THÉORÈME DE STURM

Indications préliminaires.

1267. Une équation /(j:)=ro étant donnée, il suffit, d'après le théorème de Rolle (123i), pour pouvoir fixer le nombre de ses racines réelles et les séparer (1238), de savoir résoudre l'équation dérivée /'(.a?) z= o; mais, lorsqu'on ne sait pas résoudre l'équation dérivée, il faut avoir recours au théorème de Sturm.

C'est dans un Mémoire sur la résolution des équations numériques que Sturm fit connaître son célèbre théorème. Ce Mémoire fut lu par l'auteur à l'Académie des Sciences, le i3 mai 182g, et il en donna peu après une analyse dans le Bulletin de Férussac (^).

A l'époque où Stuum vint se fixer à Paris (i825) et où il fui accueilli par Fourier, ce dernier réunissait autour de lui quelques jeunes géomètres appelés à un brillant avenir, Sturm subit l'heureuse influence de ce maître, pour lequel il conserva toujours la plus vive gratitude, et s'occupa avec passion de la théorie mathématique de la chaleur et, surtout, de la résolution des équations numériques. Voici comment il s'exprime à cet égard dans l'analyse de son Mémoire :

« L'Ouvrage (*) qui doit renfermer l'ensemble des travaux de M. Fourier sur l'Analyse algébrique n'a pas encore été publié. Une partie du manuscrit qui contient ces précieuses recherches a été communiquée à quelques personnes. M. Fou-

(') T. XI, p. 4'9- — Le Mémoire original se trouve reproduit en entier dans le tome VI des Mémoires des Savants étrangers, p. 271. — i835. {') Analyse des équations.

rier a bien voulu m'en accorder la lecture, et j'ai pu l'étudier à loisir. Je déclare donc que j'ai eu pleine connaissance des travaux inédits de M. Fourier qui se rapportent à la résolulion des équations, et je saisis cette occasion de lui témoigner la reconnaissance dont ses bontés m'ont pénétré. C'est en m'appuyant sur les principes qu'il a posés et en imitant ses démonstrations que j'ai trouvé les nouveaux théorèmes que je vais énoncer. »

Ces paroles font trop d'honneur aux deux savants pour que nous n'ayons pas cru devoir les citer; et elles ne peuvent rien enlever à la gloire de Sturm, qui triompha là où Fourier n'avait réussi qu'imparfaitement.

Théorème de Sturm.

12G8. On donne une équation /(j:-) = o, de degré m, qui n'a pas de racines égales, et dont le premier membre est ordonné suivant les puissances décroissantes de .r. Nous poserons à la fois /(j:) :=X et /'(j?) = Xj. Puisque l'équation considérée n'a pas de racines égales, X et X, n'admettront aucun plus grand commun diviseur (1038).

Divisons alors X par Xi, comme si nous voulions trouver le plus grand commun diviseur des deux polynômes. Nous poursuivrons la division jusqu'à ce que nous parvenions à un reste de degré inférieur à X,. Désignons par X, ce reste changé de signe. Divisons de même X, par X,, et poursuivons la division jusqu'à ce que nous parvenions à un reste de degré inférieur à X,. Désignons par X3 ce reste aussi changé de signe.

En continuant les opérations de la même manière, c'està-dire en ayant toujours soin de changer les signes de tous les termes de chaque reste, avant de prendre ce reste pour nouveau diviseur, nous arriverons, après un certain nombre de divisions, p — i par exemple, à un reste numérique, puisque X et X, ne peuvent avoir aucun plus grand commum diviseur en X. Désignons parX^, ce reste numérique également change de signe.

On obtiendra ainsi une suite

(l) X, A], Xj, Aj, . . ., A„I, A„, . . ., Ay;l, A^,,

.'î 'i 4 ALGÈBRE SLl'ÉUIEURE.

de p -h i fonctions, qu'on appelle les Fondions de Sturm, ei dont les degrés par rapport à x vont en décroissant depuis /// jusqu'à o.

Cela posé, l'énoncé du théorème est le suivant :

Théorîlme de Stlrm. — La suite (i) étant formée, soient deuu nombres réels quelconques, <y. et '^'^ y.\ substituons-les successivement à la place de x dans les fonctions indiquées ci-dessus, qui prendront alois des valeurs positives ou négatives. Pour chaque substitution, la suite (i) présentera donc un certain nombre de variations. Le nombre des variations perdues en passant de la substitution x^y. à la substitution x t= ^ est exactement le nombre des racines réelles de l'équation f{x) = X :^ o, comprises entre les deux nombres x et ^.

