I -+- tan g

Un a ensuile {Trigon., 3i-, 63)

2 lang-

sin a =z tanga cos a = =^ cos a,

I — lang- -

c'est-à-dire

sina = -•

La valeur de ::, en fonction de la variable auxiliaire t, devient ainsi

11 restera à substituer cette valeur de :; dans le premier membre 9(5) de l'équation considérée 9(^)^:0, de manière à en déduire (1287, 1288) les quantités P et O et le rapport

TT OU ^- en fonction de /■ et de t.

Pour décrire alors la circonférence entière dans le sens direct, en partant du point A', il suffit de faire varier t de — x à + 00; car, pour a= — tt, on a

-=— - ou tansr- = / ^ — 00:

a croissant de — - à o, - croît de — ^ à o, et t, de — oo à o ;

enfin, y. croissant de o à -, - croît de o à -, et t, de o ■■

+ oc.

Pour chaque valeur donnée à /•, on formera, suivant le dcTé

cle ^ par rapport a t, l'une des deux suites indiquées (1288);

et, en estimant les variations de cette suite pour t = +a~j et f = — co, on déterminera, eu appliquant la règle de Sfurm et celle de Cauchy (1287, 1288), le nombre des racines (réelles ou imaginaires) de l'équation o{z) = o, comprises dans la circonférence correspondante.

Eu considérant un nombre convenable de circonférences, on peut donc, par cette méthode, séparer les racines imaginaires aussi bien que les racines réelles de l'équation donnée. Si les coefficients de cette équation sont réels, ses racines

De C. — Cours. IV. 5„

4(i6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

imaginaires seront conjuguées et séparées par couples (1031,

Si l'on désigne par x et y les coordonnées du point quelconque M (Jlff- 58), on a [c = .r + W=: /• (cosa + /sinaj]

a: = /■ cosa 3= /• 77' y — r>\uy. — /■ ■^-

Si le centre de la circonférence choisie n'était pas à l'origine et si ses coordonnées étaient x^ et /o» les coordonnéeci-dessus du point M se trouveraient augmentées respecli\ rment de x^ et de y^. On remplacerait donc d'abord z p;ir a- -i-}/ dans l'équation considérée o(;)=:o, puis on substituerait à .2- et à y les valeurs

-^o^r-^—j, et vo-x-/--^-^.

Les calculs sont, en général, pénibles lorsque le contour choisi est une circonférence de cercle, et il est préférable de faire usage d'un rectangle. Avant d'indiquer cette solution, nous donnerons un exemple relatif à l'emploi de la circonférence.

Exemple.

1290. Séparer les racines de l'équation

^{z) — z^—'xz — i = o.

Cette équation n'a qu'une racine réelle, le coefficient de :; étant positif (1243), et cette racine réelle est positive (1010, 1213). Les deux substitutions o et I montrent qu'elle est comprise entre o et i. Remplaçons :; par la valeur (1289)

I — t--^1ti

Nous aurons

(I — i--hy,li)^ i — t'^-r-iti

En chassant les dénominateurs, en effectuant les calculs el en simplifiant, nous obtiendrons, d'une manière générale, pour la partie réelle P el pour le coefficient Q de i dans le premier membre,

En supposant d'abord le rayon r égal « i, il viendra doQC P = — 4?6^ ,o^4 j6^2__ 2^

Q= I0^5— 12/3-^ lO/,

c'est-à-dire, en supprimant le facteur commua 2,

P — 2/fi^5/^— 8/^ -^ I V

Comme le degré de V est supérieur à celui de V,, nous n'aurons à appliquer que la première partie de la règle de Sturm (128S, \").

En effectuant les divisions prescrites, nous pourrons former le Tableau ci-dessous, qui indique les fonclioas obtenues et les signes de leurs valeurs pour les deux substitutions ? = h- ^i et / = — x. "

< = -f- oc. ^ = X.

Vi= 5/3 — 6^J-f-5^ H —

V2 = — iS/^M- 3o/2 5

Vs = ^ 289 1 __

Vtf = — 7803

La suite présentant 4 variations pour / = + ce et 2 variations pour t = — =c, il en résulte

■^ = 2;x = 2, d'où |jL = i.

Le cercle de rayon i, décrit de l'origine comme centre, renferme donc une racine et une seule de l'équation donnée. C'est la racine positive comprise entre o et i.

Il faut maintenant recommencer les calculs en donnant une autre valeur au rayon r. Nous considérerons la circonférence de rayon 2.

