CHAPITRE III

SÉPARATION DES RACINES RÉELLES PAR LA MÉTHODE DE M. BUDAN. - THÉORÈME DE FOURIER. — MÉTHODE DE LAGRANGE.

Remarques préliminaires.

12W. Quoique le théorème de Stlrm ail rejeté dans l'ombre les tentatives antérieures, nous croyons utile de les faire connaître. Elles ont, par elles-mêmes, un grand intérêt et peuvent, dans certains cas, conduire plus rapidement au but poursuivi. Nous exposerons donc d'abord le procédé de M. BuDAN pour la séparation des racines réelles, le théorème de FoLRiER et la méthode de Lagrange.

1250. Le D'" Bldax présenta à l'Académie des Sciences, en i8o3, la première partie de la méthode imaginée par lui pour la résolution des équations numériques de tous les degrés; et cette première Partie, concernant le cas où toutes les racines de l'équation considérée sont réelles, fut approuvée par l'Académie.

En 1807, il publia (') ce premier Mémoire, avec addition de deux autres parties où il s'etTorcait d'étendre sa méthode à tous les cas, sans y réussir.

Enfin, en 181 1, il communiqua à l'Académie la démonstration d'un théorème important que Fourier avait déjà fait connaître dans ses Cours à l'École Polytechnique, et au(iuel. après avoir expliqué la méthode de M. Budax, nous conserverons la forme que lui a donnée son illustre auteur.

(') I'\-D. BuDAN, D. M. P., .Youvelle méthode pour la résolution des équations numériques d'un degré quelconque, daprès laquelle tout le calcul exigé pour cette résolution se réduit à l'emploi des deux premières règles de l'Arithmétique. — Courcier, année 1807.

ALGÈBRE SIPÉRIEL'RE. 427

Méthode de M. Budan.

1251. Celte méthode, quand toutes les racines de l'équation proposée sont réelles, n'est que la mise en œuvre, pour ainsi dire arithmétique, du théorème établi au n'^ 1226 comme conséquence du théorème de Descartes, et énoncé par M. Budan à la page 26 de sa publication de 1807.

Pour séparer les racines positii-es. M. Budan diminue successivement les racines de l'équation donnée, /(xi - o, des nombres entiers i, 2, 3, . . ., c'est-à-dire qu'il en détermine (1061) les transformées en a: -i- \ , œ -^ 1, ^ — 3, .... Le nombre des variations perdues quand on passe de f{oc) à f{x-^i) est le nombre des racines positives de/(^)=:o qui tombent entre o et r, et auxquelles correspondent nécessairement dans la transformée des racines négatives. De même, le nombre des variations perdues quand on passe de /(a- — i) di f{x -^ 1) est le nombre des racines positives de /(jt) = o qui tombent entre i et 2; et ainsi de suite. De cette manière, on sait combien il y a, respectivement, de racines positives de/(>r ) =0 entre les nombres o, i, 2, 3, . . ., et l'on connaît la partie entière de chacune d'elles.

On continue les calculs jusqu'à ce qu'on parvienne à une transformée /(^ 4- n) qui n'ait plus que des permanences, et le nombre n est alors une limite supérieure des racines positives de/(^) ^=0.

Pour séparer les racines négatives de l'équation donnée, on considère sa transformée en — x (1039), et l'on n'a qu'à opérer par rapport aux racines positives de cette transformée comme on vient de l'expliquer, puisque ces racines positives répondent aux racines négatives de la proposée.

Si l'une des transformées /(a: — a) a zéro pour dernier terme, l'équation /(.r -:- « i z= o a une racine nulle, et l'équalion/(^i=:o admet la racine a. La racine a est double, triple, ..., si la transformée /(^ - a) perd ses deux derniers, ses trois derniers termes, ....

Ainsi, le procédé suivi opère la séparation des racines supposées toutes réelles, en faisant connaître directement les racines entières, simples ou multiples.

1232. Les calculs sont très simples. On peut, en effet, déduire les transformées les unes des autres, en remarquant

que, diminuer de i les racines de /(or -h i) m o, c'est diminuer de 1 les racines de /(^) = o ou former la transformée f{x-^-i)\ que, diminuer de i les racines de /(j; -^ 2^ = o, c'est diminuer de 3 les racines de /(.r)— o ou former la transformée /(a? -I- 3), etc. Il en résulte que la seule substitution à effectuer sera toujours celle de l'unité. Ainsi, en partant d'une transformée quelconque

o{x)=.f{.r-^-k), on aura (1061)

On devra donc simplement substituer i à la place de x dans la suite renversée

o'"{x) o"'-'(^) o"{x) o'ix) ^ ^

pour obtenir, dans la transformée cbercbée, les coefficients des puissances décroissantes de .r depuis 7n jusqu'à o.

