II- ( 11^ — fit- — (y2 j

ou, en extrayant la racine carrée et en supprimant le facteur u qui ne peut pas être nul,

lû — pit- — • q^ = o.

1187. 4° Équation aux rapports des racines prises dei\ a deux. Les trois équations du système (a) sont ici

L'é(iualion finale doit être du degré ni{ni ^ i); mais, puisqu'elle adm-et pour racines aussi bien — que ^'5 elle e>lréci-

proque (1070), et l'on pourra toujours abaisser son degré au

, , ...mlm — i) ,„,,, degré moitié — ^ (10/3j.

Pour ré([uation du troisième degré. les équations ci-dessus deviendront (1180;

(Ij z\-^pzi^q = o,

(2) Szf-H 33i(3, — 3i)-^(32— 3i)2 + ;j = O,

On éliminera d'abord zn, en remplaçant z^ par uz^ dans l'équation (2) qui, en développant et en simplifiant, prendra la forme

(2 his ) ( /t- -r- 1/ -h i )Z'l p = o.

En écrivant z au lieu de 3i, il restera à éliminer 3 entre les équations (i) et (2 bis).

Nous simplifierons les calculs en divisant l'un par l'autre les premiers membres de ces équations. Nous ne pourrons pas obtenir un reste du second degré; mais nous nous arrêterons au reste du premier degré qui, égalé à zéro, nous donnera l'équation {lùis) par laquelle nous aurons le droit de remplacer l'équation (i). Cette équation {ibix) a pour expression

(i bis) p{u^^ u)z -^ r/(u'--+- u ^ j) — o.

■ )8o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

En divisant alors l'un par l'autre les premiers membres des C(|uations (ihis) et (ibis), nous parviendrons à un reste du premier degrô qui, égalé à zéro, nous fournira à son tour une équation (2 ter) par laquelle il nous sera permis de remplacer l'équation (2 Im-). Nous aurons donc enfin à exprimer (}ue les doux é(}uations

(ibis-) p{u--T- 1/ )z -h (j{ii'--r- H -- i) = n,

{■?. ter) — q{ u- -h // -1- i )2 z -4- p~ ( a- -{- u)— o

ont une racine commune. Le déterminant des coefficients de ces équations, égalé à zéro, nous conduira à l'équation finale

ou, en développant et en réduisant, à l'équation

f/'^u'' -^ 3<7-H^H- (Cuf--h p^)u'*

-i- (7<y--4- ■xp^)u^-^ {6f/'--^ p^)/i'- -T- 'if/'-/i -^ q"^ ~ o,

qui est bien réciproque (1073).

En divisant ses deux membres par n^ et en posant

on la ramène facilement (1073) à l'équation de degré moitié moindre. ?n(m — 1)

q- V^ -T- 3 q-Y- -f- ( 3 q'-^ p^)\ -h q--T- ip^ = O.

1188. Nous tlémonlreions encore ce théorème imporlaiil :

Toute ti nnsforination rationnelle peul être ramenée à une transformation entière.

Soit, sous forme entière, l'équation

supposée de degré m, et désignons par 9 cl 'j/ des fonctions entières; considérons la fonction rationnelle correspondante (le ses racines

On obtiendra la transformée en u en éliminant - entre les équations

A chaque racine de ré(|ualion F(:;) =0 répond une seule valeur de II. Il en résulte que, si les polynômes Y{z) et "^{z) sont premiers entre eux, la transformée en u a m racines finies et est aussi de degré m. Mais, si F(:;) et ^{z) ont un plus grand commun diviseur de degré p, la transformée en a a p racines infinies et s'abaisse, par conséquent (1068), au degré m — p. Mais, dans ce cas, rien n'empêche de diviser F (5) par ce même plus grand commun diviseur, afin d'abaisser aussi l'équation F(c) = o au degré m — p. Nous pouvons donc regarder les deux polynômes F(^) et '\i{z) comme (^{!M\i premiers entre eux, c'est-à-dire l'équation donnée et sa transformée comme étant de même degré.

Cela posé, nous avons prouvé ( 1153, Remarque) que, lorsque deux polynôuîes F (s) et 4'(^)» de degrés m et n, sont premiers entre eux, on peut toujours déterminer deux autres polynômes Fi(-) et 'l'i(^), de degrés m — i et n — i, tels qu'on ait

Pour toute racine de l'équation donnée, on a F(:;) --=^ o, et la relation (i) devient