THÉORÈME DE DESCARTES

Définitions.

1210. Quand deux termes d'une lonclion enlière à coefficients réels sont de signes contraires, on dit qu'ils présentent une variation; quand ils sont f/e même signe, ils présentent une permanence.

Le premier niemi)re de l'équation

/{■r) := jc^' — 2 x'* -!- 3 a;^ h- ./■- — .r — i = o

ofïre trois variations et deux permanences.

Quand une équation (dont le second membre est zéro) est complète, c'est-à-dire quand il n'existe aucune lacune entre ses termes, la somme des nombres de variations et de permanences de son premier membre reproduit évidemment son degré.

Propositions préliminaires.

1211. I" Dans une fonction entière, entre deux termes de signes contraires, il y a toujours un nombre impair de variations; entre deux termes de même signe, il y a toujours un nombre pair de variations (zéro est un nombre pair).

Cette remarque est évidente.

1212. 2° Lorsqu'une équation algébrique j\x) zzz o, dont le premier terme a été rendu positif, n'admet que des racines négatives et des racines imaginaires, le dernier ternie de son premier membre est nécessairement positif.

En effet, si ce dernier terme était négatif, l'équation aurait au moins, contre l'iiypothèse, une racine positive (1010, 1011).

>^9^ ALcicBRE SUPÉniEURE.

1213. 3" a élanl un iionihic positif, si l'on miillipUc la fonction entière f{.r) par un binôme de la forme .r — a, le nombre des variations du produit surpasse toujours d'un nombre impair {qui peut être égal à \) le nombre des variations du multiplicande.

Pour démontrer ce lenime, niellons en évidence les variations du mulliplicande, en le parlageanl en groupes de lermes de même signe.

Le premier groupe se compose du premier lerme Mœ'" de f{jc), supposé posilif, et des termes suivants qui ont le même signe. Un nouveau groupe commence au premier lerme négatif — "Sx", et est formé de ce terme et de tous les termes^ négatifs qui le suivent. Le troisième groupe commence au nouveau terme positif + P xp qui apparaît, et comprend ce terme et tous les termes positifs qui lui succèdent. Et ainsi de suite. Chaque groupe peut ne contenir qu'un seul lerme.

On peut alors écrire le polynôme f{x) en n'indiquant que le premier terme de chaque groupe, sauf pour le dernier groupe dont on indiquera les deux termes extrêmes ± \2x" et ±: V. La multiplication sera alors représentée comme cidessous :

Mx"' ^ . . . — N.r« —...-- P,r/' —...-- Qx'l — ... — U.r" ~= . . . - V ,r — a

M.r'"+i — ...— Nx«+i — . . . — Px/'-^i — . . . — Qxl-^^ —...=: U.r«+i ±. . .=Vj — ...— N'.r«-t-» — . . . -^ P'.r/'+i — . , . — Q'-r-z+i -+- . . .± U'.r«+'::p

iMx'"+'... — (X— N';x«-i... — (P^P')j:/'+i...— (Q+Q')a:7+i...=±(U-T-U').r«+i. . . .

Le premier produit partiel/(.r)x- n'exige aucune remarque. Le second produit partiel commence au terme négatif

— Max'", et les termes suivants sont négatifs jusqu'au terme en x"-+^ inclusivement. Ce terme —'S'x"-^^ est le produit par

— «du terme posilif du multiplicande qui précède — l\x". Le terme suivant du second produit partiel, qui est -f-Nax", commence une série de termes positifs, puisque ces termes proviennent du produit par — a de termes négatifs du multiplicande. Le dernier terme de cette série est -h P'xp-^^ et provient du produit par — a du terme qui précède au multiplicande le terme -^Pxp. Au delà, les termes du multiplicande devenant positifs, c'est une série de termes négatifs qu'on a à écrire au second produit partiel.... On continue ainsi, jus-

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. Sq'J

qu'à ce qu'on parvienne au dernier groupe du multiplicande. Après avoir formé le terme ±: U'.r"+', qui est de même signe (jue le terme ± U j7"+' d'après ce qui précède, on a à multiplier par — aie terme ± [Jjc" et une série de termes de même signe : tous les termes correspondants du second produit partiel ont donc le signe q= jusqu'au dernier terme rp V«.