1253. Une fois que les racines, supposées toutes réelles, ont été séparées et déterminées quant à leur partie entière. il faut pouvoir en approcher davantage. M. Budan trouve de la manière suivante le chiffre des dixièmes, des centièmes, etc., de chaque racine.

Soit toujours l'équation /(j?) ^=0. Supposons que a soit la partie entière d'une certaine racine positive x comprise entre les entiers « et a^i. Désignons par a', a", a"', . . ., les chiffres décimaux successifs de la racine x.

X — a étant moindre cpie l'unité, posons

x' sera moindre que 10, et sa partie entière sera précisément a'. Ov, pour former la transformée en x\ il suffît (1057) de multiplier les différents termes de l'équation en y [ou de la transformée /(j- -h a) en conservant partout le symbole x] par les puissances successives 10», ïo\ 10-,..., 10'"-*, 10'". De l'équation en x ainsi obtenue, on déduira de nouveau les transformées en X -h i , X -{- 2, X -^ 3, . . ., j: -r- 9, et, dès que l'une d'elles perdra une variation, on saura comme précédemment (1251) quelle est la partie entière de x' ou la valeur de a'.

On posera ensuite

Y ^=- x' — a := — ■) •^ lO

et l'on raisonnera par rapport aux trois quantités x' , a , x" , comme on vient de le faire par rapport aux trois quantités x, a, x' . On multipliera donc encore les termes successifs de la transformée à laquelle on se sera arrêté pour déterminer a' par les mêmes puissances lo", lo', io"\ .... lo'"-', lo"', et l'on formera les transformées en x -:- i, x — 2, x -\- d>, ..., ,r — g, de l'équation ainsi obtenue. Dès que l'une d'elles aura perdu une variation, on saura quelle est la partie entière de x" , ou quel est le chiffre a" des centièmes de la valeur décimale de la racine x, etc.

12oi. On approche ainsi davantagre d'une racine dont un ou plusieurs chiffres sont déjà connus.

On peut aussi suivre la même marche pour séparer plusieurs racines comprises entre deux entiers consécutifs, parce que les variations, perdues à la fois quand les racines considérées ont même partie entière ou mêmes premiers chiffres décimaux, disparaissent seulement une à une dès ([u'on atteint un chiffre décimal appartenant à l'une de ces racines sans appartenir aux autres.

Cette manière d'opérer, dans le cas où toutes les racines sont réelles, est générale; mais les calculs sont plus ou moins pénibles, et d'autres méthodes peuvent être préférables.

Pour ne laisser aucun doute, nous donnerons deux exemples.

1253. 1° Trouver les racines de l' équation

sachant qu'elles sont toutes réelles.

Pour les séparer ou pour obtenir leurs parties entières, nous déterminerons les transformées f{x-^i), f{x— 2), etc. Nous aurons, par exemple,

Mais

f{x) = liX^-~i%x — \, f"{x) = i2X- — 18, f"'{x) = -2^x, /"•(j:J = 24-

43o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

On aura donc, en renversant l'ordre des termes,

f{x -T- ij = x*-,- 4-^^ 3.r2- lo.r — 8.

C'est on opérant de la sorte et en continuant comme on l'a expliqué au n° 1252 qu'on peut former le Tableau suivant :

f{x) — x'* — 9^^"-+- 4*"— ^12, 2 var.

/(.r -+- I ) — .r*-+- 4-ï^' — 3^2 — lo.r- 8, 2 var. /(.r -- 2 ) = a:*-- 8.r3-r- i5./-2 o o, o var.

Les deux derniers coefficients de/(.r-^2) étant nuls, 2 est racine double de l'équation /(xt = o [1251], et/(.r) est divisible exactement par (\r — 2)-[1019]. Le quotient. .r2-^4JC — 3, égalé à zéro, conduit aux deux autres racines — 1 et — 3 de la proposée, qui sont nécessairement négatives, puisque la dernière transformée f{x-^i) ne présente que des permanences ( 1226).

