CHAPITRE II

THÉORÈ-ME DE ROLLK

Propositions préliminaires.

1230. \oiis avons déjà donné (033) une démonstration du théorème de Rolle, très générale, due à M. Ossian Bonnet, ei qui ne laisse rien à désirer. Nous en présenterons ici une nouvelle, mieux appropriée au but que nous poursuivons en ce moment.

Nous commencerons par établir le lemme suivant :

1231. Étant données une fonction entière f{œ) et sa dérivée f'{œ), il faut prouver que ces deux fonctions sont toujours de signes contraires a^'ant que, x croissant, on atteigne unr racine réelle de f{x) =r o, et loi/Jours de même signe après.

1° L'équation f{x) = o /ra pas de racines égales.

On peut alors se servir de la série de Taylor réduite à ses deux premiers termes (680) et écrire

9 étant une quantité positive comprise entre o et j, et A une quantité aussi petite qu'on voudra en valeur absolue. Si a est une racine réelle de l'équation /(jt) = o, on a/(«) = o, et il

vient

f{a-i-/i) = /if'{a^e/i).

d'où

Le premier membre de cette égalité a donc le signe de A.

J)'ailleurs, on peut admettre que/'(rt -h Bh) cl J" {a -+- h) ont le même signe, puisqu'on peut supposer h assez petit en valeur absolue pour qu'il n'y ait aucune raciiie de l'équation /''(,r) = o [non plus que de/(^)t=o] entre a et a-\-li, y compris a -h h (1027). Par conséquent, le signe du rapport

sera celui de h, c'est-à-dire nég^atif poyir h négatif ou />ol'/' x moindre que a dans les limites convenables, positif pour h positif ou pour x plus grand que a dans les mêmes limites.

2° L équation f i^x) ^ o a des racines égales.

a est une racine réelle de réqualion/(j:^') = o de degré m, eXf"-{x) est la première des dérivées successives de la fonction enlière/(^) qui ne s'annule pas pour a:- = «(1089). On a alors, en désignant par h une quantité qu'on peut supposer aussi petite qu'on voudra en valeur absolue, et en appliquant la série de Taylor -a f{x) et à sa dérivée /'(j:) [675, 676],