F, (3) =: I OU
On a alors
et la fonction rationnelle considérée se trouve ramenée à la forme entière.
Fi(:;) est de degré m — i, o{z) est au moins du premier degré. On peut donc diviser — o(::) F, (5) par F(;). Si Q est le quotient et/(-) le reste obtenus, on a
ou, pour toute racine de F(;) =0,
îi^=-9(.)F,(.)-^/(.).
Comme /(ô) est de degré inférieur à F(::), la fonction rationnelle ramenée à la forme entière est de degré inférieur à F(2), c'est-à-dire au plus du degré m —\.
,)8'2 ALGKBUE SUPÉRIEURE.
On peut donc ajouter {|ue la fonction rationnelle la |>lii> générale d'une racine d'une équation algébrique de degré i» est, par rapport à cette racine, une fonction entière de degré /n — I .
1189. Ce théorème peut s'étendre immédiatement au cas où l'on a affaire à une fonction rationnelle de plusieurs racines de l'équation proposée.
En effet, admettons que la fonction rationnelle
renferme, avec la racine z, d'autres racines s,, z.^, z^, . . ., de l'équation F(;) = o. D'après ce qu'on vient de voir (1188), on aura au plus
?(-^) Ai\-i A-2-4- -4- \. -'«-'
il;(s)
et, dans celte relation, Aq, A,, A2, . . ., A,„i seront des /o«ctions rationnelles des autres racines ;,, z^, -S3, ..., qu'on pourra, respectivement et d'après ce qui précède, rendre entières relativement à la deuxième racine s,, puis par rapport à la troisième z.^, et ainsi de suite; de sorte que, finalement, toute fonction rationnelle de plusieurs racines d' une équation algébrique peut être ramenée à une fonction entière de ces mêmes racines.
De l'abaissement des équations.
1190. On dit qu'on abaisse une équation toutes les fois qu'on peut diminuer son degré ou ramener sa résolution à celle d'autres équations de degrés ])lus simples.
1191. Toute équation F(^) =: o, dont les termes ne renferment que des puissances de :; dont les exposants soient multiples d'un même nombre p, est susceptible d'abaissement.
En effet, si le degré de l'équation est mp et si l'on pose u =■ zf, il est clair que l'équation F(3) = o de degré mp sera remplacée par une équation F(v/«) = o ou ç»(«)=o de degré ni.
ALGÈBRE SUPÉUIEURE. 383
Toute équation réciproque, de première ou de seconde espèce (1073, 1074), peut s'abaisser à un degré moitié moindre.
D'une manière générale, l'abaissement d'une équation a lieu toutes les fois qu'on parvient, par un procédé quelconque, à décomposer son premier membre en deux ou plusieurs facteurs (1021). Toute équation qui a des racines égales est susceptible d'abaissement (1092).
1 192. Dans le champ infini des quantités mesurées, on peut, si l'on veut, regarderies unes comme connues^ les autres comme inconnues. On peut, par exemple, admettre cette distinction entre les nombres commensurables ou rationnels et les nombres incommensurables ou irrationnels {Arithm., 271, 273).
Si l'on a une équation algébrique à une seule variable F(v) = o, ses coefticients peuvent être des fonctions rationnelles des quantités, quelles qu'elles soient, qu'on regarde comme connues.
On appelle alors diviseur rationnel tlu premier membre F(5) tout diviseur, fonction entière de ;:, dont les coefficients sont aussi des fonctions rationnelles des quantités regardées comme connues.
D'une manière générale, toute fonction rationnelle de ces quantités est elle-même une quantité rationnelle.
Ces définitions s'étendent immédiatement aux fonctions entières de plusieurs variables.
1193. Cela posé, et conventionnellement, toute fonction entière Y{z) est dite irréductible, lorsqu'elle n'admet, dans le sens indiqué, aucun diviseur rationnel. L'équation correspondante, F(^)=o, est, à son tour, une équation irréductible.
Il est clair qu'une fonction entière et l'équation correspondante sont réductibles ou irréductibles, suivant qu'on regarde comme connue telle ou telle classe de quantités.
Par exemple, l'équation
est irréductible, si les quantités connues ?,on\, les seuls nombres rationnels. Mais, si les quantités connues comprennent aussi les nombres irrationnels, racines carrées des nombres rationnels, la même équation devient réductible, puisque son pre-
384 ALr.KBRK SUPÉRIELIIE.
mier membre est le produit des deux facteurs rationnels (1 192)
- — \/3 et :; -h v/3.
