i-2 = 0 et

qui donnent les trois racines i, 2. 5. dont les deux premières ont une somme éuale à 3.

ALGEBRE SUPERIEURE.

Recherche des racines imaginaires.

1198. Comme complément du principe fondamental de la théorie des équations (1009), nous avons indiqué précédemment (1016) le procédé géométrique qu'on peut suivre pour trouver s^raphiquement les racines réelles ou imaginaires d'une équation.

Si l'on veut opérer algébriquement, on a recours à l'élimination.

L'équation proposée étant

la variable z est, pour toute racine imaginaire, de la forme jr-h//, X et }' représentant des quantités réelles. Si l'on substitue ce binôme à la place de ;, l'équation, comme on le sait (828), prend la forme

(i) Y{z) — Y{x'^yi) — o{x,y)-^i'h{^x,y) — o.

Toutes les fois qu'on atteint une racine de l'équation, le module de F (s) ou

s'annule, et réciproquement (820, 873). Les deux équations

sont donc satisfaites à la fois.

La question revient, par suite, à éliminer x entre ces deux équations et à déterminer les racines réelles de l'équation finale en y. On trouve les valeurs réelles correspondantes de X, en cherchant, pour chaque valeur de y, les racines communes aux équations (2) [117i et suiv,].

L'équation finale en y admettant, par exemple, la racine réelle v -= b, et les deux équations

<p(^, 6)=:0, ']j{jC, b) ^10,

admettant alors la racine réelle x^^a, l'équation F(c)=o est satisfaite à son tour par la racine imaginaire zz=ia -^ bi. Si ses coefficients sont réels, elle admet en même temps, sans calcul, la racine imaginaire conjuguée a — bi (1031).

.j88 algèbre supérieure.

1199. Il esl mile de remarquer que, tl'après la s«'*rie ilc, Taylor étendue au\ quantités complexes (967), on a, en i-e?ardaiit yi comme un accroissement,

Par suite, on a, pour les équations (2) du numéro précédent, en supprimant dans la seconde le facteur commun y,

j 9(0^, r) = F(,r) -F"(.r)fi .^FCV:(^.)^i-,

En éliminant jc entre ces deux équations, on voit que l'équation finale en >• ne pourra renfermer que des puissances paires; elle sera, par conséffuent, toujours susceptible d'abaissement (1191).

Si l'on donne, par exemple.

on écrira immédiateraenl

fix, y) = a.3— 4'-— •'■ — '^'' — '6.'- — 8)-^ — = o, ' 1.2

^/(.r.y) = Sx"- — 8.V — i — (>

i . 2.. y OU

( 'li( x,j) = 3.1- — 8.V — ()■- — I ) = o.

En éliminant x entre ces deux équations par la méthode de Caucliy, lin trouvera facilemeiU l'équation finale

jS ) '• -r- j 12 ) * — ^07 )■- — 10092 = o

et, eu posant j -= it, tout sera ramené à la résolution de l'équation du trois ème degré

48«3 ji2//- — 5o7« — 10092 = o.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3Sg

Disparition des radicaux.

1200. On a souvent à considérer des équations contenani des radicaux. Les procédés qu'on emploie pour calculer les liuines d'une équation supposant que l'inconnue n'est enpogée sous aucun radical, il est important de pouvoir remplacer une équation compliquée de radicaux par une autre ne renfermant que des termes rationnels. D'une manière générale, la disparition ou, comme on dit aussi, l'évanouissement des radicaux d'une équation revient à une question d'élimiijiilion.

En effet, étant donnée une équation compliquée de n radi- I aux, on peut égaler chacun d'eux à une inconnue auxiliaire. On obtient ainsi n équations, qu'on rendra immédiatemenl laiionnelles en élevant les deux membres de chacune d'elles à la puissance marquée par l'indice du radical qu'elle conlicnt. A ces n équations, on joindra l'équation primitive de- ■. enue également rationnelle par la substitution des inconnues ;ui\iliaires aux différents radicaux qu'elles représentent. On (oiistituera de cette manière un système de « -f- 1 équations laiionnelles dont on déduira, par l'élimination des n inconnues auxiliaires, l'équation finale débarrassée de tous railicaux; car les méthodes d'élimination n'en introduisent aticim.