Soient Qi, Q,, Q,, . . ., 0/,i les quotients obtenus dans les p — I divisions effectuées. Nous pourrons, en nous rappelant le changement de signe imposé à chaque reste avant de le prendre pour diviseur, écrire Ies/> — i identités

Il est clair que, lorsqu'on donne à .r des valeurs croissantes depuis a jusqu'à (3, les fonctions de la suite (i) ne peuvent présenter aucun changement de signe, tant qu'on n'atteint aucune racine des équations formées en égalant ces fonctions à zéro.

Le système des identités (2) conduit alors à ces deux conséquences :

1° Deux fonctions consécutives de ta suite (i) ne peuvent s'annuler pour la même valeur de x.

Car, si l'on pouvait avoir à la fois

X„,=io, X„=o.

on en conclurait X^.;-, =: o. En continuant de proche en

proche, on parviendrait donc à X^ = o; ce qui est impossible, puisque X^, est une constante qui ne peut pas être nulle.

2° Lorsqu'une valeur de x annule une certaine fonction (h- la suite (i), les deux fonctions qui la comprennent sont toujours de signes contraires pour cette valeur de x.

Car, pour X„=:o, on a

11 résulte de ces deux conséquences que, tant que la valeur ( roissante de x n'atteint pas une racine de l'équation donnée l\x) =z x r= o, la suite (i) présente toujours le même nombre de variations.

En effet, si l'on a X„:=o pour x^=:a, on peut prendre la quantité positive h assez petite pour que les deux équations \„, = o etX„+i = o n'aient aucune racine réelle entre a — h el a H- II, puisqu'elles ne peuvent admettre la racine a (i"). Il s'ensuit que, tandis que X„ change de signe lorsque x traverse la valeur a (1027), les deux fonctions X„, et X„i, conservent le leur. Mais, d'après (2°), elles sont de signes conii aires pour xz=^a. On ne peut donc avoir, dans l'intervalle 1 insidéré, que les combinaisons de signes ci-après :

j: = fl — //. X ^ a -t- h.

fiui n'offrent toujours (\\\'une seule variation, aussi bien pour ./ :-:z. a — h que pour x ^ a -r- h.

Comme le même raisonnement est applicable à toutes les parties de la suite (i) composées de trois fonctions consécutives, à partir de X,, la suite (i) ne perd aucune variation quand on fait croître x, tant qu'on n'atteint pas une racine 'le la proposée /(^) = X = o. En d'autres termes, le nombre (les variations de la suite demeure constant, et ces variations no font que se déplacer de lune des manières indiquées par le Tableau ci-dessus.

Supposons maintenant que la valeur croissante de x atteigne

une première, racine b de la proposée. Celle valeur h pourr;i annuler également quelques autres fonctions de la suite (i), qui, d'après ce qui précède, passeront par zéro sans faire varier le nombre des variations de la suite.

11 ne nous reste donc à examiner que ce qui se produii entre les deux premières fonctions XetX,, quand x passe de la valeur b—k à la valeur b^k, en désignant par A- une (|uantilé positive aussi pelite qu'on voudra.

Or, nous avons vu (1232) que le rapport ^ de la fonclion

X à sa dérivée Xi passe alors nécessairement d'une valeur négative à une valeur positive, c'est-à-dire que, pour x^:^b — k, les deux premières fonctions X et X, présentent une variation, qui se trouve remplacée par une permanence quand, ayant franchi x^^ b, on fait x^= b -\- k.

Ainsi, dans le cas étudié, la suite (i) perd une variation de X à X,; elle n'en perd donc qu'une seule dans son ensemble.

Par conséquent, de x=:(x à x=zj3, la suite (i) perd une variation et une seule, chaque fois que x atteint une racine de l'équation donnée /(^) = X — o, et seulement dans cette hypothèse, c'est-à-dire que cette suite perd finalement autant de variations que l'équation donnée a de racines réelles comprises entre a et p.

