JélcnuinaiU A ;i donc |>our expression
Si
Ce déLerminanl étant du dixième ordre, son développement devient pénible. Nous remarquerons alors que. si nous pouvions le ramener à présenter une colonne d'éléments nuls, sa nullité serait démontrée ( ' )
On peut essa\er d'y arriver de la manière suivante, indi(juée par M. Falk dans son Mémoire Sur l'cVinination déjà cilc.
Mulli|)lions les dififérentes colonnes du déterminant par les indéterminées a, p, Y, 0, z, ^. Tj, 0, X, ;ji., et égalons ensuite à zéro les sommes obtenues en ajoutant les éléments ainsi modifiés des difTérentes lignes. Nous aurons à considérer le système
iir,
- Il ^
- il 0
rr,
Si X
Si 'i
Si -
Si 0
uX
('j M. I'ai.k a (!Labli, leciproquenient. «[iic imil tKlci'ininanl quI peut c-Lre ruincrié à prcscnler une colounc d'élcmoiUs nuls {.\ouvelle Corrcsponi/ii/icc iiHitliéDiatique, l. I\', 1878).
ALGEBr^E SUPERIEUKE.
Ces équations linéaires homogènes sont toujours compatibles: mais suivant qu'elles admettent une solution unique a = o, ^ = o, .... ;jl = o (qui ne peut convenir à la question), ou suivant qu'elles sont indéterminées, le déterminant de leurs coefficients, c'est-à-dire A, est différent de zéro ou est égal à zéro (101, 102), Il ne s'agit donc plus que de résoudre ces équations.
Tout calcul effectué, on parvient à exprimer toutes les inconnues en fonction de a. et l'on trouve
A = Si a.
(^es valeurs satisfont aux équations posées quel que soit a (qu'on peut faire égal à l'unité). On a donc bien A = o et, par conséqueni, les équations (i) et (2) admettent au moins une racine commune.
Il faut maintenant considérer le premier mineur principal Aj. el lui appliquer le même procédé.
On vérifie qu'on a encore Ai = o; el, par conséquent, les équations ( i ) et (2) admettent au moins deux racines communes.
Nous devons à présent consulter le deuxième mineur principal \,. en suivant toujours la même marche.
On a
On a donc à résoudre le système
-Il-;
— II
— lia
