POSITION GÉNÉRALE DE LA QUESTION

1209. Nous avons indiqué précédemment (997) la distinclion qu'on doit faire entre les équations numériques et les équations algébriques, au point de vue de leur résolution. Ce Livre est consacré à la résolution des équations numériques.

Le problème est celui-ci : Etant donnée une équation numérique quelconque (c'est-à-dire dont les coefficients sont des nombres connus et dont les racines ne présentent aucune relation spéciale), trouver les valeurs numériques des racines de cette équation, exactement si cela est possible, avec une approximation fixée d'avance dans le cas contraire.

Ce problème se divise ordinairement en deux parties : il faut d'abord séparer les racines, il faut ensuite les calculer.

La séparation des racines consiste à déterminer pour tout»» racine réelle deux nombres qui la comprennent et qui ne comprennent qu'elle et, pour toute racine imaginaire, un contour fermé qui la renferme seule (1109).

Si l'équation proposée a des racines multiples, il faut en outre marquer le degré de multiplicité de chacune d'elles; mais, dans la pratique, on peut toujours ramener la résolution d'une pareille équation à celle d'équations de degrés inférieurs et n'ayant que des racines simples (1092).

Nous nous occuperons, en premier lieu, de la séparation des racines. Nous démontrerons, à ce sujet, plusieurs théorèmes très importants, qui s'y rapportent directement ou

.\g/\ ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

iiulirecleinciil on éclairant j^lii' le nombre possible des racines de chaque espèce, cl (|ui lonl suite, en quelque sorte, aux propriétés i;énérales des fonctions entières établies précédeninient ( i)S)S) et suiv.), propiiélés dont nous ferons aussi un fréquent usage.

Nous traiterons en second lieu du calcul Jiumérique des racines séparées, en distinguant entre les racines conimensurables et les racines incommensurables.

A'ous supposerons, sauf avertissement contraire, qu'il s'agit d'équations à coefficients réels.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3g5