Pour les trouver d'après la même méthode, on prendrait la transformée en — X de l'équation ©(x) — .z-^-j- 4^ -^ 3 = o. On aurait ainsi

cp ( — X I — <b(x) — x^ — 4 X -f- 3 — o,

et l'on en déduirait le Tableau suivant :

(j; ( X ) = or^ - - 4 ••<" • (!/ ( .r -r- I ) = x2 — 2 X ([< ( jc -h 2 ) = x-2 o 4^ ( j^ -'- 3 ) = .r^ -r- 2 .r

Le dernier terme de ^{x -;- \) étant zéro comme le dernier ternie de t];(x -H 3), la transformée o(^ x) =. <^{x) = o admet la racine -f- 1 et la racine -;- 3[12S1 ]. La proposée f(x ) == o admet donc, à son tour, les racines négatives — i et — 3.

1256. 2° Séparer et déterminer à o.oox près les raciitex de V e'quatioii

sachant (ju'elles sont toutes réelles.

Nous choisissons cet exemple pour réunir deux cas en un seul ^125ii.

On a ici

f" (x) — vxx^ — 24x — 2, /'" {x)=i.'^x — 24,

et il en résulte

2 var

1 var

I var

0 var

ALGEBRE SUPERIEURE.

On peut alors, en poursuivant de la même manière, établir le Tableau ci-dessous :

f(.r) = .r* — 4-*"^ -^ .r2 -I- 6 .r -^ '2 , 2 var.

f(x ^- i } — x^ o — 5x'^ G -4- 6, 2 var.

f{ X -h 2 ) == x'* -^ 4 x^ -h- x'^ — 6.r -+- 2, 2 var.

f[x-^3) = x'*-r-8x^-higx- — ii X -;- 2, o var.

J est donc une limite supérieure des racines positives de /(x) = o [1231], et il en existe deux entre les nombres entiers a et 3 (1226). La transformée en — x est

Un peut donc former le Tableau

o(.r) = x*-t- 4 x'-i- x^ — 6.r -f- 2, 2 var. o( X ^- i) = x^-^ Sx^-+- ig^'^ — i2,r — 2, o var.

I étant une limite supérieure des racines positives de la transformée en — X. — I est une limite inférieure des racines négatives de la proposée, et cette équation a deux racines négatives entre o et — i , puisque ■^(x) = o a deux racines positives entre o et 1 .

Cherchons à séparer les deux racines positives comprises entre 2 et 3, en les exprimant en décimales.

Il faut, pour cela, opérer comme il a été dit au n" 1253. Nous prendrons donc la transformée /(.r -^ 2), et nous multiplierons ses différents termes par les puissances successives de 10, depuis 10° jusqu'à 10^. Nous obtiendrons ainsi l'équation

fi{x) = j'^-T- 40x*-i- loo.r^ — 60000; -i- 20000 = o,

sur laquelle nous n'aurons qu'à opérer comme nous l'avons fait d'abord sur/(.r) = o, pour obtenir le chiffre des dixièmes de chacune des racines comprises entre 2 et 3. Nous aurons le Tableau suivant :

fii x) = x'-* -\- 4oj:^-i- locx- — 6000X— 20000, 2 var.

fi(x -7- i) = x'* -^ ^^x^-r- 226^2 — 5676^-1-14141? 2 var.

/i(a;-n2) = .r^+48.r3-+- 364^2— 5o88a: — 8-36, 2 var.

fy{x -^ "à) = x'* -^ 5-2x^-7- Si^x^ — ^111 X -^ 4061, 2 var.

/i( j; -h 4) = jT^-r- 56x3-f- 6-6^:2— 3024. r-T- 4 16, 2 var.

/i(j: M- 5) = .r*-l- ôox^-f- 85oj:2 — i5oo.r — 1870, i var.

/i(x-l- 6) = jc*— 64x^-1- io36x2— 384^:; — 2464, i var.

/i(.r -1- 7) = a-^-T- 68.r3-r- 1234^^-!- 2652J; — 979, i var.

/i(.r-f- 8; = .r^-H 72Jc3-4- i444.r2-i- 5328j:-f- 2976, o var.

Ce Tableau montre qu'une seule variation disparait quand on passe

de /i(a:-t- 4) à/t(.r-+- 5), et ensuite, quand on passe de/ifx — 7 ■ yj(x)8). La première racine a donc î pour chitfro des dixièmes ■ est égale à 2,4, ..., tandis que la seconde racine a 7 pour chiti des dixièmes et est égale à 2, 7, ....

