CHAPITRE IV

HECHERCllE DES RACINES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS.

Indications préliminaires.

1170. Ia^s mélliodes d'élimination exi)osées dans le (Jiapitre précédent nous ont conduit en même temps à la condition nécessaire et suffisante pour que deu.x équations algéhriques aient au moins une racine commune.

Cette condition consiste en ce que le déterminant à, tel que nous l'avons établi au n° 1161 (dans le cas de deux équations de même degré) et au n" 1164 (dans le cas de deux équations de degrés différents), doit être égal à zéro (sans être identiquement nul).

Nous nous proposons, dans ce (Chapitre, de généraliseï' la question et de trouver les conditions [)0ur que deux équations algébriques aient exactemenl p racines communes.

Lagraxge s'est occupé de ce problème dans un tia\ai! célèbre qui fait partie des Mémoires de l' Académie de Berlin (1770, 177 1). Tout récemment, plusieurs géomètres, en employant la Théorie des déterminants, ont pidjlié sur le même sujet de remarciuables études.

Nous citei'ons |)rincipalemenl : M. Zeuthe.x (187'!), (jui, en étendant la méthode primitive de Bézoul et d'Euler (ii53), est arrivé presque au but; M. Dauboix ('), qui a considéré le déterminant de Cauchy; M. Eugè>e Houché (-), qui a, le premier, l'ait connaître le théorème fondamental aiu|uel il fallait

(') D.vuBoux, Sur la Uiéorie de l'éliminaliou cnlic deux équalions à uik' inconnue, Bulletin des Sciences niathéinaliqucs cl aslionotuifjues, l. \ et XII, 1876 el 1877.

( = ) Euti. lioucHÉ, Sur l'élimination, \ouvclles Annales de Mathématiques, 1' série, t. \VI, 1877.

Di; C. — Cours. IV. ïà

parvenir, sous une forme simple et éléganl(>, et indiqué l<é(|uali()ns aux racines non conummes; M. 11. Lkmonmer (' qui, dans son beau Mémoire sur l'élimination, a donné de conditions exactes; M. P. Mansiox (-) et M. Falk (=•), qui oui accru les résultats déjà connus, en perfectionnant ou en com- |)létant les premières démonstialions.

1171. Avant de i)asser à la recherche des racines communes, nous présenterons la méthode d'élimination de M. Sylves- TER (*), qu'il est utile de posséder et dont nous ferons usage dans cette recherche. Cette méthode conduit d'ailleurs aux mêmes résultats que celle de Bézout et d'Euler (1153) et semble moins simple, par conséciuent, au point de vue des calculs d'élimination, que celle de Bézout et de Cauchy (1157, .... IIGO, ...). Ajoutons que l'auteur a donné à sa méthode le nom de méthode dialytique, parce qu'il y traite les puissances de la variable comme des variables indépendantes (ainsi que cela a lieu, du reste, dans la méthode de Bézout et de Cauchy), et qu'il dissout pour ainsi dire de cette manière les relations qui unissent ces puissances.

Méthode de M. Sylvester.

1172. Soient les deux équations algébriques de degrés différents

(i) F(.r) = a^x'" — ay.r"'-^ -i- rt..r'"-- ^...+ «;„i^--l-«„, — o, (•2) f{.x)^b,,x"^biX'>^^^b.>x''-- r-...+ ^„-,.i- -t- 6„ =0.

Si l'on multiplie les deux membres de l'équation (1) par les n quantités a-"-', jr"~-, ..., r-, ./•, i, et les deux membres de l'équation (2) par les /?i quantités J:"'-',J^•"'-■^.^•"'-^...,J7"-,a■, 1,

(') II. Lkmonmei!, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 1875; Mémoire sur Iclimination. Anna/es de l'École Yormale supérieure, ''série, t. VII, 1878.

(') P. M.vNsiON, Tiiéorie a priori et Théorie a posteriori de léliniiiialion entre deux équations algébriques. Bulletins de l'Académie royale de Belgigue, 2' série, t. XLVI à XLVIII, 1878, 1879.

(') Falk, Sur la méthode d'élimination de Bé/.out et Cauchy, présente à la Société des Sciences d'Upsal. i87f».

(*) Philosophical Magazine, i8'|().

ALGEBRE SDPEUIEURE.

011 obtient les n -^ m équations

rti^r'

bi x""^"-- ^ b.yX"'-^»-^ -^ .