1201. Il faut remarquer avec soin que Téquation finale conduit à toutes les valeurs de l'inconnue qui satisfont à l'équation primitive, quand on tient compte des valeurs multiples des différents radicaux qu'elle contient (8i6), ou des équations diverses qui y sont ainsi renfermées. Gela tient à ce que, lorsqu'on égale un radical à une inconnue auxiliaire et qu'on élève ensuite les deux membres de l'égalité à la puissance marquée par l'indice du radical, l'équation obtenue reste la même, quelle que soit la détermination choisie parmi toutes celles dont le radical est susceptible (850).

1202. Soit, par exemple, l'cqualioii

.r -1- y.r -r- i — \/.' j. — <>■ Nous poserons

3{)0 AI.GklîRK SUl'ÉKIEURE.

ol nous en déduirons les Iruis éijualions rationnelles

Il faut éliminer enlrc ces éciualions les deux inconnues auxiliaires ■ el z.

La première équation donnant 1 — :. — ./■. lu deuxième devient

.3- — a.rs -^ ,r- — ./; — 1 = 0.

Il reste donc à éliminer z entre cette dernière éi[ualion et la troisième du sj'stème, qui est

En divisant l'un par l'autre les premiers membres de ces équations, on pourra remplacer l'équation en z^ par le reste du second degré. égalé à zéro, auquel on s'arrêtera. On aura donc à traiter les deii\ équations

•2 .rz- — ( ./'^ — ./■ — I ) 3 — .'• — i = O :

et, en leur appliquant la méthode de Cauclu , on parviendra facilemeni à l'équation finale

1203. Toutes les fois qu'un arlifice quelconque pennot d'éviier lemploi, toujours assez pénible, des mélhotles d'élimination, il ne faut pas manquer d'y avoir recours.

Nous allons indiquer les cas les plus simples où Téliminalion peut être éludée.

1204. Lorsque l'équation proposée ne renferme qu'un seul radical, on l'isole dans l'un des membres, et l'on élève ensuite l'équation à la [juissance marquée par l'indice du radical.

1203. Lorsque l'équation jiroposée renferme plusieurs radicaux, il est bien clair qu'on ne peut pas, en général, faire évanouir successivement cbacun d'eux par la règle qu'on vient de rappeler; car, en supposant seulement l'existence de deux radicaux, l'évanouissement du premier fait nécessairement apparaître dans l'équation d'autres radicaux qui ne s'y trouvaient pas primitivement.

Si l'on a, par exemple,

jc -+- \/jc -4- 1 = \ \v -T- 3,

il viendra, en élevant les deux membres à la quatrième puis- -niice,

+ 4^ vA-i' -4- ij'* + \/{^ -+- 1)* = >^ -1- 3.

1206. Lorsque l'équation proposée renferme seulement deux radicaux, dont l'un est du second degré, on peut, par l'application répétée delà règle du n" lâGi, les faire évanouir successivement, pourvu qu'on commence par faire disparaître celui dont l'indice est le plus élevé. Cela tient à ce que les puissances d'un radical carré ne peuvent pas donner naissance à de nouvelles quantités radicales.

Si l'on a, par exemple,

a- H- \ ju -h I =: {/a: -+- 5,

il viendra successivement, en élevant d"abord au cube et ensuite au carré,

x'^+ Zx- \Jx -h I 4- 3^(.r -t- i) -f- (^ -h i) six H- I = .r -4- 5,

{x^-^ 'ix--\- 2x — 5)2= (3j?--h Jc -\- i)'- {x -T- I ).

1207. Lorsque l'équation proposée ne renferme que deux radicaux du second degré, on peut les isoler dans un membre et élever l'équation deux fois de suite au carré.

Si l'on a, par exemple.

on écrira successivement

X'^ — 'ia^-l-Ô '-zzzl^^X — i) {x — 5), (X^— -IX -f- 6)-=: f\{x — l) {x — 5).

1208. Enfin, si l'équation proposée ne renferme que deux radicaux cubiques, on peut encore les faire disparaître très simplement en les isolant d'abord dans un même membre.

Si l'on ;i, par exemple,

on en déduira

el l'on élèvera d'abord au cube les deux membres de l'équalion. On aura

4- c>\\x + a) {x -f- b)- — {x 4- b). 11 en résulte x'—{a — b)=—?, \'{x ^a){x-~ b)[\'x-^a — {/ x -^ b\

On peut alors remplacer par x la parentbèse du second membre et, en élevant encore au cube, on a, comme équation finale sans radicaux, l'équation du neuvième degré