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Exemple.

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et nous adjoindrons l'équalion (2) aux équations entières qu'on peut déduire de ces résultats. Nous aurons ainsi les trois équations

Le déterminant des coefficients de ces trois équations est

Les équations (1) et (2) admettent donc bien une racine commune. On a ensuite, pour cette racine, en supprimant la première équation du système (4),

Application de la méthode de Cauchy à la recherche de l'équation aux différences des racines.

1169. Nous avons déjà traité cette question par la méthode d'élimination par le plus grand commun diviseur ( llol ). Nous allons arriver plus rapidement et plus sûrement au résultat en faisant usage de la méthode d'élimination de Cauchy.

Nous considérerons l'équation du troisième degré et nous la supposerons immédiatement privée de son second terme (Ho2), c'est-à-dire que nous la prendrons sous la forme

ax

Nous devons, comme précédemment (ilo2), éliminer x entre l'équation (i) et l'équation

3x- — 3jx -i-j--+- (I = o,

où 7 représente la différence de deux racines quelconques, non identiques, de l'équation (i).

Le coefficient du premier terme de l'équation (■>.) étant numérique, nous commencerons par ramener le système proposé à un système où les deux équations traitées soient de même degré {ilGi, 1°). Il suffit, pour cela, de diviser le premier membre de l'équation (i) par le premier membre de l'équation (2), jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste de même degré que l'équation (2) ou du second degré. Ce reste, égalé à

zéro, pourra alors, dans la recherche poursuivie, êlre substitué à l'équation (i).

On a ainsi, en évitant les coefficients fractionnaires,

x^-hax-hb 3.r2 — "i y.r -^- y^ -^- a 3 x^ -+- 3 a .r -i- 3 ^ -+- 3j.r2 — (j- — a )x

3j^- — (j- — î a) x-\-3b Le système donné sera donc remplacé par le système (a) 3x- — 3jx -i-y'' -t- « = o,

Nous poserons alors, en appliquant l'algorithme de Cauchy ( H61, I), 3 3 )'j: — }- — n

3x — 3.r j2+rt

3jx — j'2 4 2a 36

11 en résulte, sous forme entière,

()b(x — f ) = ij^ -^ a) {3jx —y--h -la)

ou, en effectuant et en simplifiant,

{ ■î{r--i-a)x~(j^-^aj-3b) = o,

l iif^-r- af — 'ib)x — 0'* — aj- — ç)br—ia^) = o.

L'équation finale en j s'obtiendra en égalant à zéro le déterminant des coefficients des deux équations (4) qui sont du premier degré en x. Cette équation finale est donc

3(y^-^ay — 'ibf—^ir'^-i- a) ( y '' — aj^ — gby — 2«2) = o,

c'est-à-dire, en développant et en simplifiant,

j6-T- 6aj*-^ 9^-J'-^ ^a^-^- i-b- = o,

comme précédemment (J 132).