i.-2.3...(//H-i j"^ 1.1.0. ..iW
■h)= — ~ : /"(«;h ^ /"-^H«) -••■H :r— 7 tJ'"^"^-
\.'i.\...yn — !)• ' 1 .-2.3. . ./^■' i.2.3...(//i — I)
On en déduit par division, en mettant dans le second membre de cbaque égalité le coefficient du premier terme en facteur,
// Il m — Il
Si l'on fait tendre alors h vers zéro, la fraction qui multiplie - dans le second membre de celte égalité a pour limite a
l'unité, de sorte que le signe du premier meml»re est celui de h. Par suite, si h est positif, f{a ->r h) et f {a -+- h) sont de même signe; si h est négatif, f{a^h) Q\ f {a ^ h) sont de signes contraires.
1232. On peut donc (înoncer cette proposition générale, qui lie une fonction entièi"e/( j?) à sa dérivée/'(a-).
Si l'on fait croître x de — x à 4- ^, chaque fois que x atteint une racine réelle {multiple ou non) de l'équation f(x)=:o, le rapport
passe toujours, en franchissant la valeur correspondante , d'une valeur négative à une valeur positive.
1233. Ce qu'on vient de dire pour f{x) et f'i-r), s'appliquanl nécessairement iif'ix) et 'df"{x), . . ., on voit immédiatement que, si l'on forme la suite
/(.r), f'{x), f"{x), ..., fix),
jusqu'à la première dérivée /"(a?) qui ne s'annule pas pour x = a, les termes de celte suite seront successivement de signes contraires pour x=: a — h , et successivement de même signe pour x =i a -^ h .
Donc, pour la première substitution, la suite ne présente que des variations et, pour la seconde substitution , que des permanences.
Théorème de Rolle.
1234-. Deux racines réelles consécutives d'une équation f{x)^zo à coefficients réels comprennent toujours entre elles un nombre impair de racines réelles de l'équation dérivée f {x)r^ o, nombre impair qui peut se réduire à l'unité.
Désignons para et b'> a deux racines réelles consécutives (multiples ou non) de l'équation /(.r) i= o, c'est-à-dire telles que celte équation n'ait aucune autre racine réelle entre a et b. Représentons par h une i\\i2iï\i\\é positive pouvant devenir aussi petite qu'on voudra, el considérons les deux rapports
f{a-^h') f(b-h) f'ia^hy f\b-h)'
D'après ce qui précède (1232), le premier rapport est positif
et, le second, négatif. D'ailleurs, réqualion/(^) = 0 n'ayant aucune racine réelle entre a el b et, par conséquent, entre a + Il et b —■ II, les deux nuniéi-ateurs f{a + h) et f{b — h) sont de même signe (1027). Il faut donc que les deux dénominateurs f {a -\- h) et /'{b — II) soient de signes contraires. Mais alors l'équation /'(jc) = o a nécessairement (1027) un nombre impair de racines réelles comprises entre a^h et b — Il ou entre a et b. Ce nombre impair peut être égal à l'unité.
123o. La réciproque du lliéorèine de Rolle n'est pas vraie, d'une manière générale.
On ne peut pas dire que deux racines réelles consécutives de l'équation dérivée /'(.r)=o comprennent toujours au moins une racine réelle de l'équation proposée /(^) = o, puisque deux racines réelles consécutives de celte dernière équation peuvent, d'après la proposition directe (1234), comprendre un nombre impair quelconque de racines réelles de l'équation dérivée, c'est-à-dire plus d'une racine réelle de cette équation.
1236. Deux racines réelles consécutives de l'équation c/erivée f {x)^^o ne peuvent pas, dans le cas de l'affirmative, comprendre plus d'une racine réelle de l'équation proposée f{x)=o.
En effet, si les racines consécutives a' et b' de l'équation dérivée comprenaient deux racines réelles a et b ûe f{œ) =: o, il faudrait, contre l'hypothèse , qu'il y eût entre a et b (1234) et, par conséquent, entre a' et b' , une nouvelle racine réelle
de/'(x) = o.