On peut opérer de même pour trouver le chiffre des centièmes lio chaque racine, en partant des deux transformées fi{x~r- \ ) et/i ( .r -i- 7 et en mulliphant d'abord leurs différents termes par les puissance successives de 10; etc.

En continuant les calculs, on obtient pour les deux racines

2,41 1- . • • et 2,732, ....

Pour déterminer également les chiffres décimaux des deux racines comprises entre o et — 1, il faut partir de la transformée en — x ou de l'équation o{x) = o, et lui appliquer le même algorithme.

Mais, comme il arrive, fortuitement, que ©(^c) et f{x -h- 2) ve confondent, il est clair qu'on retombera sur les transformées ci-dessus calculées et sur les mômes chiffres décimaux, de sorte que les deux racines négatives de l'équation /(j;) = o sont immédiatement

— 0,414. ••• et —0,732. ....

1257. On remarquera que, lorsque les racines, supposées toutes réelles, sont très rapprochées et présentent plusieurs décimales communes, la méthode précédente devient, lorsqu'on veut parvenir à les séparer complètement, très longue et rebutante.

Il y a plus. Si l'on n'est pas renseigné sur la nature des racines, si l'on ne peut pas affirmer qu'elles sont toutes réelles, le théorème du n** 1226 cesse d'être applicable, et deux variations perdues d'une transformée à l'autre peuvent correspondre aussi bien à l'existence de deux racines réelles qu'à celle de deux racines imaginaires (1259). Dans ce dernier cas, on chercherait en vain à séparer ces deux racines, et les calculs indi(|ués, poursuivis indéfiniment, ne donneraient rien. C'est là une objection insurmontable, qui rend la méthode de M. BuDAN, quelque utile qu'elle puisse être dans certains cas, absolument insuffisante.

Théorème de Fourier.

1258. Ce théorème, auquel on donne souvent le nom de M. Budan (1250) en s'appuyant sur la priorité qui lui serait acquise par suite de la présentation de son dernier Mémoire

à l'Académie des Sciences, en 1811, nous semble néanmoins devoir être désigné par le nom de Foukier,

Bien qu'il se soit occupé toute sa vie de celte question, l'ouvrage (') qui contient les travaux, de ce grand géomètre sur la résolution des équations numériques n'a été publié qu'un peu plus d'un an après sa mort par Navier.

On trouve dans V Avertissement de l'éminent éditeur les preuves les plus évidentes des droits de Fourier. Nous nous bornerons à renvoyer le lecteur aux pages xvij, xviij, xix de cet Avertissement, où il est établi que Fourier a exposé publiquement son théorème dans ses Cours à l'École Polylechnicjue , avant et après l'expédition d'Egypte, c'est-à-dire en 1797 et dans les premiers mois de i8o3.

Or il nous paraît impossible de ne pas regarder comme assimilables à une véritable publication des Leçons orales données à l'École Polytechnique ou dans tout autre établissement d'enseignement supérieur, et de ne pas admettre en lémoignage les Notes rédigées par les meilleurs élèves au >oi lir de ces Leçons et conservées par eux.

Ajoutons que c'est l'énoncé même adopté par Fourier et sa l)elle démonstration qui ont survécu seuls; ajoutons encore (lue c'est en s'inspirant de ses recherches que Sturm a été conduit à sa découverte capitale. Il y a là, sans doute, une raison péremptoire pour laisser à l'auteur de la Théorie maihématique de la chaleur l'un des titres de gloire auquel il attachait le plus d'importance, en ne séparant pas son nom liu résultat de ses profondes et persévérantes études.

1259. Théorème de Fourier. — Soient une équation f{œ) = 0, 'le degré m, et la suite formée par son premier membre et ses m dérivées successives,

Si l'on substitue à la place de x, dans la suite indiquée, î iix quantités réelles quelconques, et. et ^'^ a, et si l'on nrnpte les variations présentées par les deux séries de réiiltats obtenus, le nombre des variations perdues en passant le la première série à la seconde est une limite supérieure du

(') Analyse des équations déterminées, par M. Foukikr. — Firmin -'iilot frères, i83i.