Si l'on additionne maintenant les deux produits partiels pour avoir le produit total, on ne peut présumer quels signes les réductions entre termes semblables de signes contraires introduiront dans l'intervalle qui sépare les termes M^'"+^ et

— (N 4- N')x"-^^ ; mais on est certain qu'il existera un nombre impair de variations entre ces deux termes de signes contraires (1211), c'est-à-dire au moins une, comme entre les deux termes M^'" et — N j?" du multiplicande, plus un nombre pair qui peut être zéro. De même, entre les deux termes

— (N + N').r"+* et + (P H- V')jcp+'^ du produit, il y aura au moins une variation comme entre les deux termes — Nj?'* et + PxP du multiplicande, plus un nombre pair de variations qui peut être zéro.... On continuera de la même manière jusqu'aux termes zt (U + \j')x"-^^ et zp \ a du produit. Entre ces deux termes de signes contraires, il existe, comme précédemmenl, un nombre impair de variations, c'est-à-dire au moins une plus un nombre pair qui peut être zéro, tandis qu'entre les deux termes zbUj:-" et ±: V du multiplicande il n'existe, par hypothèse, aucune variation.

Il en résulte que le nombre des variations du produit f{x) [jc — a] surpasse au moins d'une unité, plus une somme de nombres pairs positifs qui peuvent être nuls, le nombre des variations du multiplicande. En d'autres termes, l'excès du nombre de variations du produit sur le nombre de varialions du multiplicande est un nombre impair qui peut se réduire à l'unité.

Si l'on désigne par ]u. le nombre des variations du multiplicande et par 2 A un nombre pair positif qui peut être nul, le nombre des variations du produit sera donc exprimé par

j'jt. -t- I H- ■> />■.

Remarque. — Nous avons dit que chaque groupe du multiplicande peut ne contenir qu'un seul terme. Or, s'il s'agissait du dernier groupe, que nous avons supposé dans notre démonstration composé au moins de deux termes, il faudrait,

dans l'hypollièso d'iiu seul terme, faiie "N'^ro et leriiiiner le multiplicande au terme ± Uj?". Le produit serait donc luimême terminé par les deux termes consécutifs

et rien ne serait changé aux conclusions précédentes.

Théorème de Descartes.

12li. Da/is toute équation algébrique à coefficients réels. f{ji-)=zo, le nombre des variations du premier membre est une limite supérieure du nombre des racines positi^'es de l'équation et, lorsque ces deux nombres ne sont pas égaux, leur différence est un nombre pair .

Désignons par a, b, c, . . ., les racines positives de l'équation fix) =^ G, et représentons par 9(^7) le produit des facteurs premiers de/(j:) qui répondent aux racines négatives et aux racines imaginaires de l'équation /'(x) =: o. On pourra poser

Puisque l'équation o{x) =zo n'admet, par hypothèse, aucune racine positive, les termes extrêmes de son premier membre sont de même signe, et on peut les supposer tous deux positifs (1212). Par conséquent, le polynôme o{x) renferme un nombre pair 2/c de variations (1211), qui peut être nul. Si l'on multiplie alors o{x) par x — a, le produit

renferme, d'après le lemme précédent (1213) et en désignant par 9A1 un nombre pair qui peut être nul, un nombre de variations représenté par

'A son tour et d'après le même lennne, en désignant par ^k:, un autre nombre pair (|ui peut être nul, le produit

o{^v){x-a){x-b) renferme un nombre de variations égal à

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. SqCJ

le dernier terme "î étant le nombre des racines positives considérées ou introduites.

On poursuivra de la même manière, et l'on voit que, si l'é- (!iiation/(j?) = 0 possède w racines positives, le nombre des variations du second membre de l'identité (i) sera exprimé par

2 A ■ + 2 /.-, 4- 2 Ao + . . . H- 2 k^ + G7,

loLis les nombres pairs qui précèdent cr pouvant être nuls.

Le nombre des variations du premier membre de l'équation / r) ^ G est donc bien une limite supérieure du nombre de -os racines positives, et, si le nombre des variations surpasse ' l'Iui des racines positives, c'est d'un nombre pair.

1215. Lorsque le premier membre d'une équation ne prési-nte qu'une variation, cette équation admet nécessairement une racine posili^-e, et une seule ; car la différence entre le nombre des variations et celui des racines positives, devant t'ire un nombre pair positif (1214), ne peut être ici que zéro.

1216. Pour toute équation à coefficients réels, f{j:) z= o, le iiombre des variations du premier membre de la transformée en — X (1039) est une limite supérieure du nombre des racines négatives de l'équation donnée et, lorsque ces deux nombres ne sont pas égaux, leur différence est un nombre pair.