De même, l'équation
est irréductible, si les quantités connues sont les seuls nombres réels. Mais, si les quantités connues comprennent aussi les nombres imaginaires, tels (jue nous les avons considérés (803 et suiv.), la même équation devient réductible, puisque son premier membre est le produit des deux facteurs rationnels z — i \/3 et 3 -h / \/3 .
1194. Une équation irréductible à coefficients connus ou rationnels (1192) ne peut avoir que des racines simples; car, d'après la tbéorie des racines égales (1092), les racines multiples d'une équation algébrique sont données par des équations de degrés moindres, à coefficients rationnels, dont les premiers membres sont alors des diviseurs rationnels du premier membre de l'équation proposée.
1195. F(-) étant une fonction entière de z à coefficients rationnels et F(c)::=o étant une équation irréductible en raison du choix des quantités connues, ^{z) étant à son tour une fonction rationnelle en raison du même choix, il suffit que l'équation <I)(3)=:o admette une seule racine z^ de l'équation F( 3) =: o, pour qu'elle admette toutes les autres.
Soit, en elfet, en désignant par 9 et ^j; des fonctions entières,
On en déduit
et l'on voit que s,, annulant <!*(-,>, annule aussi o{z). Par conséquent, G, est une racine commune à F(:;)=:o et à cp(3) = o. 11 existe donc (1079) un plus grand commun diviseur D, au moins du premier degré, entre les deux polynômes 9(3) et F(3), et ce plus grand commun diviseur, obtenu par divisions successives, est nécessairement rationnel dans le sens indiqué.
Comme la fonction entière F(3) ne peut pas, par liypotbèse, admettre de diviseur rationnel autre qu'elle-même, il
ALGEBRE SUPERIEURE. 003
faut alors que, sauf un facteur constant qu'on peut toujours supprimer clans l'équation correspondante, F(-;) se confonde avec D. Par conséquent, (o{z) est le produit de D ou de F(^) par une autre fonction entière '/{:■), et l'on peut écrire
de sorte que l'équation <^{z)^=o est bien satisfaite par toutes les racines de l'équation F(^) z= o; car 'i>(-) est premier avec
1196. Lorsque deux racines d'une équation algébrique sont liées par une relation donnée, on peut, dans certains cas, abaisser l'équation, en opérant par voie d'élimination.
Soit l'équation de degré m
dont deux des racines, z et ^j, sont liées par la relation entière
(2) 0{z,Zi) = 0.
On pourra éliminer .Zi entre cette équation et l'équalion F(^i)=:o, et l'on sera ainsi conduit à l'équation finale
Or, si l'équation donnée (i) est irréductible, 0(j) devra être divisible exactement par F{z) [1195]. Par conséquent, l'équation (3) sera plus compliquée ou aussi compliquée que l'équalion (i) dont la résolution, en général, n'aura pas fait un pas. Mais, si l'équation (i) est réductible, elle ne rentre pas forcément dans l'équation (3). Le plus grand commun diviseur «•ntre ^{z) et ¥{z) peut être alors différent de F{z) et, dans ■otte hypothèse, l'abaissement de l'équation donnée a lieu.
1197. Pour le montrer, nous traiterons la question suivante :
(J/i suppose que deux des racines z et z^ de V équation réductible F(:;)^o sont liées par la relation z -\- z^^:^ a, et l'on demande d'abaisser l'équation.
De C. — Cours. IV. lij
386 ALOÈlîllE SUPÉniEUUE.
On devra (1196) éliminer ^, entre les deux éfjualions
L'équation finale en z sera donc
Les deux pol\nômesF(c) et F(« — -:) auront alors un plugrand commun diviseur D, au moins du deuxième degré, ei l'on pourra décomposer F(c) en facteurs plus simples.
Le plus grand commun diviseur D sera évidemment du deuxième degré, s'il n'}' a que deux racines z et :;i dont l;i somme soit égale à a, l'équation finale (3) étant satisfaiii' aussi bien par Zy que par z, en raison de la symétrie résultant de l'équation (2). D sera de degré supérieur au deuxième, s'il existe plusieurs couples de racines de l'équation donnée dont la somme soit a. Il sera enfin du premier degré, si
l'équation donnée a seulement une racine égale à -•
Considérons, par exemple, l'équation du troisième degré F(>) = ;5—832-i- 173 — 10 = 0, dont deux racines ont une somme égale à 3. L'équation finale est ici F(3 - 3) = - s^H- ^2-- 4; - 4 - o.
Le plus grand commun diviseur des deux polynômes F{z) et F(3 — z)
est égal à
On peut donc décomposer F(3) en deux facteurs
— S-— 3 3 — 2 et —3 -+-5,
c'est-à-dire abaisser l'équation proposée en ramenant sa résolution à celle des deux équations