Dr C. — Cours. IV 28

/,34 ALGÈBRK SUPKRIF.UUK.

nombre des racines réelles de l'équation f{x)^=i o, comprises entre les deux substitutions a. et (3, et la différence entre cette limite et le nombre des racines réelles dont il s'agit, différence qui peut être nulle, est toujours un nombre pair.

Quand on fait croître x iWina manière continue, les signes des valeurs prises par les fonctions de la suite (i) ne peuvent changer que lorsque x atteint et dépasse une racine des équations obtenues en égalant ces fonctions à zéro (1027).

Admettons que, pour x=a, une ou plusieurs fonctions consécutives de la suite (i) s'annulent, et représentons ces fonctions par

le nombre n pouvant se réduire à l'unité et l'indice p. à zéro, auquel cas a est une racine de l'équation /( ^) = o. Comme la dernière fonction de la suite (i), f"'{x), est une constante (325), l'indice ,a -i- « — i peut être, au plus, égal •à m — I .

Formons une troisième suite, en ajoutant à la suite (2) la première fonction /!^+"(a7) qui ne s'annule pas pour a; = a. Nous aurons

Si h désigne alors une quantité positive aussi petite qu'on voudra, les n + i termes de la suite (3) offriront toujours n variations pour x — a—h et n permanences pour x=:a-\-h

Cela posé, considérons successivement les deux hypothèses jx = 0 et fjL > o. Dans le premier cas, la suite (2) commence à /(a:); dans le second, elle commence à un terme quelconque de la suite (i).

Si l'on a fA3=o, les ?i premiers termes de la suite (i) s'annulent pour j? — a, « est une racine multiple d'ordre n de l'équation /(^)=:o, et les « -h i premiers termes de la même suite perdent n variations quand on passe de la substitution X = a — /^ à la substitution x^a-^ h{ 1233), c'eslà-dire autant de variations que a est de fois racine de/(^) — o.

Si l'on a p. > o, on peut ajouter à la suite (3) le terme qui précède /!^(^), et former une nouvelle suite

ALGEBRE SUPEFiIEURE. /JOO

comprenant /; -h 2 lernies. Il faut alors distinguer entre n pair ci n impair.

Si n est un nombre pair 2k, a est une racine multiple d'ordre pair ^k de l'équation /i^(a?) == o (1089). 11 en résulte (\\xef^{x) conserve son signe avant et après a, c'est-à-dire de x=-a — h à x^^a^h (1029). /."•-' (^) conserve aussi son signe dans le même intervalle, puisque a n'est pas racine de l'équation /!^-'(j7) = G. D'ailleurs, le théorème du n» 1233 reste toujours applicable à la suite (3). Par conséquent, la suite (4) perd seulement n ou ik variations, quand on passe de la substitution a — h h la substitution a -4- h.

Si n est un nombre impair 2k-\- \, a est une racine multiple d'ordre impair Q.k-^i de l'équation /s^ (a) = o, et la suite (3) perd n ou aA^-i variations, quand on passe de X := a — h à x=za-^h. Mais, dans le même intervalle, f^~^{x) conserve son signe, tandis que/!^(^) en change nécessairement (1029). Il y a donc forcément dans cet intervalle une variation gagnée ou perdue entre les deux premiers termes de la suite (4), selon que ces termes étaient de même signe ou de signes contraires pour x ^^ a — k. Par conséquent, la suite (4) perd alors un nombre de variations égal à ( 2 X- H- f ) ±: 1 , c'est-à-dire qu'elle perd 2 k ou 2 A- + 2 varialions, quand x passe de a — h a. a -i- h.

Ainsi, lorsqu'on a ]J!.>o et que fi termes consécutifs de la suite (i), à partir du terme /i^(j7), s'annulent pour J7=r a, la suite (4) perd toujours un nombre pair de variations [2/1- ou 2A'-i-2], quand on passe de x =: a — h à x-- a -^- h, et ce nombre pair positif ne peut se réduire à zéro, d'après l'alinéa précédent, que si l'on a « =:i.

En résumé, x croissant depuis le nombre donné a jusqu'au nombre donné [3, on voit que, chaque fois que la valeur atteinte par x annulera quelques-uns des termes consécutifs de la suite (i), autres que le premier terme, cette suite perdra un nombre pair de variations; mais que, lorsque la valeur atteinte par x annulera le premier terme lui-même ou sera une racine (d'ordre n) de l'équation /(j?) ;= o, la suite (i) perdra précisément n variations.