Ajoutons, pour la pleine compréhension, du théorème, que, avant d'atteindre une deuxième racine réelle j? = c de /(jr) = X = o, X passe nécessairement, d'après le théorème de RoLLE (1234), par une racine de l'équation dérivée f'{x)=:Xi=o. X, change alors de signe (1027), et la permanence qui existait entre X et Xi après x= b se change en une variation, destinée à se perdre à son tour au moment où la valeur de x atteint la deuxième racine c de la proposée. On voit par là que, pendant que x croît de a à |3, les variations primitives de la suite (i) finissent forcément /?«/' se déplacer en remontant pour venir se perdre une à une dans l'intervalle des deux premières fonctions X et X,, jusqu'à concurrence du nombre des racines réelles de l'équation proposée comprises entre a et (3.

Tel est cet important théorème, qui a fait époque dans la Science, et auquel on ne peut reprocher que la longueur des calculs à effectuer, longueur sans doule inhérente à la nature de la question.

Remarques.

1269. I. Il est évident que, dans la série des divisions préliminaires qui conduisent aux fonctions de Stlrm, on a le droit de multiplier ou de diviser les dividendes ou diviseurs par tels nombres />05«7f/!y qu'on voudra, puisque ces multiplications ou divisions laissent intacts les signes des différentes Ifuictions. Par contre, il est interdit d'introduire ou de sup- |)rimer des facteurs négatifs, à moins qu'une opération ultérieure ne doive les transformer en facteurs positifs.

1270. II. La dernière fonction X^ est une constante qui ne pout pas être nulle; mais il suffit évidemment, pour la démonstration du théorème, que Xp soit une fonction qui ne change pas de signe quand x varie de a à ^; car, alors, elle ne peut s'annuler dans ces limites {voir i").

Il peut résulter de cette remarque une très importante simplification. Si, parmi les fonctions qui forment la suite (i) [1268], il s'en rencontre une qui ne change pas de signe de x=^a à a?:=p, c'est-à-dire qui, égalée à zéro, n'ait aucune racine réelle entre ces deux nombres, on peut arrêter la suite (i) à cette fonction et supprimer toutes les fonctions qui viennent après ou éviter de les calculer (c'est ce qui arrive, par exemple, lorsqu'on rencontre une fonction qui, égalée à zéro, n'a que des racines imaginaires : elle conserve alors constamment le signe de son premier terme).

1271. III. La même difficulté qui se présente pour l'application du théorème de Fourier (1262) peut se présenter pour celle du théorème de Stlrm. On la résout de la même manière.

Supposons que l'une des fonctions intermédiaires X„ de la suite (i) s'annule/>0Mr la substitution extrême x^a ou x^=^. h étant toujours une quantité positive aussi petite qu'on voudra, les trois fonctions consécutives X„,, X„, X„^-., présenteront toujours une seule variation pour x=:y.~h et x-=: a-\- h ou pour x = ^ — h et x z= ^ -i- h ( 1268). Si c'est la première fonction X qui s'annule pour x=:x ou x=:^, on sait de même (1268) qu'une variation sera perdue entre X et Xi, quand on passera de x -^cc — h à x:=-- oc~ h ou de

448 ALGKBRK SU PI^K lEU RE.

.r = (3 — ^ à X -— ^ -\- h. On n'a donc qu'à prendre pour nouvelles limites, soil ah et (3, soit a et [3 + h, en notant de plus que X - a ou a: — (3 est une racine réelle de l'équation donnée.

Cas où l'équation proposée a des racines égales.

1272. Le théorème de Sturm s'applique encore au cas où l'équation /(j:) = X =: o admet des racines éi:;ales; seulement, le degré de multiplicité de ces racines demeure indé- Lerminé.

En effet, opérons comme précédemment (1268), de manière à former une suite analogue

(i) X, Al, Xj, .... X„i, X,.,, ..., Xp i, X/,.

Trois fonctions consécutives seront encore liées par la relation

{ibis) X„i = X„Q„— X„+i,

le quotient Q„ étant une fonction entière. Seulement, la dernière fonction X^ ne sera plus une quantité constante. Ce sera évidemment le plus grand commun diviseur algébrique de X et de Xj, auquel on s'ari-êtera nécessairement, le reste correspondant étant nul.

