc finalement, comme résultante,

1 = {a^bo— a.b^,)- — {ciobi— a, Aq) («1^2— «2^1) = 0,

résultat conforme à ce qui précède (1119, 1123, 1125).

lloo. On peut remarquer que, dans le déterminant fourni par la méthode qu'on vient d'exposer ( 1153), n colonnes sont formées avec les coefficients de la première équation donnée qui est de degré m, tandis que les m autres colonnes sont

De C. — Cours. IV. 22

formées avec les coefficients de la seconde équation qui est de degré «.

On retrouve ainsi immédiatement la règle concernant le degré de l'équation finale par rapport aux coefficients des deux équations considérées (1121, 112i); car, chaque terme du déterminant A renferme, avec possibilité de répétition, n coefficients de la première équation et ni coefficients de la seconde.

Seconde méthode de Bézout.

115G. La première méthode que Bézout a proposée en même temps (lu'EiLER, très simple en théorie, est très pénible dans les applications.

Si l'on voulait seulement l'appliquer à deux équations du quatrième degré, le délerminanl à calculer serait (llo.o) du huitième degré (36), c'est-à-dire qu'il contiendrait (38) un nombre de termes égal au produit

ou 4o32o termes.

Bézout a donc été conduit à imaginer la seconde méthode que nous allons développer.

Comme nous généraliserons ensuite cette seconde méthode, en indiquant le perfectionnement que Cauchy y a apporté, nous nous contenterons de l'explifiuer ici sur des exemples particuliers.

Nous distinguerons le cas où les deux éciuations proposées sont de même degré et celui où elles sont de degrés ditférents.

1157. I. Les équations données sont de même degré. — Soient d'abord les deux équations du troisième degré

On sait (ju'un déterminant du /i'»'"*^ ordre a pour expression (89)

ou, encore, le terme principal mis simplement entre deux

parenthèses, c'est-à-dire

{a^b-^c^. . .In)'

Cela posé, admettons que les équations (i) aient une racine commune représentée par œ. Multiplions-les alors respectivement par ^0 et par ao, et retranchons-les memhre à membre, la première de la seconde. Nous éliminerons x^, et nous aurons l'équation

(a) ((7o6i — rtiZ>o)^-+ («0^2 -- «2<^o)'^ + («0^3— «3^0) =o-

Mettons maintenant a^'- en facteur commun dans les deux premiers termes des équations (i); elles deviendront

{b^cc -{- bi)x^-h b^œ + 63=: o.

Si Ton élimine ou- entre ces deux équations comme on vient d'éliminer x^, on trouve

if^x — ay)b.— {bgX -h bi)a,]x + («0-^' + «i) ^3— (^o'^ + ^i)«3= o,

c'est-à-dire

(ao b.2 — «2 ^0) ^--^ [(«0 ^3 — «3 ^0) -+- («1 ^-^2— ^fi bi)] ^ + (rt, b-i— <7,3 61) =0.

Enfin, on peut mettre x en facteur commun dans les trois premiers termes des équations (i), en les écrivant

{a^X'-h UiX -h a.2)x ~{- a^^z o,

(60 37^+ biX -\- b.2)x-\- 63=: o,

et éliminer x entre elles, en suivant toujours la même marche. On obtient ainsi

(«o-^'H- «i^H- aî)lH— {box''+ biX+ b.2)a3^o ou

Les trois équations (a), (j3), (y) doivent être satisfaites par la valeur de la racine commune qu'on suppose exister entre les équations (i). On peut d'ailleurs les regarder comme contenant les deux inconnues x^ et x. L'équation obtenue en éliminant entre elles ces deux inconnues n'est alors autre chose (103) que le déterminant des coefficients des trois

340 ALGÈltnK SUPÉRIEURE.

('■(Iiialions (a), ((3), (■/), égalé à zéro, cl c'est en môme temps l'équation finale qu'on trouverait en éliminant directement l'inconnue x entre les deux équations (i).

Si l'on remarque que les coefficients des équations (a), ((3), (y) sont constitués par des déterminants du deuxième ordre, et si l'on emploie pour représenter ces déterminants la notation abrégée rappelée au commencement de ce paragraphe, on peut mettre ces équations sous la forme

(a) {aj>^)x'''-^ {a^b.{)x H- {a^h^)z=. o,

(y) {a(,b3)x-+{aibs)x+ {a,b^) = o,

et l'équation finale cherchée est à son tour

{aj)^) {ajj.) (aj'.,) 1

A= (^0^2) {ch>b:i) -h {Oyb.,) («1^*3)1 =0.