N étant le nombre total des racines réelles de f{x)zzz:o {simples ou multiples), comprises entre a et [3, la suite (i) perdra donc, lorsqu'on passera de la substitution x z=-- a h la substitution j? irr (3, un nombre de variations représenté par

436 ALGÈTJUK SUI'KRIKURK.

Nh-2K, 2K étant un nombre pair positif qui peut cire nu! C'est ce rpi'il fallait démontrer. j

1260. Ce Ihéorèine remarquable conduit naturellement (1226) à une limite inférieure du nombre des racines imaginaires de Véquation f{x)--=.o. Si 2K n'est pas nul, 2K est cette limite.

En conservant les autres notations du numéro précédent, désignons par Nj et N2 les nombres de racines réelles de l'équation/(.:r) = 0, comprises d'une part entre — 00 et + a et, d'autre part, entre [3 et (3 +00. Soient Ni + aK, et N.j+aK's les nombres de variations perdues par la suite (i), relativement aux substitutions — 00 et a d'une part et aux substitutions p et H- 00 d'autre part.

Pour .r=: — 00, la suite (i), composée de m 4-1 termes, ne renferme que des variations et, pour ^z=-+- 00, que des permanences (1005). Comme on peut aller de — 00 à -1- 00, en passant d'abord de .2; = — 00 à ^ =; a, puis de ^ = a à ^ = (3, et enfin de ^ = (3 à a- - -h 00, on a nécessairement

Ni + 2Ki-hN + 2K 4-N2+ 2X2= m.

Le nombre 1 des racines imaginaires de réquation/(.r) — o étant égal à

m-^(N, + N + N2), on a

r-2Ki + 2K + 2K2 ou Iâ2K.

1261. Il est claii" que, si toutes les racines de l'équatioir f[x)^=o sont réelles, le nombre de variations perdues de la substitution a à la substitution [3 est exactement le nombre des racines de/(^) = 0 comprises entre a et (3.

En effet, la condition 1 ;= o entraîne nécessairement (1260)

la condition

et, en particulier, 2K=:o, de sorte que le nombre de variations perdues de la substitution a à la substitution (3 se confond avec le nombre N des racines réelles comprises entre a et (3. On retrouve ainsi immédiatement le théorème du n° 1226.

1262. il peut arriver que l'un des nombres limites substi-

ALGÈBRE SUPÉPaEURE. 4'^7

tués à la place de x, a. par exemple, annule un ou plusieurs termes de la suite (i). Comment compter alors les variations de la suite?

FouniER tourne la difficulté en substituant successivement y. — Il e{ y. -\- h au lieu de a (la quantité positive h étant aussi p(>[ite (lu'on voudra), et en appliquant ce qu'il appelle la icgle du double signe ('). Il nous paraît plus simple de substituer seulement y. — h. En effet, supposons que y. annule les termes de la suite (3) [l-2o9], sauf le dernier. On sait, sans qu'aucun nouveau calcul soit nécessaire, que, pour j? z= a — h, cette suite ne présentera que des variations (1233). On naura donc qu'à chercher combien de ces variations disparaissent lorsqu'on fait j- = [3.

De même, si p annule les termes de la suite (3), sauf le dernier, on pourra substituer 3 + A au lieu de (3. On sait i|iie, pour .r ^=: 3 -^ h, cette suite ne présentera que des permanences (1233). On n'aura donc qu'à regarder comme perdues toutes les variations obtenues par la substitution .z^ = a.

1263. Le théorème de Descartes est une simple conséquence du théorème de Fourier.

En effet, appliquons ce dernier théorème à la suite (i) [1259], en supposant d'abord que l'équation /(a-) ^=o est complète et que le premier terme de f{x) est positif, et en choisissant pour nombres limites a = o et (3 =-h oc.

Pour j7 = az=o, la suite (i) se réduit évidemment aux coefficients mêmes de l'équation f{jr)=:o, pris avec leurs signes (abstraction faite de multiplicateurs numériques essentiellement positifs).

Pour j:^Q=z-r-oc, la même suite ne renferme que des permanences (1005).

Il en résulte que le nombre des variations du premier membre de l'équation /(jt) = o est égal (1259) à P h- 2K, en désignant par P le nombre des racines réelles de l'équation comprises entre o et h- oc, c'est-à-dire le nombre de ses racines positives, et par 2K un nondjre pair qui peut être nul. C'est précisément le théorème de Descartes (1214).