Si l'on divise par X^, tous les termes de la suite (i), on obtiendra une nouvelle suite

(2) >, Vi, V2, ••■, »« — 1» ' /n ■■■■> »'/)— 1> 'p^'>

dans laquelle la dernière fonction V^ sera une constante, et qui remplira absolument les mêmes conditions que la suite (i) [1268] formée lorsque l'équation donnée n'a pas de racines égales.

Ainsi, la relation (i bis) sera remplacée par la relation

{"ibis) V„, = V„Q„ — V„+i,

qui prouve que deux fonctions consécutives ne peuvent s'annuler en même temps et que, lorsqu'une fonction intermédiaire s'annule, les deux fonctions qui la comprennent sont

ALGEBRE SUPÉllIEURE. 44Q

<le signes contraires. D'ailleurs, \p — i ne change pas de <igne. Enfin, l'égalilé

montre que le premier rapport, comme le second (1268, 1232), passe toujours, en s'annulant, d'une valeur négative à une valeur positive.

Les fonctions (2) pouvant remplacer identiquement les fonctions (i) considérées au n" 1268, on voit que l'équation V = o [qui n'a plus de racines égales (1088)] a autant de racines réelles entre les deux nombres réels a et (3 > a, que la suite (2) perd de variations quand on passe de la substitution .r = a à la substitution ^ — (3. En outre, comme on (iluient la suite (i) ci-dessus en multipliant les termes de la suite (2) par un même polynôme X,,, il est clair qu'on peut • "inployer directement la suite (i) sans prendre la peine de l'irmer la suite (2). Le résultat ne change pas; mais le degré lie nndtiplicité des racines égales de l'équation /(^) = X = o n'apparaît pas, ou chaque racine multiple ne compte qu'une

fais.

Détermination du nombre des racines réelles d'une équation.

1273. Four trouver le nombre total des racines réelles d'une équation donnée de degré w, il suffit, d'après ce qui précède, de former pour cette équation, supposée sans racines ti^ales. la suite des fonctions de Sturm

Cl X, X„ X„ ..., X,,„ X„

(M d'y substituer une limite inférieure L' et une limite supérieure L des racines réelles de l'équation. Comme on n'a à tenir compte que des signes présentés par la suite pour les deux substitutions extrêmes, on peut, sans chercher L' et L, remplacer ces limites par —00 et -i-00, qui conduisent évidemment à un résultat identique.

Si la suite (i) présente A-, variations pour d7=~oo et k^ vanations pour .37=: -h GO, le nombre des racines réelles de l'équation/(j?) ~X:--o est k^ — k,.

Lorqu'on substitue o à la place de ./■, chaque fonction se réduit à son dernier terme. Supposons que la suite (i) pré-

De C. — Cours. IV.

^5o ALnÈBRK SUVÉRIKUKE.

sente alors A variations. Il est clair que réqualion donnée a, dans celte hypothèse, /.,-/> racines négatives et A-/., racines positives.

Séparation des racines réelles à l'aide du théorème de Sturm.

127'k Le théorème de Sturm fournit tout naturellement une méthode de séparation des racines réelles des équations

algébriques.

Le nombre de ces racines étant connu (1-273), et leurs limites inférieure et supérieure V et L ayant été déterminées comme on le verra bientôt, on n'a qu'à substituer dans la suite de Sturm des nombres croissants allant de L' à L. Les variations perdues d'une substitution à l'autre indiquant le nombre des racines réelles comprises entre les nombres substitués, il peut se faire que quelques essais suffisent pour arriver à la séparation complète des racines réelles (1209). Dans d'autres cas, plusieurs racines se trouvant très rapprochées, le nombre des'substitutions nécessaires peut devenir très grand; mais la longueur des calculs est rachetée par la certitude d'atteindre le but, certitude que ne peut donner la méthode de M. Budan ou le théorème de Fourier.

On peut commencer par substituer entre L' et L les nombres entiers ou les unités décimales

— 100, — lO, —I, o, lO, lOO, looo, ...

Les calculs sont faciles, et l'on détermine ainsi combien l'équation considérée a de racines réelles dans chacun de ces intervalles.