Cette proposition est un corollaire immédiat du théorème de Descaries (1214.); car la transformée en — x d'une équation a précisément pour racines positives les racines négatives 'II' la proposée.

1217. Quand l'équation f{x)^o est complète (1210), on n'a pas besoin de former la transformée en — x, pour avoir une limite supérieure du nombre des racines négatives; car toute permanence du premier membre de la proposée devient nécessairement une variation du premier membre de la transformée, et, réciproquement, les signes changeant seulement de deux en deux lorsqu'on passe de la première équation à la seconde ( 1039).

On peut alors réunir la proposition principale et son corollaire dans l'énoncé suivant :

Lorsqu'une équation est complète, les nombres de variations

'JOO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

et de permanences de son pi entier membre sont respecli^'ement des limiLes supérieures des nombres de racines positi^-es et négatives qu'elle peut admettre, et les différences, quand elles existent, sont des nombres pairs.

1218. Quand l'équation f{x) :=^ o est incomplète, la somme r -^ i'' des nombres de variations de son premier membre et de celui de sa transformée en — x ne peut pas surpasser son degré m, et la différence, si elle existe, est un nombre pair.

Supposons que, entre deux termes consécutifs du premier membre de l'équation incomplète présentant une lacune, on introduise (avec le coelticienl o) un terme affecté d'un signe quelconque. On aura, par exemple, de cette manière à considérer les trois termes

-± \x"±ioxP±i B .;■ '■.

Si les deux termes existants sont de signes contraires, c'està-dire présentent une variation, il est clair que l'introduction du terme intermédiaire ne modifiera pas le nombre des variations du polynôme et ne fera que changer leur ordre. Si les deux termes existants sont de même signe, c'est-à-dire ne présentent aucune variation, il est clair également que l'introduction du terme intermédiaire ne fera naître aucune variation supplémentaire ou en fera naître deux nouvelles, suivant que ce terme intermédiaire sera affecté du même signe que les deux termes qui le comprennent ou d'un signe contraire.

Ainsi, chaque fois que l'on introduit (avec le coefficient o) un terme destiné à combler une; lacune dans le premier membre de l'équation incomplète, on laisse intact le nombre des variations ou on l'augmente de deux unités.

Il en résulte que, le premier membre de l'équation donnée étant rendu complet par l'introduction successive de ces termes de coefficient o et de signes quelconques, son nombre de variations restera le même ou croîtra d'un nombre pair.

Si l'on désigne alors par Cj et i>\ les nouveaux nombres de variations du premier membre de l'équation complétée et de celui de sa transformée en —x traitée de la même manière, et par s/cieta/r'i deux nombres pairs positifs qui peuvent être nuls, on aura

ALGÈBRE SUPÉRIEUliK. 4oi

On a d'ailleurs (1210)

|i!iisque les permanences du premier membre d'une équation (I impiété correspondent exactement aux variations du preiiiier membre de sa transformée en — .^(1217). Il vient donc

d'iii'l

»i — ((•-:- r' ) = 2 Aj -h 2 A', et c -h v''1 m.

Limites relatives au nombre des racines imaginaires.

1219. Ce qui précède permet d'indiquer des limites infé- I icures du nombre I des racines imaginaires d'une équation /'<.'■) = o.

i" Eli conservant les mêmes notations, c est une limite su- IH'iieure du nombre P des racines positives de l'équation f{.r)=zo, supposée de degré m, et i'' une limite supérieure lin nombre N de ses racines négatives. Or on a (1017)

cl il en résulte

' I st-à-dire

/Il — (r -h t'')ll.

Vinsi, le tiombre pair (1218) m — ('' ^- *"') est une iiniile infé- I it'iire du nombre I.

>/' De résralilé

on peut déduire également, en ajoutant et en retranchant dans le second membre v + c',

Mais r'— N et m — r — r' sont (1216, 1218) des nombres pairs jiositifs, qui peuvent être nuls. On a donc

Le nombre pair r — V est, par conséquent, une limite infc- I lettre du nombre I.

De C. — Cours. IV. 26

402 ALGÈBIîE SUrÉUlELIlE.

12^0. 3" l. ne lacune quelconque entre deux termes de mé/ii' signe et une lacune composée de deux termes au moins ( entre deux termes de signes contraires entraînent respectif cment l'existence de deux racines imaginaires au moins.

Représentons (1218) par Ai" et lî/'' les deu\ termes entr lesquels a lieu la lacune considérée.

Supposons-les d'ahovd de même signe, la lacune étant qu( conque.