Si l'équation /(j?) =0 est incomplète. la première substitution a- r= a ^ o peut annuler quelques termes de la suite (i).

(') Analyse des équaiions, p. io3.

4^8 A].Gi,i;ilE SUrÉRIEUllE.

Mais, au lieu de subsliliier o, on peut substilucr — A el + h et, si l^éqiiaLion f{x) = o n'a pas de racines nulles, le nombre des variations perdues en passaiil de x ^=^ — li à x=i-^h se réduit à un nombre pair (1259). On arrive donc au même énoncé, en substituant + A et 4- oo au lieu de o et + <», puisque h peut être pris assez petit pour qu'il n'y ail aucune racine positive entre o et Ii.

126*. Pour appliquer le théorème de Fourier à la séparalion des racines de l'équation /(^)^^ o, on opère comme il suit.

Admettons qu'on ait déterminé, comme nous le montrerons plus tard {voij' le Chap. VI du présent Livre), une limite inférieure L' des racines réelles de l'équation et une limite supérieure L de ces mêmes racines. On substituera alors dans la suite (i) [1259]

des quantités croissantes depuis L' jusqu'à L, en faisant varier ces quantités suivant la loi qui semblera le plus convenable, et l'on examinera de quelle manière les nombres de variations de la suite se comportent d'une substitution à l'autre.

Si deux substitutions consécutives ne font perdre aucune variation à la suite (i), il n'y a aucune racine réelle de ré(|ualion proposée entre les deux nombres substitués.

Si deux substitutions consécutives répondent à la perte d'une seule variation, les deux nombres substitués comprennent une racine réelle de l'équation, et une seule.

Si deux substitutions consécutives répondent à la perte d'un nombre impair de variations, 2/?h-i, les deux nombres substitués comprennent un nombre impair de racines réelles de l'équation, sans qu'on puisse décider (sans nouveaux calculs) si ce nombre injpair de racines réelles est np -+-\,i p — i , •••, ou I.

Enfin, si deux substitutions consécutives répondent à la. perle d'un nombre pair de variations, -ip, les deux nombres substitués comprennent un nombre pair de racines réelles de l'équation, sans qu'on puisse décider (sans nouveaux calculs) si ce nombre pair de racines réelles est 2/>, 2/^—2, . . ., ouo.

Dans ces deux derniers cas, la diftîculté reste toujours celle

que nous avons déjà indiquée à propos de la méthode de M. Budan (1257); et de nouvelles substitutions plus resserrées ne peuvent la lever que lorsque les racines réelles supposées existent, tandis qu'elles se poursuivent indéfiniment sans résultat lorsque ces racines réelles sont remplacées par les racines imaginaires.

FoLRiER, dans l'Ouvrage cité plus haut, a essayé d'aller plus loin, et il a donné, pour arriver plus sûrement à la séparation (les racines réelles et à la détermination du nombre des racines imaginaires, des règles très ingénieuses qui permettent, dans certains cas, de parvenir plus rapidement au but qu'en employant la méthode de Stlrm, dont ia perfection théorique est absolue, mais qui, pratiquement, peut exiger des calculs 1res pénibles. Nous ne croyons pas devoir exposer ces perfectionnements de Fourier, et nous renverrons pour leur étude à l'Analyse des équations. Nous ferons connaître par la suite des procédés en général plus simples et, par cela même, plus s;:Jisfaisants.

Méthode de Lagrange.

12Ô0. La première méthode entièrement rigoureuse pour la séparation des racines réelles est due à Lagrange (*); la seconde est due à Stlrm, et nous lui consacrerons le Chapitre suivant.

\'oici en quoi consiste la méthode de Lagraxge.

Nous supposerons que l'équation /(.c) =: o, de degré m, n'a plus de racines égales (1092), et nous admettrons qu'on a déterminé une limite inférieure L' et une limite supérieure L, aussi rapprochées que possible, des racines réelles de cette équation.

Nous substituerons alors dans f{x), à la place de x, une

(') Lagraxge a publié son beau Mémoire dans le recueil des Mémoires de l'Académie de Berlin pour 1767, et les Additions dans le Volume des Mémoires de la même Académie pour 1768. Il a réuni tout son travail, enrichi de notes importantes, sous ce titre : Traité de la résolution des équations numériques, ouvrage qui a eu deux éditions du vivant de l'illustre auteur, en 1798 et en 1808.

