C-i —piC-i

Ci— PlC;

ifo — Pi^fi

— p, cl.

— pido

fh — Pydi

-Pid,

do^Pi'h

d\~pxd.

— P 1 do d„ — p , di r/, — p , d, d.

c'est -;i-(lirc

cf\

Prenons maintenant le déterminant S ou A [117V, équation (3)] et écrivons les mineurs successifs qu'on en déduit, en supprimant d'abord la première et la dernière ligne ainsi que la première et, la dernière colonne; puis, les deux premières et les deux dernières lignes ainsi que les deux premières et les deux dernières colonnes, etc. Ces mineurs sont dits les mineurs principaux successifs du déterminant A, et nous les représenterons par Aj, A,, A:;, ....

On voit que, si l'on encadre les éléments du détorminanl A, comme nous l'indiquons ci-dessous en reprenant la valeur (3) [1174],

fl3

a-, bi by

o bo b

on obtient les différents mineurs principaux A,, A,, A3 en

Al.OEBnK Slil'KllIEURF:.

supprimant successiveineiil les ôh'Miienis compris entre les différentes enceintes. Vinsi, on a, comme premier mineur principal.

il)

'ly

et il en résulte, en rapprochant (()) et (-),

Or, si les équations (4) et {o) admettent an moins une racine commune, on a A'— o el, par conséquent, A, = o. Si ces équations n'admettent aucune racine commune, on n'a pas A'= o (1173) el, par conséquent, on n'a pas A, = o.

On voit donc que, si les équations données (•) et {2) admellenl au moins deux racines communes, on a à la fois

mais que, si elles n'en admellent qunne seule, auquel cas les équations (4) et (5) n'ont aucune racine commune, on a, en même temps que A=:o, A' ou A, différent de zéro,

117G. Le résultat que nous venons de trouver conduit aux conditions cherchées.

Si les équations (4) et (5) ont au moins deux racines communes, le premier mineur principal de leur déterminant A' est égal à zéro (1175); mais, comme A'= A,, le premier mineur principal de A' est celui de A,, c'est-à-dire le second mineur principal de A ou A,.

Par conséquent, si les équations données (i) et (2) admettent au moins trois racines communes, on a à la fois

Mais, si elles n'en admettent que deux, les équations (4) et (5) ne peuvent en admettre qu'une seule, et l'on a, en mémo temps que A = o et A, = o, A'j ou Ao différent de zéro.

On peut poursuivre indéfiniment le même raisonnement.

D'mie manière générale, pour que les équations (1) cl (a)

ALGÈBOliE SLPÉÏllEURE. o6.>

(lie ni EXACTEMENT p vaciiics cuniniunes, il J'aal ci il sujjit que le (létertninant A qui leur correspond et. ses p — i premiers mineurs principaux Ai, A2, A:j, .... Ap i, soient nuls, en même temps que le p'^'"-' mineur principal A,, oifpérent de zéro.

Tel est le théorème fondamental énoncé pour la première fois par M. Elg. Rodché., et démontré par lui en partant du (lélerminamt de Cauchy. L'intime liaison q«i existe entre les méthodes d'élimination que nous avons exposées pouvait faire prévoir que ce théorème s'appliquerait également au déterminant primitif de Bézout et d'Euler, c'est-à-dire à celui de M. Sylvester, sauf les mineurs con'^idérés comme principaux.

Équation aux racines communes.

1177. Reprenons les deux équations

( I ) Y { x) ^=z a^-^ ayX -h- a=iX- -^ «3 x^ -^ a .. x' -h «j x^ ^ o, ( î) f{x) = ^oH- bix -^ byX--v b^x'=.o.

Si elles admettent une seule racine commune, on a (1176), en formant le déterminant de M. Sylvester qui leur correspond et en marquant ses mineurs principaux A,, A,, Aj, . . ., comme on l'a indiqué (1175),

si elles ont deux racines communes, on a

A =: o, Ai=:o, Ao^o;

si elles ont trois racines communes, on a

A =: o, A,=ro, ^2=0, A.3?îo;

et ainsi de suite.

On peut donc savoir d'avance combien les équations proposées admettent exactement de racines communes; et, par conséquent, former l'équation aux racines communes en employant la méthode du plus granti commun diviseur (1079).

Si ces équations admettent, par exemple, p racines commoûes, leurs premiers membres auront un plus grand commun diviseur du/?'"^'"" degré et, en l'égalant à zéro, on obtiendra l'équation aux racines communes.

.iO

\r.«;i;ijui-; .^i i'i:iîieuuk.

Mais on peut aussi Irouvcr celle éf|natioii, en coiilimianl .1 se servir des délerminanls.

1178. Four fixer les idées, supposons que les équations (1) et (2) du numéro précédenl aient exactement deux racines communes. Les huil relations (a) établies au n° 117V seront siitisfailes par ces racines communes. Le premier mineur principal difîérenl de zéro étant alors A, qui est du quatrième ordre (1175), considérons seulement parmi les huil relations (a) les quatre éfiuations

CTo-f- «i-r H- a.yX--^

bo-\- biX -h byX'-i-

byX^ =^0,

boX-^b,X^-^

6, x^ -i- b-i x* -T- b-i jp' =r 0,

et éliminons entre elles les trois inconnues x^, x'% x'\ Le résultai de l'élimination devra être égal à zéro, et l'on aura

ao-"- aiX

Cli 1

fi-i

Telle est Véquation aux racines communes sous l'orme de déterminant. On peut l'écrire immédiatement de la manière suivante (58, 5i), comme équation du second degré :

; a, (73 a,^ rtj I \ b.-, b^ o o ,

! 6, b, h-i o < : ^0 by h., b,^

Le coefticienl de x- n'est autre chose que A, ( M7o) qui a du être préalablement calculé et qui, par hypothèse, est différent de zéro. Quant aux autres coefficients de l'équation, on passe immédiatement du coefficient de x^ à celui de x et au terme constant, en remplaçant les éléments de la première colonne de A, par ceux qui les précèdent immédiatement, dans la valeur de A, d'abord, puis dans celle de A (1175).

