IR
c'est-à-dire
np m
np
ni p n — m ~I
La ({uantité entre crochets dans les deux inégalités revient à
En divisant les deux membres des deux inégalités par cette quantité négative et en renversant alors leur sens i^4lg-. élém., 215), on trouve finalement
-irfi
nq m — n
nq
p e'tant négatif, par hypothèse, si q est positif, l'inégalité (3) est satisfaite d'elle-même, et il faut seulement tenir compte de l'inégalité (4) qui a lieu entre quantités positives. Si q est négatif, c'est l'inégalité (4) qui est satisfaite d'elle-même, et il faut seulement tenir compte de l'inégalité (3) qui a lieu entre quantités négatives. Or, dans les deux cas,
la puissance paire m —- n du second membre de l'inégalilé conservée sera moindre que la puissance m — n du jtremier membre.
La seconde condition pour que l'équation (i) ait trois racines réelles sera donc exprimée par la seule inégalité
/ nq \"i-n ^ / ,fp-, \m — /// \ m /
ou
Il est évident, /// étant impair et m — a étant pair, que celte condition comprend la première \p < o], et qu'elle ne pourrait être satisfaite si l'on avait/? > o.
En résumé, l'équation trinôme à exposants impairs a une seule racine réelle, lorsqu'on a jd > o ; elle a troi'i racines réelles, lorsque l'inégalité (5) est satisfaite.
Si cette inégalité se changeait en égalité, l'équation (i) aurait toujours trois racines réelles, mais deux de ces racines seraient égales entre elles.
En effet, cherchons, en employant les fonctions homogènes (1099), la condition pour que l'équation
ait une racine double. Nous aurons ici
/^.r, //) = X"' -^ pu"'-"x"-+- qu'>\ fx(x, u ) = m.r"'-' -T- «/)?/'"-" j:"-', f'„ (x. u) = (m — /i) />;/'"-»-' jr« -f- mqu'"-^ .
Égalant à zéro les deux dérivées partielles, après y avoir fait w = i,
nous aurons
fjix'n-i — npx'^—^ = o,
( m — // )p X"- — mq = o .
On peut diviser par .r«"i les deux membres de la première équation, et en déduire ensuite la valeur de x. On trouve ainsi, m — n étant pair,
La seconde équation donne, à son tour,
Les deux équations considérées devant avoir une racine commune
(1099), on aura la condition cherchée en égalant les deux valeurs de x; ce qui conduit à
-n / Il /
niq
(ni — ii)p
ou, en élevant les deux membres de cette égalité à la puissance (m — «)«, à
/ iip\" r mq "!'«-«
V /// ./ ^' L ( '" — " )P J On en déduit facilement, en multipliant de part et d'autre par n'"--".
' iip\"' I iiq V"""
ce qui est l'inégalité (5) changée en égalité.
Remarque. — Si l'on suppose, en particulier, ))i = 3 et w = i dans l'équation (i) et dans l'inégalité (5), on retombe sur l'équation du troisième degré et sur la condition connue (1245)
426 ALGÈBRE SUPÉRIEtnE.
