CHAPITRE V

APPLICATIONS DE l\ THÉORIE DE L'ÉLIMINATION.

Transformation des équations.

1181. Nous avons déjà indiqué le but qu'on se propose dans la transformation des équations (lOoi), et nous avons fait connaître les transformations les plus élémentaires et les plus usuelles. Nous nous proposons de généraliser et d'étendre ces premières notions.

Le problème à résoudre est celui-ci (lOoi) :

O/i donne une équation

de degré m et dont les racines sont z-i, z,, Z;,, . . ., z„,. Il s'agit d'en déduire une nouvelle équation 1"(/0 = o, transformée c/e la première, dont cliaque racine u soit exprimée par une fonction déterminée

de n racines de la proposée.

Il faut qu'on ail à la fois, (juelles que soient tes racines ;,, z-i, . . ., z„, considérées,

^{zi) = o, $(52)=o, .... i^{z„) = o,

Par conséquent, si Ton élimine les n quantités -i, .:;.2) • • •» z^, entre les n + i équations ci-dessus, l'équation finale en u aura nécessairement pour racines les valeurs correspondant à toutes les combinaisons qui, sous la forme assignée par la

ALGÈBRE SrPÉRIEURE. 3"]^

relation (2), peuvent exister entre w racines de l'équation (i). <"ette équation finale sera donc l'équation cherchée

Va\ opérant de cette manière, chacune des racines ^1, z,, . . ., :;„, est regardée comme pouvant recevoir respectivement les valeurs des m racines de l'équation <&(::)= o. Le nombre des valeurs de u est alors égal au nombre des «/•/««qenienls avec répétition de m objets pris n à n, c'est-à-dire (23-2) à m". Tel sera donc le degré de l'équation finale.

Mais, si, en laissant de côté le cas oîi l'équation donnée (!)(:;) ^ 0 aurait des racines égales, on s'impose la condition (|ne les valeurs attribuées à ^i, Zo, . . ., -„, soient distinctes, MU voit que la transformée

ohlonue par l'élimination indiquée, présentera des solutions rtrangères; et l'on devra diriger les calculs, de manière à éviter ces solutions.

Nous allons appliquer ces explications à quelques exemples, i»ù les racines de la transformée dépendent seulement de deux iKs racines de l'équation proposée, suivant une loi déterminée.

1182. Supposons d'abord, d'une manière générale, que < liaque racine u de la transformée doive être égale à une fonction rationnelle quelconque oi^z^,z.^) de deux racines de la |iroposée. Nous traiterons ensuite quel(|ues cas particuliers.

Pour obtenir la transformée, on devra éliminerai et s, entre les trois équations

{y.) <!)(.-,) = 0, (I)(3,) = o, « = cp(^,,-2).

Si m est le degré de O(^) =^ o, le nombre des valeurs de u >(ia égal au nombre des arrangements avec répétition de m objets pris 232, c'est-à-dire égal à m-. Mais, si les deux racines z^ et ^2 doivent rester distinctes, le nombre des valeurs de u se réduira au nombre des arrangements sans répélilion de m objets pris 2 à 2, ou sera égal à m(/n — i). Il y

aura donc

ni' — ni {m — i)

ou ni solutions étrangères.

3^4 ALGÈBRE SUPÉRIEl/RE.

Pour éviter ces solutions, on n'a (|u'à remplacer dans hsystème (a), ce qui est permis (Alg-. élém., 122), ladeuxiènu é(]ualioM, 0(^2) = o, par ré(|uation

en divisant en môme temps celle-ci par la différence ^2-- ce qui supprime nécessairement les m solutions répondant n

Pour obtenir immédiatement le quotient de cette division, on remarque qu'on peut écrire, en regardant z.2— -, comnn' un accroissement donné à :■^ et d'après la formule de Tavlin (32i, 675),

On en déduit, en faisant passer «l>(ci) dans le premier membre et en divisant par z.,— z^,

^l-^(£^ = «..(„) ^ *.(,,) îi^. + ... ^ *,»o (=,) (£1^:!^ =

Z-., — Zi 1.2 1.2. 3.../»

En substituant dans les applications cette équation à la deuxième équation du système (se), on n'aura plus à tenir compte d'aucune solution étrangère.