(aobz) {(^ib-i) («2^3) i

Le déterminant A est un déterminant symétrique (61), et l'on voit qu'il est respectivement du troisième degré par rapport aux coefficients des deux équations (i).

1158. La marche suivie conduit à autant d'équations auxiliaires qu'il y a d'unités dans le degré commun jn des deux équations considérées, le degré de ces équations auxiliaires étant moindre d'une unité, c'est-à-dire étant m — i.

Par conséquent, si l'on avait eu à traiter deux équations du quatrième degré, on serait arrivé à quatre équations auxiliaires du troisième degré, conduisant à un déterminant du quatrième degré renfermant i(\ termes, tandis que la première méthode de Bézout et d'Euler donne lieu, dans le même cas (1156), à un déterminant du huitième degré renfermant 40820 termes.

1159. II. Les équations données sont de degrés difjérents. — Soient, par exemple, les deux équations

dont la première est du quatrième degré et, la seconde, du

(ieuxième. On suppose qu'elles admettent une racine coninmne représentée par x.

En multipliant par x- les deux termes de la seconde équation, elle devient

(3) b^x'* -{- byX^ -\- b^x'^^io.

On peut alors traiter les équations (i) et (3) comme précédemment. On élimine d'abord x'* entre elles, en les multipliant respectivement par b^ et par a^ et en retranchant la |)remière de la seconde. Il vient

I y.) {a^bi — aiho)x^-h {a^b,— aib^)x'— a^b^x — a^bo=o.

En mettant maintenant x^ en facteur commun dans les deux premiers termes des équations (i) et (3), on a

{aoX -h ai)x^ ^ a^x- H- «jX 4- «4= o, {bi)X -\- b^)x^ + b^x-^^o.

Si l'on élimine x^ entre ces deux équations, comme on vient d'éliminer x'* entre les équations (i) et (3), on trouve

\{ai)X + «1) ^2 — (''-'o'^- -+- bi)ai']x- — {(XiX + a,^) {b^x -h 6,) r= o

ou

(Oq bi — «2 ^0) -^^-^ [(«^^1 ^2 — ^2 ^1) — «3 ^0] •^'' — {'^(3 61 4- «4 ^o) -^ — f^h ^1 =0.

Nous ne pouvons pas aller plus loin en appliquant le même procédé; mais nous pouvons adjoindre aux deux équations (a) et (P) l'équation obtenue en multipliant par x l'équalion (2) et cette équation elle-même, c'est-à-dire les deux équations

(•/) boX^-T- bix'^ -]- biX = 0,

(0) bnX-+ byX -f- ^2 =0.

Les quatre équations (a), (^), (y), (0) pouvant être regardées comme contenant les trois inconnues x^, x^ eix, l'équation finale correspondant aux équations (i) et (2) sera (103) le déterminant A, égalé à zéro, des coefficients de ces quatre

34^ ALGÈBRE SUPÉKIEUni;.

équations qu'on peut niellrc sous la forme

(a) (rto^i)'^'^+ {aobi)^;^ — a-ib^x —a.,bo=o,

(y) ^o'^' + bi-x- -+- b^x =^ o>

L'équation finale sera donc, en cliangeant les signes des deux dernières colonnes, ce qui ne modifie pas le déterminant (54),

((7o^i) {a^h,) a-^bo a^bo I

(a„6.,) (a^bi) — ajf^ a^by-h a,,bo a.^by bo bi — b.2 G

o bn — b, — b«

Conformément à la remarque qui termine le n° llo7, ce déterminant est encore respectivement du second degré par rapport aux coefficients de l'équation (i) qui est du quatrième degré et, du quatrième degré, par rapport aux coefficients de l'équation (2) qui est du second degré.

Méthode de Cauchy.

1160. Cette méthode a été appelée par Cauchy lui-même : Métliode abrégée de Bézout, et il l'a indiquée dans ses Nouveaux Exercices d' Analyse et de Physique mathématique (t. 1, i84o).

Le perfectionnement dû à Cauchy consiste en un algorithme ingénieux; mais, dans des questions délicates et lorsqu'il s'agit de calculs pénibles, on doit compter pour beaucoup tout procédé qui, en les simplifiant, guide et soulage l'esprit.

