SÉPARATION DES RACINES IMAGINAIRES
Rappel du théorème de Cauchy.
1287. Nous avons démontré précédemment le théorème de Calchy sur le nombre de points-racines (1016) compris à l'intérieur d'un contour donné, sur lequel ne se trouve aucun point-racine (1109, 1110, 1111).
On considère une fond ion, entière et de degré m,
« = 9(2) =P -4- Oi, de la variable imaginaire
z-^x-v-yi.
Les coefficients de la fonction sont réels ou imaginaires, et 1* et Q sont des fonctions réelles des variables réelles a; et y.
Si, en partant d'un point quelconque du contour donné, on décrit ce contour dans le sens direct, de manière à revenir au
p point de départ (1111), le nombre de fois que le rapport -^ ,
en s'annulant et en changeant de signe, passe du positif au négatif, moins le nombre de fois que le même rapport, en s'annulant et en changeant de signe, passe du négatif au positif, c'est-à-dire ce qu'on appelle l'e.rcès A, est précisément égal au double 2fx du nombre [x de points-racines ou de racines (égales ou inégales) de l'équation o{z):=o, qui se trouvent à l'intérieur du contour choisi (1111). Puisqu'on a
il suffit, pour trouver /jl, de chercher l'excès A pour ce contour.
Règle de Sturm.
1288. Quel que soit le conlour adoplé, on peut diviser sou ensemble en plusieurs arcs, tels que AB, BC, CD, ... (Jig. 07), et l'excès total A qu'on doit calculer est évidemment la somme des excès 0, 0,, o,, ..., obtenus pour les différentes parties du contour ainsi divisé, et parcouru comme on vient de le rappeler (1287).
Fig. 57.
Admettons que, pour la portion AB, les coordonnées x el r puissent être exprimées rationnellement en fonction d'une variable réelle t (950, 9j D""). On pourra alors poser
fit) -hit)
/, F, -h, ^1' représentant des fonctions entières. Quand on parcourt l'arc AB de A vers B, la variable auxiliaire t a, au point A, la valeur initiale /, et, au point B, la valeur ûnale f,. Si l'on remplace x et y par leurs valeurs en fonction de /,
le rapport ^ devient lui-même, le long du contour donne,
une fonction rationnelle de ^; et l'on peut toujours écrire
en désignant par V et par V, des fonctions entières de t qui n'ont aucun facteur premier commun.
Du tbéorème établi au n° 1283 et au n' 1285, Sturm a pu alors déduire la règle suivante :
i" Si le degré de \ n'est pas inférieur au degré de ^ ,, on
ALGÈBRE SUrÉUlEURE. 463
divise V par V, jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste — V, de degré inférieur à Vj, et l'on poursuit les opérations [en divisant Vi par V,, etc. (1268)] jusqu'au reste — V^ indépendant de t, de manière à former une suite, analogue à celle des fonctions de Sturm, sauf la quatrième condition (1283),
On compte combien cette suite présente respectivement de variations pour la substitution t^ et la substitution ^, et, si l'on désigne par k l'excès du premier nombre sur le second, on a, pour l'excès positif ou négatif (5 (1283), qui répond au |)arcours de l'arc AB,
3° Si le degré de V est inférieur au degré de \ ■^, on opère de la même manière en renversant l'ordre, c'est-à-dire en prenant V, pour dividende et V pour diviseur. On obtient alors la suite
Ou compte combien celte suite présente respectivement de variations pour la substitution t.^ et la substitution t^ et, si l'on désigne encore par k l'excès du premier nombre sur le second, on a, en se reporlanl au n" 1285, l'un de ces trois résultats pour l'excès positif ou négatif ô qui répond au parcours
de l'arc AB.
Si le rapport -^ conserve le môme signe pour la substitution ^1 et la substitution t=, (ou si V, et V forment toujours une
permanence), on a
Si le rapport ~ passe du positif au négatif lorsque t passe
de ^1 à ^2 (ou si Vi et V, d'abord de même signe, deviennent de signes contraires), on a
Enfin, si le rapport -^ passe du négatif au positif pour les
mômes substitutions (ou si V, et V, d'abord de signes contraires, deviennent de môme signe), ou a
Wa
ALGÈBRE SUPÉaiF.URE.
On opère, comme on vient de l'indiquer (i", 2'»), relativement à toutes les parties du contour proposé, et il ne reste plus (ju'à ajouter algébriquement les différents résultats pour obtenir l'excès total A (1287).
Cas où le contour choisi est une circonférence.
1289. On peut prendre pour le contour donné une circonférence ayant son centre à l'origine {fig. 58).
/■ étant le rayon de cette circonférence, on a (836, 1287), pour l'un (|uelconque de ses points M,
;; =: /-(cosa H- i siua),
l'argument a variant de o à 27: si l'on pari du point A, ou de — 7î à + 7r si l'on part du point A'.
Posons
tang- — /.
Nous aurons {Triton., 66, 37)
cos -
d'où l'on déduit
I H- cos a