1237. Pour décider (1233, 1236) s'il existe entre deux racines réelles consécutives a' et b' de /'{x') = o une racine réelle de/(a?) =:o, on substitue successivement les nombres a' et b' à la place de a; dans/(js').
Si les deux résultats /(«') et f{b') sont de signes contraires, l'équation /(ic) = 0 admet, entre a' et b', une racine réelle et une seule (1027, 1236). Si les deux résultats /(a') et /(&') sont de même signe, l'équation /(.^■) =0 n'a aucune racine réelle entre a' et h' (1027, 1236).
4l4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Séparation des racines réelles d'une équation à l'aide du théorème
de Rolle.
1238. On peut séparer (1209) les racines réelles d une équation /(^) = o de degré m et, par conséquent, trouver leur nombre, loisqu'on sait résoudre l'équation dérivée
Nous supposerons d'abord que l'équation donnée n'a pas de racines réelles multiples.
Soient a', b', c', d' , . . ., h', les racines réelles de l'équation dérivée. Considérons la suite
■ — ce, a', b', c', d' , .... //', -hoc,
el substituons successivement ses différents termes à la place de .27 dans le premier membre de l'équation /(a:) =0.
Lorsque deux termes consécutifs donneront des résultais de signes contraires, ils comprendront une racine réelle de la proposée et une seule; lorsque deux termes consécutifs donneront des résultats de même signe, ils ne comprendront aucune racine réelle de la proposée (1237).
La séparation des racines réelles de l'équation donnée sera donc ainsi effectuée d'une manière complète.
Si l'équation dérivée, de degré m — 1, a n racines réelles, la suite indiquée présentera n -{- 1 intervalles, et l'équation proposée ne pourra pas avoir plus de n -+- 1 racines réelles.
On en déduit alors immédiatement une limite inférieure (lu nombre des racines imaginaires de la proposée, en se rappelant que le nombre de ses racines réelles et son degré sont toujours de même parité (1028). c'est-à-dire que le nombre de ses racines imaginaires est toujours pair.
1239. Si l'équation f{a;):=o avait des racines réelles égales, on en serait averti par la substitution des racines réelles de l'équation dérivée, dont quelques-unes annuleraient alors /(vc), en devenant communes à l'équation proposée et à l'équation dérivée (1089). Rien ne serait cbangé d'ailleurs à la manière d'opérer.
Supposons, par exemple, que l'équation dérivée ait trois racines réelles a', b', c. L'écjuation proposée ne pourra pas avoir plus de quatre racines réelles (1238). Admettons, pour
ALGEBRE SUPERIEURE. ^XO
lin inslanl, qu'elles soient distinctes et représentées par a, b, c, d. Nous aurons, dans ce cas (1234-), !a suite croissante
— OC', a, a' , b, b', c, c', d. H- ce.
Si, maintenant, les deux racines b el c deviennent égales entre elles, c'est-à-dire si b devient racine double de la proposée, la racine intermédiaire b' se confond également avec A et c, et les deux équations f{x)^o el /'(x) =o ont une lacine commune. Les deux intervalles {b,b'), {b',c) sont I emplacés par leur limite commune, b'. et les racines de la proposée se trouvent séparées à l'aide de la suite
■ — X, a, «', b', c' , d, -~- GO.
La racine double b' de l'équation considérée est déterminée ilirectement, et il ne reste plus qu'à chercher ses deux autres racines a et d, la première dans l'intervalle (—a;, a'), la seconde dans l'intervalle (c', -r-c»).
12V0. On peut séparer immédiatement les racines réelles d'une équation du troisième degré par le procédé qu'on vient d'exposer (1238); car, l'équation dérivée étant du second degré, on sait la résoudre directement.
1241. On peut aussi appliquer le même procédé à toute équation du quatrième degré, en faisant préalablement disparaître son second terme (106i).
On obtient alors une équation de la forme
(i) j:-' -i- px- -+- rjx -\- r =z o,
dont on peut former la transformée en — (1067).