IIGI. I. Les équations données sont de même degré. — ' Soient les deux équations algébriques du m'«'"'= degré

F( .r ) = «0 X'" -t- rt , j;'"- ' H- <72 x"^~- 4- . . . -4- «,„i .r + «,, f{x) = baX"'-\-b^x"'-' + b.,x"'-- + ...+ b,n-iX-\-b,,

ALGEBRE SUPERIEURE.

qu'on suppose avoir une racine commune représentée par x. Isolons successivement, dans le premier membre de chacune d'elles, le premier, les deux premiers, les trois premiers, . . ., les m premiers termes. On obtiendra de la sorte m groupes de deux équations qu'on pourra aussi diviser successivement l'une par l'autre; ce qui conduira enfin à m équations se présentant sous forme fractionnaire. En supprimant d'ailleurs dans les deux termes de cbaque fraction de gauche la puissance de x qu'on peut y mettre en facteur commun, ces m équations seront

rtI.r"'-^-4-r/2.r"'-2-^

Ùqj: -^ ùi

hm-l^-^ b>

.iX-\-a,

j;/«-i l r/,,r'«-2 — .. .-^-a^i j:'"-i ■+- byx"^-^- -H . . . ^ b,n-i

'>ni-lf

En chassant les dénominateurs, on mettra ces m équations sous forme entière, et les coefficients des différentes puissances de X seront entiers et du premier degré par rapport aux coefficients respectifs des deux équations (1).

Nous représenterons alors le système des m équations entières ainsi obtenues, et qui sont du {m — i)i«n>e degré, par

A^j'"-' -hA^^'"-- +A^^'«-^ -h.

Af-'^ + A;

Al T^m — 1

^"'-' + A^,, ^—2 + A^,, x"'-^ + ...-[- a;;;:1 x -f- k';;,, = o, a;„^'«-i +a,2„^'"-2 +al^'"-^ +...4-a;"-'-^-+-a;;', =o,

04'| ALGEBRE SUPERIEURE.

en posant, d'après la notation rappelée (1157),

A|=:(«o*l)» A2=:(r/oZ/.,), AJ— . (fl'0^3), •■•'

M = {Oob,), Al={aJ).,)-{-{aib.,),

Al={a,bs), Al = {a,b.,) -h {a, b^),

A";-\={ctni-i^m) + {am-'-bm-x), A;;', — ((7„,, ^,„ ),

Ki—{<^ol>,n), Al,= {aib,„), Al,— {a.2b„i), ...,

Les équations (2) constituent un système de m équations à m — I inconnues ^'"-^ j?'"-^, .v'"—^, . . ., ,3?-, œ. Le résultai de l'élimination de ces /n — i inconnues est donc (103) le déterminant A de leurs coefficients, égalé à zéro. On exprime ainsi que les équations (2) sont compatibles, c'est-à-dire que les deux équations (i) ont une racine commune. Par suite, l'équation finale qu'on obtiendrait en éliminant or entre ces deux équations a pour expression

Al ..

Ai

Al ..

Al ..

D'après le tableau des valeurs des termes de ce déterminant, indiqué plus haut, on voit qu'on a

Ai — A2 A' — A3

c'est-à-dire que le déterminant trouvé est symétrique (1157).

Il est clair que le procédé de Cauchy conserve le même avantage que la seconde méthode de Bézout (1158). Si l'on a à traiter deux équations du /?i'""'' degré, il suffit de calculer un déterminant du /n'^™" ordre.

1162. Le déterminant A se confond avec le résultant ou Véliminant R (1118) auquel conduirait, par exemple, la méthode d'élimination par les fonctions symétriques (1121, 1124).

En effet, A est, comme R lui-même, du ni'^'^^ degré par rapport aux coefficients respectifs des deux équations (i), qui sont des fonctions symétriques de leurs racines (1036, 1039). Il s'annule aussi comme R toutes les fois que ces équations ont une racine commune. Par conséquent, les quantités R et A ne peuvent différer que par un facteur constant, et la condition nécessaire et suffisante (1119) pour que les deux équations (i) aient une racine commune s'exprime indifféremment en posant A =: o ou R = o.

Les nouvelles méthodes exposées dans ce Chapitre n'introduisent donc non plus aucunes solutions étrangères.

1163. Cherchons encore, à l'aide du procédé de Cauchy, la condition pour que les deux équations du second degré

a^x--^ aiX -r- a 2 = o,

ÙqX- -+- OiX ~T- 0-2 ^ o

aient une racine commune.