Si les deux termes sont de même parité, c'est-à-dire tondeux de degré pairo// impair (et alors, il manquera au moin un terme entre euN, de sorte qu'on aura n — r'ii), ils resteront encore de même signe dans la transformée en — x\ ils ne donneront donc lieu à aucune variation dans la proposée et dans la transformée. Si les deux termes sont de parité différente, l'un de degré pair, l'autre de degré impair (et alors, il manquera au moins deux termes entre eux, de sorte qu'on aura n — /'^S), ces deux termes, de même signe dans la proposée, seront de signes contraires dans la transformée en — X', ils donneront donc lieu à une seule variation dans la proposée et dans la transformée. D'après le théorème de Descaries (121i, 1216), le nombre des racines réelles possibles sera, dans les deux hypothèses, au moins diminué de 2.

Supposons maintenant les termes considérés de signes contraires, la lacune entre eux étant au moins de deux termes.

Si les deux termes en question sont de même parité (et alors, il manquera d'après l'énoncé au moins trois termes entre eux, de sorte qu'on aura n — /'^^j, ils resteront de signes contraires dans la transformée en — x; ils donneront donc lieu à deux variations dans la proposée et dans la transformée. Si les deux termes sont de parité différente (et alors, il manquera au moins deux termes entre eux, de sorte qu'on aura n — z'^S), ils donneront une variation dans la proposée et n'en donneront pas dans la transformée; ils ne fourniront donc (\nune seule variation dans la proposée et dans la transformée. Le nombre des racines réelles possibles sera donc encore, dans les deux hypothèses, au moins diminué de 2.

Finalement, on peut dire que le double du nombre des la-

(') On se rendra facilement coniple qu'une lacune d'un seul ternie entre deux termes de signes contraires, échappe à la dénionslialion que nous iiilons donner.

ciuies. telles qu'on les a définies, est une limite inférieure du nombre des racines imaginaires de Véquation.

1221. Enfin nous indiquerons une dernière limite due à Stl'rm.

\" Soit l'équation f{x)^^oeta un nombre positif. Si le nn/ubre des variations du produit o{.v) obtenu en multiplia /it /ix) par le binôme œ — a surpasse deik^ i (1213) le nombre lies variations du multiplicande f{oo), l'équation proposée admet au moins 2 k racines imaginaires.

Le polynôme /(.r) ayant r variations et l'équation y(.r) = o ayant P racines positives, le polynôme 9 (j:) présentera, par hypothèse, «' + 2/1 -M variations, tandis que l'équation 0(^)^0 iSLira P -1- I racines positives. II en résulte que cette dernière équation admettra au moins (1219, 2°)

((•-H2/.- + I) — (P + l) ou (('— P)-f-2A-

racines imaginaires. Et comme v — P est un nombre pair po- ?ilii qui peut être nul ( 1214-), et que l'équation cp (j?) =: o a les mêmes racines que l'équation /(.r) = o, sauf la racine positive a introduite par la multiplication, on voit que 2 A- est une limite inférieure du nombre des racines imaginaires de l'é- (| nation /(.r) = o.

Exemples.

1222. 1° Soit l'équation

Son premier membre ayant quatre variations, elle peut admettre (121 4) un nombre de racines positives égal à quatre, à deux ou à zéro. La transformée en — .r étant

./•â — 3 Jc3 — j .r2 — - X — 1 = 0,

l'i son premier membre présentant une seule variation, l'équation pro- |iosée admet une racine négative et une seule (1215). [On voit qu'on a ici (1218; V ~- v = m.]

Comme l'équation donnée est du cinquième degré, ces renseignements suffisent pour indiquer quelle peut être la nature de ses racines : elle

•Mira

4 rac. pjs., i rac. nég., o rac. imag.,

on j, rac. pos., 1 rac. nég., 2 rac. imag.,

'( G rac. pos., I rac. nég., 4 rac. imag.

4o4 ALGÈBUE SL'PÉRIEUUK.

x' — 3 or* -^ IX- — X -^ 10 = o.

Les deux premiers termes sont désignes contraires et présentent cn:i eux une lacune composée de trois termes. L'équation a donc au moi: (1220) deux racines imaginaires. Son premier membre offrant quai variations, le nombre de ses racines positives est 4, a ou o. Enfin, la transformée en — x étant

x' — Zx^ IX- — .r — 10 =: o,

et son premier membre n'ayant qu'une variation, l'équation propos^ admet une racine négative et une seule. [On voit qu'on a ici ( I2i^ i' -1- f ' < m ] .