Le Traité de la résolution des équations numériques forme le tome VIII des Œuvres de Lagr.\xge, publiées par les soins de M. J.-A. Serret. — Gauthier-Villars, m dccc lxxix.

440 ALr.r.BnE S^:II'I^RIF,UnE.

série de nombres croissants

commençant à la limiie inféiicure L' (ou en derà) et se terminant à la limite supérieure L (ou au delà).

Si les nombres substitués sont choisis de manière (lue, entre deux termes consécutifs de la suite (i), il ne puisse tomber PLUS d'une racine réelle de l'équation donnée, il est clair (|uo les substitutions indiquées opéreront à coup sûr la séparation des racines réelles de cette équation. Car, si deux substitutions consécutives donnent des résultats de signes contraires, les deux nombres substitués comprendront une racine réelle elune seule; et ils n'en comprendront aucune, si les résultat> obtenus sont de même signe (1027).

Or, la suite (i) remplira évidemment la condition imposée, si ses termes sont ceux d'une progression par différence dont la raison è soit moindre que la différence de deux racine^ réelles quelconques de l'équation donnée; car, alors, il ne pourra jamais exister deux racines réelles de cette équation entre deux termes consécutifs de la progression considérée. Lagrange est parvenu à déterminer celte raison è, en ayant recours à Véquaiion aux cariés des différences des racines île l'équation proposée (1151, 115-2).

Cette équation aux carrés des différences, (lui est de degré

■ ■> étant calculée comme nous l'avons montré, sun-

posons que o soit une limite inférieure de ses racines positives, qui correspondent (1228) aux racines réelles de la proposée f{x)=io. La limite o étant moindre que le carré de la plus petite dilTérence qui puisse exister entre ces racines réelles prises deux à deux, on voit qu'on n'a qu'à choisir, pour la raison ô, la valeur

Si p est supérieur à i et si \p est un nombre incommensurable, il est préférable d'égaler o au nombre entier inférieur le plus rapproché de v^p.

Si p est moindre que i, il faut |)rendre pour è une fraction moindre que i. Pour éviter alors la substitution de nombres fractionnaires dans l'équation donnée, on peut diviser ses racines par 0 ou former sa transformée en ox (1058), de façon

ALGÈBRE SUPÉRIEUBE. 44 I

à n'avoir à substituer dans cette transformée, et dans les limites voulues, que des nombres entiers. En effet, si a et [3 sont deux racines réelles quelconques de l'équation f{x) := o,

. et Ç seront les deux racines correspondantes de la Irans-

formée /(oj;) = o; de sorte que, si la raison ô est moindre

que la diflférence a — (3, l'unité sera moindre que la différence

V — V = — ^ • Par conséquent, en choisissant la limite m-

férieure L' des racines réelles de l'équation f{x)^^o, de

manière que le quotient -ji limite inférieure des racines

réelles de l'équation transformée /(ôj:-) = o, soit un entier, on n'aura qu'à substituer dans celte transformée des entiers consécutifs. Une fois la séparation des racines réelles de la transformée effectuée, on en déduira immédiatement celle des racines réelles de la proposée.

1266. Telle est la méthode de Lagrange, qui résout d'une manière complète le problème de la séparation des racines réelles d'une équation donnée. Mais cette méthode exige la formation de l'équation aux carrés des différences, qui devient pénible lorsque le degré de la proposée s'élève ('), et l'on peut avoir à exécuter un très grand nombre de substitutions. Pour diminuer leur nombre, on prendra les limites L' et L aussi rapprochées qu'on pourra, et Ton choisira pour la raison ô, en ayant égard aux observations précédentes, la plus grande valeur possible.

Lorsqu'on sait d'avance que toutes les racines de l'équation considérée sont réelles, on évite la formation de l'équation aux carrés des différences en substituant immédiatement dans J\x), d'abord les nombres entiers consécutifs compris entre les limites L' et L, puis des nombres de plus en plus rapprot liés. On finira nécessairement par obtenir ainsi un nombre lie changements de signes égal au degré m de l'équation traitée, et les racines seront alors séparées.

(') C'est ce qui explique les recherches ultérieures de Fourier et de \I. BuDAN, qui voulaient s'affranchir de l'équation aux carrés des différences.

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/]/['>. ALGÈDIIE SUPÉIUEURE.