Nous devrons ici écrire les deux équations du premier degré

bo bix -i- b-2 b^x -\- bi b^

c'est-à-dire

(rto/-»! — aibo)x -+- (aobi — a^bo) — o,

{aob^— a2b())x^ («1^2— "-ilh) = o.

En égalant à zéro le déterminant des coefficients de ces deux équations, on retrouve immédiatement la condition connue

(a^bi— aibo){aibî—a2bi) — (aobi— aiba)^= o.

346 ALGÈBUE SUPÉRIEURE.

116V. FI. Les é'/iKitinns données sont de degrés différents. — Soient les deux équalions

\ f{x) — b^x'' 4-^,^:"-' -^-b,x''-- +...^bn-xJc -r- b„.

La première est de degré m, la seconde de degré n, et l'on a m> n; on suppose qu'elles ont une racine commune représentée par X.

On peut distinguer deux cas, suivant que le coefficient b^ du premier terme de la seconde équation est ou non numérique.

1° Si bo est un nombre, on peut remplacer facilement les équations données par deux équations de même degré.

Divisons, en effet, F(^) par f{x), en ordonnant les deux polynômes suivant les puissances décroissantes de x, et en poursuivant l'opération jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste 'l{x) de degré n. Si Q est à ce moment le polynôme écrit au quolient, on a

Cette identité montre qu'il revient au même de chercher les racines communes des équations (i) ou des équations /^j:) = o etJ;(.a?) = o, qui sont de môme degré n, et auxquelles on n'aura qu'à appliquer la méthode précédente (1161).

2° Si b^ n'est pas un nombre, il faut modifier cette méthode comme il suit.

Reprenons les équalions (i) et multiplions les deux membres de la seconde par x'"-". Nous obtiendrons ainsi l'équation

o{x) = boX"'+ biX'"-^-\- biX"'---~. . .

-r- bn-i X'"-"-^^ -i- b„ X'"-" = O.

Les deux équations F(^) =: G et 9(0:) = o admettront toujours la racine commune x et, comme elles sont maintenant de même degré m, on peut leur appliquer la méthode exposée au n-^ 1161. Mais, comme la seconde équation 9(.r)=:o ne comprend ici que n -f- 1 termes, après avoir isolé successivement dans le premier membre des deux équations considérées le premier, les deux premiers, les trois premiers, ..., les n premiers termes, nous ne pourrons plus continuer à cause de la forme particulière de la seconde équation. Le

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 047

procédé employé nous fournira donc seulement les n équations

rto «1 .r'"-' -+- a^x'"-^ -T- . . . — <7„,-i.z' -f- a m

T-/'l.i-«--^-T-...-^/y„-2X~/;„i "" ha-^'"-"

En ramenant ces /^ équations à la forme entière, on aura un premier groupe (a) de n équations de degré m — i, que nous représenterons par

l A^ ^'«-' -\- \\ .r'"-2+ A^ x"'-^ 4- . . . -^ a;"-' X -^ Af = o,

[a) ' A ■ .r'"-' + Aj X'"-- + A-^ x'"-^ -4 . . . ^ A^"-' .r -F A;" = o,

Les coefficients de ces « é(iuations seront encore, comme précédemment (1161), du premier degré par rapport aux coefficients respectifs des équations (i).

Aux n équations du groupe (a), qui peuvent être regardées comme renfermant les m — i inconnues .r'"-% x^--, x'"--"^, . , ., x'^, X, nous adjoindrons /n — n équations formant un second groupe ((3). On les obtiendra en multipliant successivement les deux membres de la seconde équation /(.r) = o par les m — n quantités x"'-''-\ x'"-"--, x'"--"^-^, . . ., x, i. Le groupe ((3) sera ainsi

i6o.r'«-i4- /vi.r'«-2— /v2.r"'-3-f-. . .-^ /;„x'«-«-i = o,

b^x'"-^— bix'i-^-^. . .— /;„i.r'«-«-i -+- bnX'"-"-' = o,

boX"i-^^ -1- /'„,. r'«-«-2^ b„x"'-"-^ = o,

1 boX" -H bi .r«-' -+- biX"-^ — ...— b^—o.

