DEUX

Les trois équations du système (a) [1182] sont ici

On éliminera d'aI)ord Zr, entre les deux dernières équations, en remplaçant dans la deuxième équation la différence -2— ^1 pai' "; et, en écrivant ensuite :; à la place de ^i, il ne restera plus qu'à éliminer z entre les deux équations

L'équation finale doit être de degré m{tn — i) [1182]; mais,

comme elle a pour racines aussi bien z^ — z^ que Z1—Z2, toutes

ses racines sont nécessairement deux à deux égales et de signes

contraires. Il n'y entre donc que des puissances paires de u,

, , , . , , . . , niini — 1 ) et on peut 1 abaisser au degré moitié — ^ en posant

w'^= V. L'équation en V est alors Véquation aux carrés des dijférences des racines.

Nous avons déjà traité cette question (1151), et nous avons appliqué la solution trouvée, de deux manières différentes, à l'équation du troisième degré (1152, 1169).

1186. 3" Équation aux produits des kacines prises deux a deux. Les trois équations du système (a) sont ici

L'équation finale doit être de degré m{ni — i); mais, puisqu'elle a pour racines aussi bien ^2-1 que z^z.^,, toutes ses racines sont nécessairement égales deux à deux, et son premier membre est nécessairement un carré parfait, comme dans le cas de l'équation aux sommes (1184). En en ex-

zl-r-pzi-~q = 0,

■iz^^3z^(z,-zi)-i-iz,-zO

Il ^ ZiZ,.

378 ALGÈBRE SUPÉIUEUUE.

trayant la racine carrée, on Irouvera donc une é(|ualion di

, /n (m — 1 ) degré — ^

Appliquons encore ce qui précède a icquation du Iroisicme désiré, Les équations ci-dessus deviendront (1184)

Nous éliminerons d'abord z^ en remplaçant zo par — dans l'équa-

lion (9.) qui, en développant et en chassant les dénominateurs, prendra la forme

(2 bis) z\ -+- (h — p)z'i -T- li- = o.

En écrivant z au lieu de Si, nous avons donc maintenant ù éliminer z entre les équations (i ) et (2 bis).

Pour simplifier les calculs, sans cela assez pénibles, nous commencerons par multiplier l'équation (i) par z, et nous la retrancherons de l'équation (■?, bis). Il viendra

( 3 ) HZ- — f/ z -h w- = (t.

Cette équation (3) pourra remplacer Tétjuation (i). Nous diviserons alors l'un par l'autre les premiers membres des équations (2 bis) et (3 ). et le reste du second degré auquel nous nous arrêterons pourra, égalé à zéro, être substitué à l'équation (2 bà). Nous aurons ainsi à éliminer z entre les deux équations de même degré

it z- fJZ — fi- = o,

{pu--+- q'^)z'- — qii'^z -i- là = o.

En appliquant alors la méthode de Cauchy, nous trouverons les relations

pu' H- cf^ qu- z

HZ — (j I

{pii^ -h q^)z — qu- u-

qui, ramenées à la forme entière, conduisent au système

q{u^ — pu- — q- )z — u'^(u^ — pu- — q^) — o, («^ — pu'^ — q-)z -t-o =: o.

Le déterminant des coefficients de ces équations égalé à zéro esl

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3-g

l'équalion finale cherchée. On a donc pour cette équation