Supposons qu'on reconnaisse de cette manière l'existence d'un certain nombre de racines entre i et lo. Pour avoir la partie entière de chacune d'elles, on n'aura qu'à substituer dans la suite de Sturm les nombres 2, 3, . . ., 9. Admettons que la suite perde une variation de la substitution 2 à la substitution 3. Il y aura une seule racine entre 2 et 3, sa partie entière sera 2 et, pour avoir son chiftre des dixièmes, il suffira de substituer les nombres intermédiaires 2,1; 2,2; 2,3; ...: 2,9. Admettons que la suite perde de nouveau une variation de la substitution 2,5 à la substitution 2,6. La racine cherchée tombera entre 2,5 et 2,6 ou sera 2,5 à

moins d'un dixième et, pour avoir son chiffre des centièmes, ou substituera les nombres intermédiaires 2,5i; 2,52;

! . ^3 ; ... ; 2 , .59. Et ainsi de suite.

On peut d'ailleurs simplifier les calculs en transformant les lonctions de Sturm et en suivant la même marche que celle indiquée à propos de la méthode de M. Budan (1253). Par ('\(Mnple, si des racines sont comprises entre 3oo et 4oo, il tant, pour avoir leurs chiffres des dizaines, substituer les nombres 3 10, 32o, 33o, . . ., Sgo. Si l'on transforme alors les lonctions de Sturm en y remplaçant œ par 3oo + .2^ [ce qui liaient (1061) à diminuer de 3oo les racines de ces fonctions égalées à zéro], il suffira de substituer dans les nouvelles lonctions les nombres lo, 20, 3o, . . ., 90. Nous croyons inutile d'insister.

Exemples.

1275. 1° Déterminer la nature des racines de l'écjiiatiun X = ^i — .r3-i-2.r2 — 6jr— 5 = o.

Le théorème de Descartes (1214, 1216) indique 4 racines positives, on 1 racines positives et 2 racines imaginaires, ou 4 racines imaginaires.

On a ici

Xi = 4 j;3 — 3.r2— 4.r — 6.

Les divisions indiquées ci-dessous donnent la suite de Sturm (1269;

Il en résulte On a ensuite

Il en résulic On a enfin

\i.(. i lii; 1, SI l'i.r. ii-.i RE.

X3=-- — jy^^.r — n',1-

— loacjfi.r^-H 53856.r— 3«6o8 i3.r — SgoaS

— i48îî.r

Il on résulte

Xi — -^ i89VH)i.

La suile de Slnrm est donc

Xa^ — 79?.x — n4i, Xi -= — 1892293.

Comme elle présente deux variations aussi bien pour .v= — --r- 'P" pour x = -^^, l'équation X = o n'a aucune racine réelle, et ses qualr. racines sont imaginaires (voir le n" 1280).

1276. 2° Déterminer la nature des racines de l'équation X = .r^ — ').c — I =0, et séparer celles de ces racines qui sont réelles.

Le théorème de Descaries indique l'existence certaine d'une rann. négative (1216), l'existence de deux racines imaginaires au moins (12-i(i mais laisse dans le doute sur l'existence des racines positives ( 121 i Les substitutions les plus simples, o et i, prouvent d'ailleurs que l'equa lion donnée admet une racine positive entre o et 1; et, par consequon ( 1214), elle en a deux. C'est ce que nous allons vériGer en appliquai le théorème de Sturm.

On a ici

On a donc à effectuer les divisions suivantes, qui sont très simples :

.fi— 5.r-i- I I .1'' — I

Il en résulte

Xj = 4-f^ — '•

On a ensuite

Il en résulte

La suite de St

LU- m

est donc

X — ./;^ — 5 .r -f- 1 , Xi -^ 5x'* — 5,

Comme elle présente trois variations pour x — — zc et qu'elle n'en présente aucune pour x = + oo, l'équation proposée a exactement trois racines réelles, c'est-à-dire qu'elle a deux racines positives, une racine négative et deux racines imaginaires.

En substituant dans la suite les nombres consécutifs — 2, — i, o, I, 2, on obtient successivement trois variations, deux variations, deux variations, une variation, zéro variation. La racine négative est donc comprise entre — 2 et — i; et, des deux racines positives, l'une tombe entre o et i, et l'autre entre i et 2. Les racines réelles de l'équation donnée sont ainsi séparées.

Conditions de réalité de toutes les racines d'une équation de degré donné.