L'équation donnée étant du septième degré, elle aura

4 rac. pos.. i rac, nég.. i rac. imag.. ou 2 rac. pos., i rac. nég., 4 rac. imag..

ou o rac. pos., i rac. nég., 6 rac. imag.

3° Soit l'équation

S-r*" — 'jx^ — I = o.

Son premier membre ne présente qu'une variation, et il en est de mên du premier membre de la transformée en — x qui est

[On voit qu'on a ici (1218) t'-+-t''<m]. L'équation proposée admet donc (1215) une seule racine positive et une seule racine négati\' Comme elle est du sixième degré, elle a forcément quatre racines imaginaires, et la nature de ses racines est complètement de'terminée.

Le résultat précédent est d'accord avec le théorème des lacunes (1220 ■ Entre les deux premiers termes du premier membre de l'équation, (jui sont de signes contraires, comme entre les deux derniers termes q' sont de même signe, il existe une lacune de deux termes. Il en résul que l'équation doit avoir au moins 2 x 2 ou 4 racines imaginaires.

4° Soit, encore, l' équation

Son premier membre présente une variation, tandis que celui de la transformée en — x,

en présente trois. L'équation donnée a donc une seule racine positiv( (1215), et elle peut avoir trois racines négatives ou une seule (121(>' elle a donc 2 ou 4 racines imaginaires.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 4o5

On voit qu'on a m — (t- -f- 1'') = 2; ce qui indique (1219, i") au ûinins deux racines imaginaires. La lacune qui existe entre les deuxpreîniers termes de f{jc) conduit à la même limite inférieure (1220). Enfin la limite de Sturm (1221) ne donne rien de plus; car, si Ton multiplie/(u;) par le binôme x — i, on trouve

'j(.r) = f(x) [x — 1] — x' — x^-î- x'* — IX -\-\.

(■ produit renferme quatre variations, tandis que/i.ï-) en renferme nie seule. L'excès étant 2-4-1, la limite invoquée montre que l'équation j\ r) = G a au moins deux racines imaginaires : elle peut en avoir >iaatre.

Formes du théorème de Descartes lorsque l'équation proposée a toutes ses racines réelles.

1223. On peut savoir d'avance qu'une équation a toutes ses racines réelles. Le théorème de Descaries prend alors l'une des deux formes suivantes :

Lorsqu'une équation complète a toutes ses racines réelles, le nnmbre des variations et celui des permanences de son premier membre représentent respectivement le nombre de ses racines positives et celui de ses racines négatives.

Lorsqu'une équation incomplète a toutes ses racines réelles, U' nombre des variations de son premier membre représente le nombre de ses racines positives, et le nombre des variations du premier membre de sa transformée en — x représente celui '!(' ses racines négatives.

En effet :

I'' L'équation considérée étant complète et de degré m, supposons qu'elle ait P racines positives et N racines négatives, son premier membre présentant v variations et p permanences.

-Nous aurons à la fois, d'après l'hypothèse,

m =z P -!- N == (^ -^P' Mais on a (1217)

'■h\ si l'on avait c > P, on devrait avoir, d'après l'égalité préédente, /? < N; ce qui est impossible.

4o6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

On a donc nécessairemenl

2» L'équation considérée étant incomplète et de degré /// supposons, en conservant les autres notations, que le premier membre de sa transformée en — x présente v' varititions.

Nous aurons à la fois (1218), d'après l'hypothèsp,

Il vient, par suite,

Mais on a (121i, 1216)

Or, si l'on avait r > P, l'inégalité précédente exigerait qu'o

eût, par compensation, t''<N; ce qui est impossible. On

donc

et, par suite, comme on ne peut pas avoir r' < N, il reste en même temps

122i. Si une équation de degré m a toutes ses racineréelles et positives, la condition ('=::P entraîne ♦• = /??; > toutes les racines sont réelles et négatives, la condition (•'= > entraîne v'=m (1223).

Toute équation qui a toutes ses racines réelles et d'une sei i.i ESPÈCE est donc complète, et son premier membre ne présen ' que des variations ou des permanences (1217), suivant qn toutes les racines sont positives ou négatives.

1223. Lorsqu'une équation /■(.r) = o a toutes ses racin réelles et qu'on multiplie son premier membre par un binon X — a dont le second terme a est une quantité positive, le pi duit obtenu o{x) ne renferme qu'une variation de plus que m u Itip lica nde f{x).