(;)n a alors à considérer l'équation (2) /•jr-*+ ^a'-H />^-^-i- I = o,
(|ui a pour équation dérivée
4 rx^ -T- 3qx- -t- 2px =1 o
ou
x{lirx'^ ?>qx — ->.}}) = o.
Cette équation dérivée a une racine nulle, et ses deux autres racines sont données par une équation du second
4l6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
degré. On peut donc séparer les racines de l'équalion (2) et, en prenant ensuite les limites inverses, celles de l'équation (ij.
Cas où l'équation proposée a toutes ses racines réelles.
1242. Lorsque V équation f {x) = o, supposée de degré in, a toutes ses racines réelles et simples, il en est de même de l'équation dérivée f {x) ^ o, et deux racines consécutives de chaque équation comprennent nécessairement une racine et une seule de l'autre équation.
En effet, en désignant par a, b, c, d, . . ., h, /, les m racines réelles de f{x)=zo, rangées par ordre de grandeur croissante, on voit que chacun des m — 1 intervalles de la
suite
comprend (123i) une racine réelle et une seule de l'équation dérivée/' (.37) =^0, puisque cette équation est de degré m — i. En désignant par a', b' , c' , d', ..., h', les m — i racines réelles de/'(u) ^o, on a donc, par ordre de grandeur croissante, la nouvelle suite
— oc, a, a', b, b' , c, c', r/, d' , ..., h, h', /, -hcc;
et les racines de la proposée séparent les racines de l'équation dérivée, comme celles-ci, en leur adjoignant les deux limites extrêmes, séparent les racines de la proposée.
11 est entendu que, lorsqu'on saura trouver une limite supérieure et une limite inférieure des racines réelles d'une équation, on aura soin de remplacer +00 et — go par ces deux limites.
1243. Ce que nous venons de dire pour les deux équations f{x)z=zo et /'{x)^z=o s'applique identiquement aux deux équations /ï-r) m o et/"(.37) =:o, etc.
Il en résulte que, lorsque l'équation /( a- ) nz o, de degré m, a toutes ses racines réelles, il en est de même de toutes les équations dérivées /'(a;) = o, /"{x) = o, /"'{x) — o, ..., /'"-'(a') = o [f"'{j^) est une constante], dont les racines se séparent mutuellement.
On peut déduire de cette remarque un procédé pour
trouver les conditions de réalité de toutes les racines d'une équation de degré donné. Nous en présenterons dans un instant deux applications importantes.
1244. Il nous reste à considérer le cas où Véquation donnée, ayant toutes ses racines réelles, a des racines égales.
Désignons les racines de l'équation /(^c) =o, de degré m, en les rangeant par ordre de grandeur croissante, par
et soient
P\, Pi, Ps, ■■■, Pn,
leurs degrés de multiplicité. On aura
Pi-T-p-i-r-Pi — - ■ .-f-p„=m.
D'après la théorie des racines égales (1089), l'équation dérivée /'(^) ::=:o admettra les mêmes racines avec des degrés de multiplicité
iPi—i), {P2—1), (T'a— I). •••, (/>/, — !)»
de sorte qu'elle a m — n racines confondues respectivement avec les termes de la suite (i), suite qui présente n — i intervalles. D'ailleurs l'équation /'(^) =: o ayant en tout m — i racines réelles, il en reste à compter {m — 1) — (m — n), c'est-à-dire /i — 1, que nous désignerons par b^, b^, b^, ..., 6,j i, par ordre de grandeur croissante. Mais, d'après le théorème de Rolle (1234), l'équation dérivée doit avoir au moins une racine réelle comprise entre deux termes consécutifs de la suite (i). La séparation des racines se trouvera donc encore (12.39) effectuée, dans l'hypothèse que nous examinons, en écrivant la suite
— GO, «7,, 6,, <72, 6,, «3, 63, ..., a„i, 6„,, <7„, H- GO,
comme si les racines multiples étaient des racines simples.