1277, Pour que toutes les racines d'une équation de degré m soient réelles et inégales, il faut que la suite (i) [l'2G8]

perde exactement m variations, quand on passe de la substitution .n: — 00 à la substitution a; ^= ~r œ. Il faut donc que cette suite comprenne m -m fonctions. Comme elle ne peut en avoir davantage, on a alors p = /», et les degrés des différentes fonctions par rapport à j? sont /«, m — i, m — 2, . . ., I, o. De plus, la suite (i) doit présenter m variations pour iî? = — 00, et m permanences pour ^ = + 00, c'est-à-dire que

454 ALGÈunE SUPÉRIEURE.

le coefficient du premier terme de chaque fonction doit être positif.

En résumé, pour qu une équation de degré m ait toutes ses racines réelles et inégales, il faut et il suffit que la suite de Sturm qui lui correspond soit complète ou comprenne m -t- i fonctions, ayant toutes le coefficient de leur premier terme positif.

1278. Au premier abord, il semble que le nombre des conditions cherchées soil égal à m-i-i. Mais on peut toujours supposer positif le coefficient du premier terme du premier membre de l'équation donnée ou du premier terme de la première fonction X de la suite (i) et, alors, il en est de même du coefficient du premier terme de la deuxième fonction Xi. Le maximum du nombre des conditions de réalité de toutes les racines d'une équation de degré m (supposées inégales) est donc seulement m — i. Nous disons le ?7iaœimum, ipavca que quelques-unes de ces conditions peuvent rentrer les unes dans les autres.

/Remarque. — Lorsqu'on se sert de l'équation aux carrés des différences pour trouver les mêmes conditions, on a vu (1228) que son premier membre doit être complet et ne présenter que des variations. Or le degré de l'équation aux carrés

«. , , , . , , , , m (m — I ) des différences d une équation de degré m étant

[1151], cela fait, comme maximum possible., conditions. L'emploi de Téquation aux carrés des différences peut donc conduire à

m (m — I ) , , m- — 'im -\- i {m — 0 =

conditions superflues.

Application à l'équation du troisième degré.

1279. Soit l'équation du troisième degré privée de son second terme [ce qui est permis dans la recherche poursuivie

^^:x^-\-px-\-q^=o.

La dérivée de son premier membre étant

Xj =^ 3 ^2 -î- /7,

la série des opérations à effectuer pour obtenir les fonctions de Sturm est la suivante. [Comme nous l'avons déjà dit (1269) et appliqué (1275, 1276), on a le droit de multiplier ou de diviser les dividendes et les diviseurs successifs par des facteurs positifs, afm d'éviter les coefficients fractionnaires.]

— 6px-i-gq

3jp^+ 2>px

-3ry

— 2 px — 3q

— px

Xip^X'--^ ^4P*

— iSpqx

ipx ^Zq

— iSpqx -+- ^p^

\^p'-h2-jq'- I

La seconde division exige, pour éviter les coefficients fractionnaires, (ju'on multiplie les dividendes deux fois de suite par 2/?. Il est donc plus simple de multiplier immédiatement, comme nous l'avons fait, le premier dividende 'àx--\-p par 4/^^, quantité essentiellement positive. D'ailleurs, le signe de p n'étant pas encore déterminé et pouvant être négatif (ce qui a lieu ici en effet), il aurait fallu dans tous les cas (1269) prendre celte précaution. Ainsi, lorsque, dans la suite des opérations dont il s'agit^, on doit multiplier par un coejjficient dont le signe n'est pas encore déterminé, il faut multiplier par son carré.

On a finalement, pour la suite de Sturm,

X ^=^ x'^-\- px + q, Xi=: 3j:-- + /',

Xj:^: — ipx — "iq,

Cette suite contient bien m 4- i ou 4 fonctions, et il suffit, pour que l'équation du troisième degré privée de son second terme ait ses trois racines réelles, que le coefficient du premier terme de cbaque fonclion soit positif (1277); ce qui entraîne

456 algèiîrp: sl'I'kiueuue.

seulement (1278) les deux conditions

— /)>-o ou p <io et

— 4/>' — 27^- >0 ou 4/'' -i- 27^^ < O.

La seconde condition comprenant implicitement la première, il reste, comme précédemment (1229, 12Vo), la condition unique

Nombre des racines imaginaires lorsque la suite de Sturm est complète.

1280. Lorsque la suite des fonctions de Sturm eii complète. c'est-à-dire s'il y en a m -t- 1 pour une équation de degré m (1277), on peut indiquer immédiatement le nombre des racines imaginaires de l'équation proposée, si toutes ses racines (supposées inégales) ne sont pas réelles.