On peut regarder ces m + « équations comme des équations du premier degré renfermant m -h n — i inconnues j./n.-hn-i^ :r'""^"~-, ^'"-t-«-^, ..., a;^, x. D'ailleurs, si les équations (i) et (2) admettent une racine commune x, cette valeur de^ et ses différentes puissances (depuis i jusqu'à m-r-n — 1) doivent vérifier les équations du système (3), Ces équations étant alors compatibles, le déterminant A formé par leurs coefficients sera égal à zéro (103), et l'on aura

o a^ cil

^0 bi b,

o ^0 bi

bn-\ b,,.. .

A se confond avec le résultant R des équations (i) et {1), quand elles ont une racine commune.

En effet, A n'est pas identiquement nul, puisque son terme principal est «u 6,7. De plus, dans ce déterminant, n lignes sont formées avec les coefficients de l'équation (i), qui est de degré m et m lignes, avec les coefficients de l'équation (2),

VLGKBUE SL'I'Er.IEUr.E.

(|iii esl (le degré n. \ esl donc res|»ectiveiiienl, comme W (112V), une fonclioii liomogènc du a*'^"'" et du /n''^'"« degré pm rapport aux cocffîcienls des équations (ij et (2), coefficienls (|ui sont, respectivement, des fonctions symétriques des racines de ces équations ( 103G, 1039). Enfin, A s'annule, commi r», toutes les fois que les équations proposées ont une racine commune; il ne peut donc différer de R que par un facteur constant cl, par suite, le résultai de l'élimination de jc entre les équations (1) et ii') est indifféremment R :=: o ou A =^ o (1162).

1173. La condition A := u esl nécessaire pour que les équations (i) et (2) aient une racine commune, puisque, dans celte hypothèse, elle a toujours lieu. Elle est aussi suffisante (1119); c'est ce qu'on peut d'ailleurs vérifier comme il suit.

Supposons A = o: il existera alors (104) une certaine relation linéaire cl homogène cuire les éléments respectifs des différentes lignes ou des différentes colonnes du déterminani. En désignant par A,,, >.i, ').., . . ., A,.,i, fx,„ /j-j, p.,, . . ., //.,„,, des constantes qui ne soient pas toutes nulles, on pourra donc poser, en multipliant les différentes lignes par ces constantes et en considérant ensuite les colonnes du déterminant.

>.ort2 —À, a, -Aotto

• •• ~lJ.oO„-^lJ.ib„^

-t-fz,„./>o-t-,a«-

Multiplions rcspecli\ement ces /» -h // relations par a'" "'-', j,.m+n-2^ ^.m+.-i-.^^ ^ ^.2^ j,. ^ j^ c t ajout ons-lcs cusuite mcmbrc à membre, eu nous reportant aux expressions de ¥{.r) et de /■(.r). On trouvera é\idemment comme résultat

II

VLGEBRE SUIMCUIKLRK. OO"

Si l'une des quanliiés (À) n'est pas nulle, il en sera de même au moins de l'une des quantités (ix), et réciproquement; car, -ans cela, on aurait F(a;):=o ou /{x)=zo pour toute valeur ilf oc, et l'on n'admet pas qu'aucune des équations données soit idenliquemenl nulle.

Aucun des quatre polynômes qui entrent dans la relation (4) n'étant identiquement nul, on voit que/(^), qui est du /i'è'nc degré, doit diviser exactement le produit de ¥{x) qui est du „jième (Jegré, par un polynôme de degré n — i ; ce qui exige que/(j7) et V{x) aient, au moins, un facteur commun du premier degré, c'est-à-dire ([ue les équations F(.r)^o el/(.r)=ro aient au moins une racine commune.

Recherche des racines communes, théorème fondamental.

1174. Pour arrivei' plus simplement au lliéorème que nous voulons établir, nous opérerons sur deux équations de degrés déterminés, l'une du cinquième degré et l'autre du troisième, par exemple. Cette spécialisation n'altérera en rien la généralité de nos raisonnements. De plus, nous ordonnerons les deux équations considérées suivant les puissances croissantes de X, et nous les écrirons en faisant correspondre les indices et les exposants. Nous aurons ainsi

(i ) F (x) ::z: ao-h ayX -+- a^x'-h a^x^ -'r- a^^x' -h «j-z-^z u, ( 2 ) f{x):^bo-hbi X '\- b^ x^ -h bs x'^ zn o.