Application du théorème de Rolle à la recherche des conditions de réalité des racines de l'équation du troisième degré.
1245. Nous pouvons supposer, pour cette recherche, l'équation du troisième degré privée de son second terme.
De C. — Cours. IV. 27
4l8 ALGÈBRE SrPÉRIELRE.
Car, pour l'aire disparaître le second terme d'une équation, il suffit (1064) de diminuer ses racines d'une quantité rationnelle, ce qui ne modifie pas leur nature et les laisse réelleon imaginaires comme elles l'étaient avant la transformation effectuée.
Soit donc l'équation
(i) x^ -\- px -^ q =zO,
dont nous désignerons les racines par a, b, c, en les rangeant par ordre de grandeur croissante.
L'équation dérivée est
et les racines de cette équation sont
Si les trois racines de l'équation (i) sont réelles, il en est de même des racines de l'équation (2) [1242]. Une première condition nécessaire est donc
Cela posé, nous séparerons les racines de la proposée en écrivant la suite (1242)
On peut déterminer les signes des résultats obtenus en substituant les termes de cette suite dans le premier membre de l'équation (i).
En faisant .c = — 00, on aura un résultat négatif puisque l'équation (i) est de degré impair, et son premier membre conservera le signe — jusqu'à ce qu'on fasse x z:=^ a, première racine de l'équation (1027). Au delà, ce premier membre deviendra et restera positif jusqu'à ce qu'on fasse x:=b; il deviendra et restera ensuite négatif jusqu'à ce qu'on fasse X =^c. Enfin, de x:=chx=^-i-oo, il restera positif.
On en conclut que la substitution x =-- a' doit rendre positif Xç^ premier membre de l'équation (i), tandis que la substitution X =ib' doit le rendre négatif.
ALGÈBRE SUPÉUIEUKE. 4 '9
On a ainsi à satisfaire aux deux inésalilés
fV-iT-K-v'-i)
Réciproquement, si ces conditions sont remplies, réc|uation (i) a nécessairement (1027) une racine réelle entre — oo et a' , une autre entre a' et b', une troisième entre b' et — ocelle a donc bien ses trois racines réelles.
En effectuant les calculs, on peut mettre les inégalités précédentes sous la forme
Elles ne diffèrent alors que par le signe du second membre. D'après la première condition (a) ou p < o, on voit que leurs premiers membres sont positifs. Par conséquent, si l'on a q>o, l'inégalité (3) est satisfaite d'elle-même, et il suffit de considérer l'inégalité (4); si l'on a ^ < o, c'est l'inégalité (4) qui est satisfaite d'elle-même, et il suffit de considérer l'inégalité (3). L'inégalité dont on doit tenir compte ayant ses deux membres positifs, on a le droit de les élever au carré {Alg. élém., 217). Il en résulte (juc la seconde condition chercbée sera fournie par l'une quelconque des inégalités (3) et (4) élevée au carré. On a, par suite,
ou
La condition ([3) exige évidemment que/; soit une quantité négative, c'est-à-dire qu'elle renferme implicitement la condition (a).
En résumé, pour que l'équalion du troisième degré privée de son second terme ait ses trois racines réelles, la condition
nécessaire et suffisante est exprimée par l'inégalité
/i/>3+277^<o ou (^iy-i-(^iy<o.
Si les coefficients de léqualion (i) satisfont à l'inégalité contraire
!mj^— 277- > g,
l'équation ne peut avoir ses trois racines réelles. Comme le nombre des racines réelles est toujours de même parité que le degré de l'équation, l'équation (i) a alors une seule racine réelle, de signe contraire à son dernier terme, et deux racines imaginaires conjuguées (1010, 1031).
Enfin, si l'inégalité caractéristique se change en égalité et si l'on d
l'équation (i) a toujours ses trois racines réelles, mais de lu: sont égales entre e/feî (1038, 2"^). La racine double et la racine simple ont d'ailleurs pour expressions doc. cit.)