Si LES PREMIERS TERMES des lu — I fonctions présentent un nombre de variations égal à k <Z m et, par conséquent, un nombre de permanences égal à m — k, l'équation donnée a exactement 2 k racines imaginaires {voir l'exemple du n" 1275).

En elTel, les k variations et les Jii — k permanences supposées subsistent nécessairement pour la substitution œ :=T-a;; mais elles sont remplacées par k permanences et par m — /. variations pour la substitution x — ^ — oc, puisque les signes des premiers termes des fonctions changent alors de deux en deux.

Il en résulte que, lorsque les premiers termes des m-h\ fonctions présentent k variations, la suite complète des fonctions de Sturm perd, de a? := — 00 à ^ ^=4- x, un nombre de variations égal à

{m — k) — k ou à m — -ik.

Tel est alors (1273) le nombre total des racines réelles de l'équation donnée et, par conséquent, le nombre de ses racines imaginaires est égal à 2 A.

Conditions de substitution d'autres fonctions à celles de Sturm.

1281. Pour pouvoir substituer d'autres fonctions à celles (le Sturm, il suffit que ces fonctions remplissent exactement, dans les limites voulues, les conditions imposées aux fonctions de Sturm. Or ces conditions sont (1268) au nombre de quatre :

1° La dernière fonction de la nouvelle suite doit conserver le même signe, lorsque x varie entre les deux substitutions extrêmes a et [3 > y..

1" Deux fonctions consécutives ne doivent jamais s'annuler simultanément pour une valeur de jc comprise entre a et (3.

3° Lorsqu'une fonction intermédiaire s'annule pour une certaine valeur de x comprise entre a et j3, les deux fonctions qui la comprennent doivent, pour cette valeur de x, présenter des signes contraires.

4° Le rapport de la première fonction Y de la nouvelle suite à la deuxième fonction Y, doit, lorsqu'il s'annule pour une valeur de x comprise entre a et [3>a, i.oujours passer du négatif au positif.

Ces quatre conditions étant les seules qu'on ait invoquées dans la démonstration de Sturm, il est évident que, si l'on égale à zéro la première fonction de la nouvelle suite, le nombre des racines réelles de l'équation correspondante Y =: G, comprises entre a et ^, sera exactement le nombre des variations perdues par cette suite quand on passera de la substitution ^ =: a à la substitution plus grande ^ =; j3.

1282. Si l'on a a > (3 au lieu de a < |3, il est évident que la quatrième condition énoncée ci-dessus (1281) est remplacée

par la condition inverse, c'est-à-du'e que le rapport ^ doit,

lorsqu'il s'annule pour une valeur de x comprise entre a et [3, toujours passer du positif au négatif, puisque x va en diminuant au lieu d'aller en augmentant (1232). Cbacun de ces passages fait donc gagner une variation au lieu de la faire perdre (1268).

Par conséquent, le nombre des racines réelles de l'équa-

458 Aj.r.kuiîK slpkrieuhe.

lion Y = o comprises ciilrc a et ,3 est exaclenicnL le nombre (les variations />e/r/«e.ç ou gagnées par la suite considérée, en passant de la substitution a à la substitution ^, suivant que :^ est inférieure on supérieure à ,3.

1283. Pour montrer l'importance et l'extension de ces considérations, nous indiquerons la question suivante qui a trouvé place dans les développements présentés par Stm» au sujet de son ibéorème, et qui conduit à un résultat utile au point de vue de la recherche des racines imaginaires.

Considérons la suite

et supposons qu'elle remplisse seulement les trois premières conditions énoncées au n" 1281, Yj étant choisie arbitraire-

ment, et le rapport ;^ n'étant astreint à aucune autre condi-

tion spéciale que d'avoir ses deux termes premiers entre eux.

a et [3 étant deux nombres réels quelconques, faisons varier X dans le même sens, depuis a jusqu'à ;3, et admettons que la suite (i) présente, d'une substitution à l'autre, une perle ou un gain de k variations ( 1282).

D'après ce qui précède (1268, 1281, 1282), le nombre des variations de la suite (i) ne peut changer que lorsque x atteint et dépasse une racine réelle de l'équation Y=:o. Le gain ou la perte de /." variations indique donc nécessairement l'existence de k racines réelles de cette équation au moins, entre les nombres a et [3.