En réunissant les deux groupes (a) et (|3), on a « + m — n ou m équations renfermant les m — i inconnues x'"-\ x'"--, x"^-^, . . ., X-, X. Comme ces m équations doivent être compatibles à cause de la racine commune supposée entre les deux équations (i), le déterminant A du m'«™«= ordre formé

par leurs coefficients devra être égal à zéro (103). L'équation finale cherchée aura donc pour expression

Al 12 AS A n A '"-1 A"'

A' A^ A^ ... a;; vr' Ar

in \'"-l A"

On-X b,> O O

b,,^ b„i bn O O

1165. On voit encore (1162) que ce déterminant A est de degré n par rapport aux coefficients de l'équation F(,r) = o qui est de degré m, et de degré m par rapport aux coefficients de l'équation /(o^) 1= o qui est de degré n. Il s'annule d'ailleurs pour toute racine commune aux deux équations proposées; A se confond donc avec le résultant R (liai), sauf un facteur constant

1166. La méthode de Cauchy permet de retrouver le théorème DE Bézout sur le degré de l'équation finale (1127, llil).

Supposons que les équations (i) données contiennent deux inconnues x et }-, et cherchons à évaluer le degré de l'équation finale en /, quand on élimine jc.

I» Considérons d'abord le cas où les équations (i) sont de même degré m (1161), et reportons-nous à l'expression du déterminant A. Le terme principal de ce déterminant est

Al A2 A3 A"'-l A'«

.Aj .-io -A;j . . . ri„j J ^»„, •

Mais A}, c'est-à-dire {a^b^), est (1127) du premier degré en/; A^, c'est-à-dire (^063) -h (^i^,), est du troisième degré en y, ou du degré 2 4- i; A^, c'est-à-dire («0^5) + («i^O + («2^3)» est du cinquième degré en y, ou du degré 3 -h 2; . . .; A,7,l}» c'est-à-dire {a,n^b„i)~{-{a,„Jj,n^{), est du degré -2771 — 3 en y y oudu degré (m — 1)4- (m — 2); enfin, A;;J, c'est-à-dire {a,n-ib,n), est du degré 2m — i en >•, ou du degré w 4- (m — 1).

Le degré en y du déterminant A, ou celui de l'équation finale, est, par conséquent,

j + (2 + 1 ) + (3 + 2) + . . . 4- [(/« — i) + (m — 2)] + [m -h{r7i — i)], ce qu'on peut écrire

Ce degré est donc égal (274) à

— ^ H — = ni-,

c'est-à-dire au produit des degrés des deux équations proposées.

2» Considérons maintenant le cas où les équations (i) données sont de degrés différents, l'une de degré m, l'autre de degré n, et reportons-nous à l'expression du déterminant A (1164). Le terme principal de ce déterminant est évidemment

iV j il, A3 . . . -V„j -^n^n '-' ti • • • ''ni

le facteur b^ étant répété m — n fois.

Or, d'après ce qu'on vient de voir (i"), le degré en r du produit des n premiers facteurs

A 1 A 2 A 3 kn-lKii

est égal à n-.

Quant au facteur <0„, il contient/ à la puissance ji et, par suite, le produit des {m — ii) facteurs b^ est du degré {m — ii)n en j. Le degré du déterminant A ou de l'équation finale en j-

est donc

n- -\- {ni — II) Il z=z mil,

c'est-à-dire égal encore au produit des degrés des deux équations proposées, supposées complètes et à coefficients arbitraires.

Calcul de la racine commune.

1167. Une fois qu'on s'est assuré de l'existence de la racine commune, on peut, en supposant qu'il n'y en ait qu' une, la calculer en cherchant le plus grand commun diviseur du premier degré admis alors par les deux polynômes Y{x) q{ f{x) [1079].

Mais on peut l'oblenir aussi comme il suit, en continuant à se servir des déterminants.

Reprenons (1164) les équations qui composent les deux groupes (oc) et ((3) et constituent un système de m équations linéaires à m — \ inconnues j;'"-*, ^"'-% x"^-^, ..., x-, x, puissances successives de la racine commune depuis l'exposant m — I jusqu'à l'exposant i .

En supprimant l'une des m équations, les m — i autres devront être satisfaites par les >n — i inconnues. On pourra donc calculer spécialement x, en appliquant h règle de CnxyiEK (80) à ces m — i équations.

Si l'on supprime, par exemple, la première équation, on a évidemment

qui ont évidemment une racine commune, et une seule, égale à 2. Nous allons vérifier l'existence de cette racine commune et la calculer, en appliquant d'abord la méthode générale (1164, 2°), puisque nous n'avons ici pour but qu'une vérification.

Multiplions donc paroles deux membres de la seconde équation; elle deviendra

Les équations (i) et (3) nous donneront alors

A.J Ai

Al

A^ Al