En appliquant la méthode de M. Sylvesteu (1172), nous multiplierons alors successivement la première équation (// — 1 étant ici égal à 2 ) par x^, x, i; et, la seconde équation {m — I étant ici égal à 4). par i^ -f, -r'', x^, -r''- Nous obtiendrons de celle manière les huit relations (a^

a-oX- -i- a, X* -1- a^x'

asx''

-^ a^x^-h- «2 x^ -T- a:iX''

«0-^ ftï-v

bo+ b^x

-1- b 1 X- + />2 x^ -T- bu x'* boX^-h biX^-î- b^x*

biX''

bf,X^-r- byX'

boX

Il esl clair, sans avoir besoin de répéter les mêmes raisoniiemenls (1172), que les équations (i) et (2) admettront au moins une racine commune, si le déterminant S des coefticients des équations ci-dessus est égaJ à zéro. On a pour ce déterminant (')

■a.i (7;{ ei.^ «.. G G

A„ /y, hi h^ o 0 o

hf, bi bo b^ o G Ao b^ b.2 63

Il est évident et il est facile de vérifier que S n'est autre chose que le déterminant A obtenu précédemment (1172). en remarquant seulement (|ue, dans ce cas. les équations proposées étaient écrites de cette manière :

V ( j" ) r=: «n x*" -h a, x'* -h a. 2 J'^ ■+- 173 jr- -^ a.^a' -t- « 5= o, f{x)r=bQX^-\-biX-^bi.r -4-63^=0.

l*our comparer S à A, on doit donc échanger d'abord «r/,, et rr-, (7| et a.^, a^ et «3; puis, />„ et A-, b^ et &2- On a ainsi

flTj

Cl;

fh

Ih

et l'on voit que ce déterminant renferme, dans un aulre

(') Celle forme 1res ulile du clétcriiiiiiiinl rie M. Sylvesler a élé indiquer pour l;i première fois par M. M.\nslox {/or. cit.).

ALGÈBRE SUPÉUIEIUE. SoQ

ordre, les inènies lignes et les mêmes colonnes (jue A qui a pour expression ( 1172)

ru

S ne peul donc dilTérer de A que par le signe (i6). Or, dans la recherche que nous poursuivons, on n'a pas à se préoccuper d'un changement de signe, puisque le déterminant considéré doit être nul dès que les équations données admettent au moins une racine commune. Nous confondrons, par conséquent, dans ce qui suit, les deux notations S et A, et nous emploierons le déterminant A de M. Sylvester sous la forme (3), en nous rappelant que Tordre de ce déterminant est toujours la somme des degrés des équations proposées.

1175. Supposons maintenant que les équations (i) et (2) admettent au moins deux racines communes />, et p^. Nous pourrons poser

F(..r) = U-p,)^{.r), f{x) = {x - p,) '^{jc),

el les deux équations

admettront elles-mêmes au moins la racine commune p^. exprimons ce fait d'après ce qui précède.

F(j?) et/(j?) étant du cinquième et du troisième degré, <I>(.j7) et o{jc) seront du quatrième et du deuxième, et nous aurons

(4) <t(.r) = Cq -h CiX -h C^X' -h CiX^-\- c.,x^:= o,

(5) o{x)=zdç^~i- diX -r- diX'z^o.

Mh

ALOEBUE SUPEKIEUUK.

Or, pour ([lie les ôqualiotis (4) cl (5) ;iieiil an moins une raison coniinuiie /^o, il faul et il suflil ( 1173) que le délerminanl A' de Sjlvester qui leur correspond soit égal à zéro, c'est-à-dire qu'on ail, en applii|uant l'équation (3) du numéral précédeni.

Cç,

di

Mais, d'après les relations connues entre les racines d'un( équation algébrique et ses coefficients ( 102V, 1036), on a, ei; rapprochani l'équation (/() de l'équation (0 et l'équation (5 de l'équalion (2 ),

Ci,

Pl>

doîi

fti-c, — ihC;

d'où

cti=-c.2 — pyC,

d'où

^'•2 = Cl — />|C2

Co

d'où

Ço

Pu

d'où

cfo--= — /hc,^.

On trouvera de même

do — Pid^, b^ — — pid,,.

Si, dans le détcrminani A', nous retranchons alors de cha{|ue colonne la colonne qui la suit multipliée par />,, et si nous tenons compte ensuite des relations f|ui lient les coefficients des équations (/j) et (5) à ceux des équations (i)

ALGEBRE SUPERIEUISE.

ci ( î), il vient, sans ([iie la valeur de A' soil motlifiée (57

— P\Cf,

— PyC,

Ci —piC,