En effet, l'équation f{x)z=o ayant P racines positives, !■ nombre des variations de son premier membre est (1223, 2 v:=P; l'équation cp(.r)::::o ayant P -f- 1 racines positives, I '

ALGÈBRE SUPÉRIEUUE. ^0~

nombre des variations de son premier membre est, pour la même raison, V + i ou c -t- i.

Ce résullat concorde avec ce qui a été dit au n*' 1221.

Détermination, dans la même hypothèse, du nombre des racines réelles comprises entre deux nombres donnés.

1220. Étant donnée une équation y(^) ^z o de degré nt, on peut former une suite de /« + i termes avec son premier membre et les m dérivées successives de ce premier membre 1 ;}25). On a ainsi

(0 /(^), fia:), f{x), /'"(x), ..., /'^'"'(.r).

Cela posé, l'équation f{jc)=zo ayant toutes ses racines /celles^ si l'on substitue à la place de x clans la suite indiquée deux quantités réelles quelconques, y. et 3 > a, et si l'on compte les variations présentées par les deux séries de résultats obtenus, le nombre des variations perdues en passant de la première série à la seconde est exactement le nombre des racines de l'équation /{x) n= o qui sont comprises entre les deux substitutions y. et (3.

Pour le démontrer, diminuons d'abord de a toutes les racines de la proposée (1061), c'est-à-dire formons la transformée en >r + a qui aura aussi toutes ses racines réelles. Le nombre des variations de son premier membre sera donc celui de ses racines positives (1223), qui correspondent éviilomment à toutes les racines de/(jr) := o supérieures à y. et sont en même nombre.

Si l'on forme, de même, la transformée en x~\-^, le nombre des variations de son premier membre sera celui de ses racines positives ou des racines 6.Q f{x)^o qui sont supérieures

La diiîérence entre le premier et le second nombre de variations représente donc précisément le nombre des racines de/(^) =ro comprises entre a et [3.

Or on a, d'après la série de Taylor (326),

îo8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Il sulfil donc bien, pour avoir le nombre chercbé, tIccompU'r 1 ' nombre des variations perdues par la suite (i) quand, après .y avoir remplacé x par a, on \ remplace x par ,3.

Ce théorème est un cas particulier du théorème de Folrier, que nous exposerons plus loin.

1227. Lorsqu'une éiiualion /(j;) = o a toutes ses racines réelles, on peut reconnaître, d'une autre manière indiquée par Jacob!, combien elle a de racines comprises entre deux nombres donnés a et [3 > a.

Effectuons la transformation rationnelle (105i)

X — y. ,, , 3 V ->- :z )' =: >: • ? d ou r = —

L'équation 9(1) =/( — — ; — J := o a aussi toutes ses racmes

réelles, et ses racines positives correspondent évidemment aux racines réelles de/(.r) =0 comprises entre a et 5 et sont en même nombre.

Le nombre des variations du polynôme oiy) fera donc connaître le nombre cherché (1223).

Conditions de réalité de toutes les racines d'une équation, à l'aide de l'équation aux carrés des différences.

1228. Pour trouver ces conditions, il suflit d'appliquer le théorème de Descartes à l'équation aux carrés des différences des racines de l'équation proposée (llol).

En effet, si l'équation donnée /(a-) = o a toutes ses racines réelles et inégales, les carrés de leurs différences seront des quantités réelles et positives, différentes de zéro. Le premier membre de l'équation aux carrés des différences 9(3) r=o des'ra donc être complet et ne présenter que des variations

Cette condition nécessaire est en même temps suffisante; car, si l'équation /(x)=z:o, supposée à coefficients réels, avait des racines imaginaires, ces racines seraient deux à deux conjuguées (1031). Or, le carré de la différence de deux imaginaires conjuguées est une quantité essentiellement négative (812). Par conséquent, l'équation aux carrés des différences

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 4o9

©(^)z=o aurait alors forcémenl des racines négatives; son premier membre ne pourrait donc plus être à la fois complet et ne présenter que des variations.

1-229. Prenons, par exemple, l'équation du troisième degré, privée de son second terme,

( I ) f{x)z^ X'^ -\- px ~\- (] 7=z O.

D'après les calculs efïectués précédemment (1152), elle a, pour équation aux carrés des différences,

(2) cp(:;) = 3-5+ 6/>c- -H <^p-z + 4/»^+ 2-17-= o.

Pour que le polynôme o{z) soit complet et ne présente que des variations, il faut qu'on ail à la fois

et la seconde condition renferme implicitement la première. La seule condition pour que l'équation (i) ait ses trois racines réelles est donc

4 7^ M- ■2'jq-<o.

^lO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.