Les valeurs générales de P et de Q, indiquées ci-dessus, se transformeront alors de manière à donner

P ^ — '"^/^^H-iiS/f^— ii9/2^ii V Q 7/s-,8/3+-;7 = yy-

Les divisions nécessaires étant effectuées, nous pourrons former ce second Tableau :

*'—+^. t=~OC.

> = — 13/6-1- ji3;4__,ig/2__ j, __

Vi = 7/- — i8/3h- j^ ^ ^

V3 = i5i/2 — io5/ __

La suilc prcscnlanl G varialions pour / ^ ^ -^^ el o variation pour t —. — X. il on résulte

A = ît;jL = (■), tl'où [J- = 3.

La circonférence de rayon i [comme on pouvait le prévoir en cherchaii en fonction de la racine positive moindre que i la valeur limite du module comnuindes racines imaginaires conjuguées (820 )J comprend donc les trois racines de l'éciualion proposée. Par suite, c'est dans la couronne déterminée par les deux circonférences concentriques de rayon et de rayon i que tombent les extrémités [symétriques par rapport :i l'axe 0.r( 872)] des modules des deux racines imaginaires conjuguées : et l'on peut regarder les trois racines de l'équation comme séparées.

Cas où le contour choisi est un rectangle.

1-291. Le cas le plus simple est celui où le contour adopté est un rectangle dont les côtés son\ parallèles aux axes coordonnés. On doit alors chercher séparément les excès partiels qui répondent à chaque cùlé, el les ajouter algébriquement pour avoir l'excès total A.

Dans l'hypothèse faite, el pour chaque côté, l'une des deux

coordonnées .r et / se trouve constante. Le rapport ^ est alors une fonction rationnelle de l'autre coordonnée, qu'on peut considérer, si l'on veut, comme se confondant avec la^^ variable auxiliaire t introduite dans le cas d'un contour quel- i conque el, en particulier, dans celui d'un contour circulaire .|

Soit le rectangle ABCD (./'>• ^O), et supposons qu un a.l

V ^ xy et X r= X., pour les deux côtés .\B et DC, parallèles à 'axe des y ; y - /, et 7 = /., pour les deux côtés D A el CU,

parallèles à l'axe des x.

ALGÈBUE SUI'ÉRIKURE. 4^9

Soit l'équation

o ( :; ) = o{t -\- yi)r^ P -\- Qi.

Nous aurons, en désignant par /et par F deux fonctions entières,

V = fU,y) et Q = F(^, r).

Pou?- le parcours du coté AB, ^ =: rj, c'est-à-dire P ^ f{.r,,r) ^ V

en rendant, s'il y a lieu, V et V, premiers entre eux. Il faudra donc former, à l'aide de V et de V,, la suite indiquée précédemment (1288), y substituer les limites /a et r, de j, et en déduire la valeur de l'excès o relatif au côlé AB, valeur qu'on [leut représenter par ô,.

De même, pour k' parcours du côté BC, j'rr= >',, c'est-à-dire

P/(^, j,) U Q ~F(^, V,) ~ Ui'

en rendant, s'il y a lieu, U et U, premiei's entre eux. On formera, à l'aide de U et de Ui, une suite analogue à la précédente, on y substituera les limites x^ et x^ de x, et l'on en déduira la valeur de l'excès o^ relatif au côté BC. Pour le parcours du côté CD, x =: x.2. On aura donc

ou la môme suite que pour V et V,, sauf le remplacement de .r, par ^2 et le renversement des limites y^ et ii. On en déduira l'excès Ô3 relatif au côté CD.

Enlin, pour le parcours du côté DA, 7' =.>'i, c'est-à-dire

P f{x,v,) ir

ou la même suite que pour U et Ui, sauf le remplacement de V2 par j, et le renversement des limites j:"2 et x^. On en déduira l'excès Ô4 relatif au côté DA. On aura finalement

470 ALr.kcUK SUPl'-.Il IKIIIE.

En considérant nn nombre conYonal)lo do rectangles, on pourra, en suivant celle marche, séparer coniplètoment les racines imaginaires aussi bien que les racines réelles d'une équation.

Exemple.

1292. Reprenons la môme équation

tp(o) = z^-h 1Z — \ = o.

Nous aurons, en remplaçant ici (1291) :; par .r+j /,

tp(3) = [x -h-rry-^ 9.(.r -î-ji) — 1 = 0.