Celte règle est générale.

ALGEBRK SUPEllIELKK

.;Gj

I/>/c'.y a\-oir véi ijié (jue les cqnatio/is /imposées ont exacleiiujitl p racines communes, on J'nmie le premier membre de l rqiicilion qui les a pour racines en prenant pour premier l<rme

l'/i obtient ensuite les coejjicients des ternies en x^^^, x''~-

1 , en substituant aux éléments de la première colonne de A,, tf'ux qui leur correspondent, immédiatement et successivement, dans A,,,, Ap 2, . . . , À, le déterminant A étant écrit icmme nous t'avons indiqué { 1 175 ).

Applications.

! 179. J" Exprimer les coitittlioiis qui dimx'nl cire lempiies pour que ' > (■'quatioii'i

Uu^- «iX - (14.1 -^ i' -- <),

bo — l>iX - .1-

II t deux racines coiniituiics.

Il — I étant ici égala i, iiou- inuUi|iiieions successivement l'équation (i ) par X. i: m — i étant égal à i. nous multiplierons successivement l'équation (2) par I. r. .r2. Il viendra, pour le système (a) [1174].

<(i).r -r- <?! X- - (IriX-*

a y — «1 X — tl-yX- -^ x^

bo — biX — .>:'-

/yy.t - - hi-i- — ./-^

Le délerminaiU A est, par suite,

flï

366 ALGÈBKE SLPKlUKLRr:.

On a cil iiième lciii}ts, |»our les mineurs principaux.

et \i

L'équalion {i) clant du second degré, les équations doruiées ne peuvent admettre plus de deux racines communes, et A^ est de lui-même différent de zéro (1176).

L'équation aux racines communes est d'ailleurs, d'après la règle générale (1178),

c'est-à-dire l'équation (2 ) elle-même, résultat évideai.

A2 étant nécessairement différent de zéro, les conditions cherchées se

réduisent à

A = o. Al = o.

Si l'on ordonne A suivant les éléments de la première colomie. on a (59)

I a» «i f'ï 1 \ Hû ('\ (i-i i \

\ hi 1 o o I ( (/[ ri-, 1 o

— ho'

A = — (fi)

hi) l>i I o

f> A,, by I

o Ao l>\ I

En ordonnant encore respectivement les deux déterminants du second membre suivant les éléments de leur première colonne, il vient

(Il

— ((iJ>\

— f(ii bo

rto/-»..

Comme A, doit cire égal à zéro, le deuxième et l'avant-dernier déterminanl du second membre disparaissent, et Ton a, en ordonnant toujours les déterminants restants suivant les éléments de leur première colonne (59), et en remarquant que le premier d'entre eux se réduit à I (53),

— a\ -1- aohoic'i ~l>\ ) -^ a^a.,b^, — rt^bf^bi -i- aybl~ a=,bl{a.j — by) — bl

c'esl-à-dirc

al = {a.i— bx){'î <7o An — <7o b'I ) -t- A^ ( r^ — b» )■

ALGÈBRE SUPÉIllEUKE. SÔ';

Al devant être nul, on a aussi, en développant toujours do la môme manière,

Ai =«i— hi{o,— bi) — Ôq = o

Cil — /'u = hiia,- bi).

Il vient donc, en substituant dans la relation précédente,

«0 ~ («2— bi)(->.aobo — Onb'^ -h blbi) ou

Ol = bo ( <7o — />! ; [ 2 «0 — bo ( «2 — ^j )] ;

ce qui revient à

[au— bu(a^— bi)]- = o.

Les conditions cherchées sont, par conséquent, exprimées par la seule égalité

On peut vérifier facilement ce résultat en divisant directement

a-^ — r/.i.r- -i- (ti r — a„ par x- -- b^.v -'- b„.

et en écrivant que le reste du premier degré auquel il faut s'arrêter est identiquement nul.

1180. "i" Chercher les racines cominiuies aux deux équations (' )

Pour former le déterminant A, nous opérerons comme il suit (H74). Les équations données étant de même degré, n — i et /;/ — i sont ici tous deux égaux à 4- Nous multiplierons donc l'équation (i) par x'*, x», x^, X, I et, l'équation (t.). par i, x, x'^, x-^, x'*. Nous obtiendrons ainsi les dix relations (a) que nous écrirons de cette manière :

— g.r* — iix^ -i--2x^ = o.

— Ç)X- — 1 1 .r* -+- ix^ = o.

— (j-c — -ii.r^ — ix^ = o.

- <) ^ii.r^ ~ 2.rS = o,

8i.z'^ -{-iix^ -i~ /\x' = o.

Six» -^ii.r'' -;- /(.r» = o.

(') M. Falk a traité cet exeijiple suivant sa mélliode (loc. cit.).

.W'xS ALGÉmu: SLl'liUlEURF,.