'- et -^'
ip p
1246. Soit, par exemple, Féquation
On a /? > o. L'équation donnée n'a donc qu'une racine réelle ( 1243) qui est positive et deux racines imaginaires conjuguées. Soit encore l'équation
x^ — -jx — 7 = 0.
La quantité \p^-r- 27 c- est ici
4 1— 7)3 -T- •27(7)2 ou — 28(7j'-^2;( 7)2 < o.
L'équation donnée a donc ses trois racines réelles, dont une positive et deux négatives (1215, 1216).
Soit enfin l'équation
On a alors
L'équation donnée a doue une racine double égale a ^ ou à -i-i
et une racine simple égale à — ou à — 2.
ALGEBUE SUPÉRIEURE. 42 1
1547. En supposant l'équation du troisième degré complète et de la forme
( 1 ) x^ — px- -^ q X ~ r -:=: o,
on a vu ( 1152) que, lorsqu'on fait disparaître son second terme, elle devient
Si l'on applique alors à cette dernière équation les conditions (y.) et ((3) trouvées précédemment (1245). il vient
La seconde condition renferme toujours implicitement la première, et il suffit de conserver, comme condition de réalité des trois racines de l'équation (i), l'inégalité ([3). Cette inégalité se réduit, en effectuant les calculs, à
4 7'* — P'G^-^ ^ P^f — iS pqr -+- 27/- < 0.
Or l'équation aux carrés des dift'érences des racines de l'équation (i) doit avoir toutes ses racines positives si l'équation (i) a toutes ses racines réelles (1228), et cette équation aux carrés des différences est (1152)
-+-{^q'— p'-q''^^p'r — 18 pqr ^2- r'') = o.
La condition (3) ci-dessus exprime donc précisément que le premier membre de cette équation ne présente que des variations (1224).
On voit que, pour s'assurer de la réalité des racines, il es beaucoup plus simple, en général, de faire disparaître d'abord le second terme de l'équation (i).
/^2'i, AI.r.i;BRE SUPERIEURE.
Extension aux équations trinômes à exposants impairs.
12i8. Considérons encore léiiualion trinôme (1) f(x) — .v"^-^ px't~q — o,
où les exposants m et n sont supposés impairs. La transformée en — r de celte équation est
Désignons par t- et v' les nombres de variations des premiers membres des deux équations.
p et q peuvent être de même signe ou de signes contraires. Si tous deux sont positifs, on a c — t^' = i; si tous deux sont négatifs, on a i- -h p' r^ 3. Si/? est positif et q négatif, on a ^• — p'= i; si /? est négatif et q positif, on a i'-^i''= 3. Ainsi l'équation (i) peut avoir tl-1^. 1216; une ou trois racines réelles. Cherchons les conditions correspondantes.
L'équation dérivée est i-i) f (.c , = m.r'«- ' ^- /ip.v"-^ = mx"-^ (x"'-"-^ '-^j = o.
Sip est positif, l'équation (i) a, d'après ce qu'on vient de dire, luie seule racine réelle; et, en effet, l'équation dérivée ne peut avoir alors d'autre racine réelle que zéro.
Si p est négatif, l'équationd ) peut avoir, d'après ce qui précède, trois racines réelles; et, en effet, l'équation dérivée, outre les racines nulles qu'elle admet en nombre pair, a, dans cette hypothèse, deux racines réelles données par l'équation
np m
Ces deux racines réelles ont pour valeur
in—n
i / '- ou ± « ,
puisque — '^ est une quantité positive et, l'indice m- n. un nombre
pair.
Si l'équation proposée a alors ses trois racines réelles, on pourra, en les représentant par «, h, c, former la suite croissante (1238 i
On devra donc avoir
f[— a') > o cl /(-T- a'X o.
ALGEBRE SUPERIEURE.
Réciproquement, il est évident, en répétant le raisonnement indiqué au n° l2io, que, si ces conditions sont remplies, l'équation (i) a bien trois racines réelles.
Ces deux conditions, en remplaçant —a' et -t- «' par leurs valeurs, reviennent à
On en déduit, puisque m et n sont impairs,
np
np