En développant et en simplifiant, nous trouverons, pour la partie réelle P et pour le coefficient Q de / dans le premier membre,

P = x3— 3.r)2-;-2.r— I, Q c'est-à-dire, d'une manière efénérale,

ÛJ7J

Nous considérerons d'abord un carré ÀBCï) ( fig. 60), ayant son centre

à l'origine et un côté égal à 2, et que nous supposerons dccrit à partir du sommet A.

Pour le côté AB, nous aurons .r = i; pour le côté CB, j' = i: pour le côté DC, .r = — i; pour le côté DA. j = — i.

ALGEBRE SUPERIEURE. 47

Le rapport -r deviendra donc, pour le côte AB,

11 faudra, par conséquent, diviser Vj par V et appliquer la seconde partie de la règle de Sturm (1288, 2°): y devant varier de — i à -m, les divisions effectuées nous permettront de former le Tableau ci-dessous :

y — + 1. jr — — I.

Vi = — .)'^+ 5)- - \ — 4

Va-— i3) — i3 -^ l3

En comptant les variations dans chaque colonne, on voit que l'excès relatif au côté AB a pour valeur

p Pour le côté BC, le rapport — devient

Il faudra, par conséquent, diviser U par Ui. et appliquer la première partie de la règle de Sturm (1288, i").

On formera ainsi le Tableau suivant, les limites de x étant -4- i et

Ui = 3x2 -I- I ^ ! ^

L'excès relatif au côté BC aura donc pour valeur

Oo ^ 2 — 2^0.

Pour le côté CD, on a

4^2 ALckBiu-: sxiiM':i!iixni;.

Les limites de y ctanl -f- i cl — r, il on résulte le Tableau

V j = — I ri- - 1 1 I I

L'excès relatif au côté CD est, par suite,

Enfin, ])(>U7^ le côtéDX, on a

Les limites de x étant — i et -i- i, on trouve

L'excès relatif au côté DA est alors

et l'on a finalement, pour le contour total |)arcouru,

A = 2 [x = 0 i -I- 0, -+- Oa -!- o,v •= 2 ou [j. = I .

Le carré ABCD renferme donc une seule racine, ainsi séparée, et qui est la racine réelle et positive de l'équation donnée.

Nous recommencerons les calculs, en considérant un carré A'BT.'D', (le côté égal à 4, ayant toujours son centre à l'origine, et que nous décrirons en partant du sommet A' (/?i,'. 60). Pour le côté A'B', on aura .r = 2; pour le côté C'B', j =2; pour le côté D'C, ,r=— 2: pour le côté D'A', j = — 2.

En partant toujours de la même \aleur générale

ALGÈISIIE sri'ÉUIEUUE. 4;^

nous aurons successivement : poiw le côte A'B'. et avec les limites y éz — 2 et j- = -!- 2,

Vi = — .) ^-h I 'I )■ —

V = — 6j-2 H-Il ~- —

Oj = — ( I — 2 ) -i- I = i:

pour le côie B'C, et avec les limites .r = — a et .r = — 2.

P .r^ — lo.r — I U

Q ^ 6.r2— 4 "" ÏÏ^'

U = .r^ — lo.r — I -f- —

U;,=--+-i^îi -+- +

poftr Ir col 'CD', et avec les limites j)' —-^1 et )' = — 2.

P 6i2— 13 r g ~ — ,)3^i4j- ^ Vi '

pour le côté D'A', et avec les limites x = — x et j: = -i- 2,

P .r^ — lo.r — 1 U' Q "" -6.r2+4 "" ÛV'

Oi = 2 — 1 = 1.

'j'^/l ALGI-BRE SUPÉRIEURE.

On a donc finalcmont, pour le contour total parcouru,

A = ■>. [x — oi -i- 02 - 03 - 0., — 6 -ou 'X — 3.

Les trois racines de l'équation proposée sont donc renfermées dans second carré A'B'C'D', et l'intervalle entre ce carré et le premier ABC!) renferme les deux racines imaginaires conjuguées ou les extrémités de leurs modules. Comme ces extrémités sont symétriques par rapport à l'axe O.r, on peut regarder les trois racines comme complètement séparées.

On pourrait facilement isoler respectivement les deux racines imaginaires conjuguées dans un rectangle très réduit; mais, dans les exemples précédents, notre seul but a été de préciser la marche à suivre pour appliquer convenablement dans chaque cas le théorème de Cauchy et la règle de Sturm.