Voici pourquoi nous disons : au moitis. Lorsque x atteint et dépasse ainsi une racine réelle de Y =:; o, comme la qua-

trième conduion manque (1281), le rapport -^ peut passer du

positif au négatif, ou du négatif au positif, ou conserver le même signe. Dans le premier cas, la suite (i) gagne une variation; dans le deuxième cas, elle en perd une; dans le troisième cas, elle garde le même nombre de variations.

Si l'on représente par ô l'excès du nombre des passages du positif au négatif sur celui des passages du négatif au positif, pendant que x varie de a à ^, on a nécessairement, en désignant par k l'excès du nombre de variations de la suite (i)

pour X =■ ^ sur son nombre de variations pour a.- =: y.,

k est positif ou négatif, selon qu'il y a gain ou perte de variations, de j: =: a à j: — - [3.

128i. Ce n'est donc que lorsqu'on forme la suite de Sturm en prenant pour fonction Y| la dérivée de la fonction Y, que l'on peut affirmer (1232) que le nombre des racines réelles de l'équation Y =; o, comprises entre a et (3, est exactement le nombre des variations gagnées ou perdues par la suite (1282), de ^ ^; a à ^ = ,3.

1285. Considérons maintenant le rapport inverse ~-

Quand œ, variant de a à (3, atteint et dépasse une racine réelle de Y, = o, ce rapport, en s'annulant, peut passer également du positif au négatif, ou. du négatif au positif, ou conserver le même signe. Représentons par ô' l'excès du nombre de ses passages du positif au négatif sur celui de ses passages du négatif au positif, et par k' le nombre des variations gagnées ou perdues (1283) par la suite

(2) II, Y 2, Y 3, .... i/)-i, 1/),

lorsque x varie de a à (3.

Par hypothèse, Y et Y2 sont de signes contraires chaque fois que Y, s'annule [troisième condition (1281)]. Il en résulte

que, si le rapport-^ passe du positif au négatif, le rapport

^ passe du négatif au positif; et, inversement. — 0' indique

donc l'excès du nombre des passages de ce dernier rapport du positif au négatif sur celui de ses passages du négatif au positif, de X =r a à j:- = S, et l'on a

-ô'=/r' ou Ô'=r-A'.

Il s'agit de trouver la relation qui lie les deux nombres ô et ô' ou de comparer, au point de vue qui nous occupe, la suite (i) [1283] et la suite (2).

Or la suite (i) ne diffère de la suite (2) que par son premier

/\Go ALr;L:i}iiE sui'Kiiir.i; UE.

terme Y. Par conséquent, si le rapport ^,- conserve le même

sis^ne pour les deux substitutions a et [3, il est clair qu'on a

k~k' ou O' ôrrr— /.-.

Si le rapport ^rr a le signe -f- pour x=^y. et le signe — pour 1 1 .r=:|3, la suite (i) gagne une variation de j^liis que la suite h.)

dans le passage de a à j3, et l'on a

A" = k' + I ou 0 - 0 -T- \ ^- — /. + I .

Enfin, si le rapport trr- a le signe — pour x y. et le signe +

pour ,r = (3, la suite (i) perd une variation de plus que la suite (2) dans le passage de a à l3, et l'on a

k '=. k' — r ou ô' =^ — ô — I = — k — i .

1286. 11 est important de remarquer que, si la fonction "\ est du wî'^™" degré et si l'on a en valeur absolue A==/«, pour a et (3 égales aux limites des racines réelles de l'équation Y = o, cette équation Y = o <? toutes ses racines réelles (1283). En

même temps, le rapport ;r^ change forcément de signe chaque

fois qu'il s'annule, en passant toujours, soit du négatif au positif, soit du positif au négatif, suivant que x croît ou décroît constamment de a à [3 (1282). La fonction Y, joue alors le même rôle que la dérivée de la fonction Y (1232, 126S, 1284), elle théorème de Rolle (1234) lui est applicable, de sorte que deux racines réelles consécutives de l'équation Y=-o comprennent nécessairement une racine réelle de l'équation Y, =; o. Cette dernière équation est donc de degré m — 1, et ses racines séparent celles de l'équation Y = o.