1183. Il peut arrivei" que la fonction <p(-i, :;2) soit symétiùjue par rapport aux racines ^1 et ^2 qu'on associe. Le nombre des valeurs distinctes de u est alors égal au nombre des combinaisons de m objets pris deux à deux, c'est-à-dire que le degré de l'équation finale doit devenir en réalité

— — -^ au lieu de mi m — i).

1184-. 1° Équation aux sommes des racines prises deux a deux. Les trois équations du système (a) [1182] sont ici :

ALGEBRE SUPERIEURE.

La dernière relation étant symétrique par rapport aux racines associées, le degré de l'équation finale doit devenir

mi m — I ), « 1 or. V . , . . -, ,, .

— ^ (1183), SI le degré de 1 équation donnée est m.

Or, le degré de cette équation finale sera d'abord m{in — i)

[1182]; mais, comme elle admet la racine z,~\-Zi aussi bien

que la racine ^i+ z=,, toutes ses racines seront égales deux à

deux, et son premier membre sera nécessairement (1017) un

carré parfait. En en extrayant la racine carrée, l'équation

qui donnera toutes les valeurs distinctes de a sera donc bien

, /?i ( m — I ) (lu degré — ^ •

Prenons, par exemple, l'équation du troisième degré

Nous aurons à traiter les trois équations

(i) z\-^ pz^^q — o,

(2) 3^^+/. + 33.(;,-:ri) + (;,-r,)'=o,

(3) « izz ;,-+- ô.,.

Nous éliminerons d'abord z^ entre les deux dernières équations, en substituant u — z^ à la place de ^2 dans l'équation (2). Celte équation deviemlra alors, en développant el en simplifiant,

( 2 bis ) z\ — // ; I M- «- -!- /J = o.

Il ne restera plus qu'à éliminer ^1 entré les équations (0 et (2 bis). Pour plus de simplicité, nous écrirons z au lieu de ^1, et nous appliquerons la méthode de Caucby aux deux équations

Nous diviserons les premiers membres de ces équations l'un par l'autre, et nous remplacerons la première équation par le reste du second degré, égalé à zéro, auquel nous nous arrêterons (1164, 1°). Nous aurons ainsi à considérer en dernier lieu les deux équations de môme degré

z'^ — iiz -h ;<2 +/? = G, uz'^ — U'Z -\- q-^ o.

3^6 ALGÈBRE SUPIÏRIELRK.

\oiis CM déduirons

II a- z — If HZ — // - q

c'est-à-dire, sous forme entière.

o . ; -■- ( // ' -i- pu — Y j ^ o, ( u'' -I- pu — (l)Z — // ( » ' — pu — y) =0,

L'équalioii tiiiale, déierminant des coefficients de ces deux équations égalé à zéro (1161), est donc

ou, en extrayant la racine carrée,

u^ -\- pu — ^ := 0,

, , , >n(m — i) équation de deere =; 3.

L'équation finale ainsi obtenue se confond, sauf u mis à la ]ilace de z, avec la transformée en — ; (1039) de la proposée. Et, en effet, la condition (1036)

entraîne

Uemarque. — Supposons que l'équation du troisième degré considérée ne soit pas privée de son second terme. Elle sera de la forme

En désignant les trois racines par r,, z.^, z.^, on aura à la luis, d'une manière générale,

u — z, + z.,, n-r—{z,-vz.-^z.,),

c'esl-à-dirc

La transformée cherchée est donc alors immédiatement

<i> {— u — a) — o ou

«^H- 'i.ciu- -\- {a- -\- b)u -n {ba — c) =: o.

ALGÈBRE SUPÉrxIELillK. '.^'J']

1185. 2" Équation aux différences des uacines prises deux a