i. Soit

/(. r )-: Ao.r'" -r- A,. /•"'-•-... h- A „.r"- .. \,„,ar--\„„

une fonction entière de j:^ à coefficients réels.

Quand on saura trouver une limite supérieure des racines positives de l'équation /(.r) = o, il sera facile, par cela même, d'obtenir une limite inférieure des racines négatives. On pourra ensuite, par de simples transformations, arriver à une limite inférieure des racines positives et à une limite sul)érieure des racines négatives. On parviendra de la sorte à indiquer, dans la région même oij les racines réelles sont renfermées, deux autres régions contenant, l'une toutes les l'acines positives, l'autre toutes les racines négatives de l'équation. La recherche d'une limite supérieiwe des racines positives de l'équation /(j:-) i^ o est donc la question principale à résoudre. Avant d'exposer les procédés plus ou moins avantageux qui peuvent conduire au but, nous démontrerons un principe fondamental, qui se résume dans les considérations suivantes.

Principe fondamental.

1296. Soit l'équation donnée ci-dessus, /(j-) 1=0. [Nous supposerons toujours que son premier terme a été rendu positif, et alors, pour œ = -+- oc, on aura /( a-) > c]

Si un certain nombre positif L, mis à la place de jc, doi'.ne

et si cette condition est remplie par toutes les valeurs de .r supérieures à L, jusqu'à cc=z^oo, il est évident que L est une limite supérieure des racines positives de l'équation f{j:) = o, puisque son premier membre ne s'annule pour aucune valeur de ,r supérieure à L.

Héciproquement , toute limite supérieure L des racines positives d'une équation f{a:) = o fait acquérir à son jire-' mier membre un signe (positif, lorsque A^ est positif) rpii demeure constant pour toute valeur supérieure donnée à .?•; car, s'il y avait changement de signe pour une autre substitution L, > L, l'équation /(a?) =: o admettrait au moins une racine positive entre L et L, (1027), et L ne serait pas.

(oatre l'hypollièse, une limite supérieure de ses racines positives.

1297. Lorsque/(^-) a tous ses termes positifs, toute valeur positive, quelle quelle soit, mise à la place de x, donne f{x)'>o. L'équation correspondante n'admet donc aucune racine positive, ce qui concorde avec le théorème de Descaries (12U).

1298. Lorsque /(.r) présente une seule variation, l'équaliony(j?) =o n'a qu'une seule racine positive (1215).

// est facile, dans ce cas, fie trouve/- une /imite supérieure de cette racine et de prouver que, à partir de j? =z o, le premier membre de l'équation va constamment en croissant avec X.

En effet, /(.c) se compose alors d'un ou de plusieurs termes positifs suivis de termes tous négatifs. On a, par exemple,

JU) = (A„.r" -:-... -A,.^"') ^- (A„,.r"-' . . . :- \,„);

ce qu'on peut écrire

(V.»-"-....+A.,^-(-^....-.-Ml

Pour X croissant à partir de o, la première parenthèse entre crochets va constamment en augmentant, tandis que la seconde parenthèse va constamment en diminuant : la ditîerencedeces deux parenthèses va donc constamment en croissant. Comme il en est de môme du facteur x"', dès qu'une valeur positive de x rend f^x) > o, toute valeur supérieui'e de X remplit la même condition, et l'on voit en même temps que/(j") va constamment en croissant à partir de x =r o.

On n'a donc qu'à substituer dans/(j:.), à partir de o, des nombres croissants à la place de x\ le premier, L, pour lequel on obtient /(L) > o, surpasse l'unique racine positive de l'équation /(x) :::3 o.

1299. Si, aux premiers termes, supposés |)ositifs, du premier membre d'une équation /(x)=o (et dont le nombre peut se réduire à un), on adjoint tous ses termes négatifs en laissant de côté ses autres termes positifs, on forme un polynôme o{x) qui remplit les conditions que nous venons d'in-

/j-S ALGÈBRE SUPKUIEURE.

(ii(liier; et, en désignant par •]^(^) l'ensemble des termes positifs (\e/{^) qui n'entrent pas dans o{.v), on a

Toute valeur positive L de >r qui donne o(L) > o est alors évidemment (1298, 1297, 1296) une limite supérieure des racines positives de l'équation /(^) =; o et, à partir de .r = o, /(.c) va constamment en croissant.

1300. Après ces indications générales, nous allons faire connaître les différentes règles qu'on peut employer pour trouver une limite supérieure des racines positives d'une é(iuation. Les deux premières sont d'une application immédiate; les autres procédés exigent des calculs spéciaux plus ou moins longs, mais conduisent à des limites ordinairement beaucoup plus avantageuses.

RECHERCHE d'lNE LIMITE SUPÉIUELRE DES RACINES POSITIVES d'une ÉQUATION.

Limites immédiates.

1301. I" Soit l'équation

/(.-r)=AoJ:"'^A,j:-"'-'-t-Ao.r'«-- — . . .— A,„iJ:- ^A,„=^o.

Ao étant toujours supposé positif, soit A„ la valeur absolue du plus grand coefficient négatif de l'équation. La valeur de f{cc) sera, pour toute valeur positive de x, égale ou supérieure à celle du polynôme

Ao^'"— A„(j?'"-'-r a-"'---i-.. .-h X^l).

Par conséquent, si une valeur positive de x rend cette expression positive, elle satisfera a fortiori à la condition /(•37)>o.

Or la parenthèse qui multiplie A„ n'est autre chose (i^) que le quotient

Il suffit donc de déterminer une valeur positive de .r à

ALGÈBRE SLPÉRIELUE. 479

partir de laquelle on ait (1298)

Ao-î? ^A„

En supposant a priori j:-> i, il en sera ainsi évidemment (à cause de ce'" > jc'" — i) si l'on a

c'est-à-dire

Par suite, on obtient une limite supérieure des racines positives d'une équation, en ajoutant l'unité au quotient de la valeur absolue du plus grand coefficient négatif de Inéquation par le coefficient du premier terme.

L'indication de cette limite très simple est attribuée à Maclaijrin.

1302. 2" On arrive à une limite plus resserrée en tenant compte du rang du premier terme négatif de l'équation, si ce rang- est au delà du second.

Désignons toujours par A„ la valeur absolue du plus grand coefficient négatif (Xe l'équation, et supposons que le premier terme négatif covUxenne. la variable œ à la puissance m — p.

La valeur du premier membre/(j:) sera évidemment, pour toute valeur positive de x, égale ou supérieure à celle du polynôme

A,^.r'"-HAi.r"'-'-f-. . . — A,(.r'«-/'-f-^"-/'-'-i-. . .-f-^-M).

Par conséquent, si une valeur positive de .r rend cette expression positive , elle satisfera a fortiori à la condition

Or. la parenthèse qui multiplie A„ n'est autre chose que le quotient

il suffit donc de déterminer une valeur positive de .r à

48o ALGÈBUK SLI'KIUICUIIE.

partir de Ia(|iiclle on ail (1298, 1299) ^

j.in~p-+-l ,

Ao^-'" — A„ ■ > o.

JC — I

En supposant a priori x'^ \ , on peut multiplier les deux membres de celle inégalité par x — i {Alg. c/tv/i., 213), el l'on en déduit

AoJ?"'(j" — i) — A„x"'-/'+' + A„ > o.

Cette dernière relation sera satisfaite a fortiori, si l'on a

KaX"'{x — i) — A„.f'"'-/'+'^o ou

Comme toute valeur positive de x rend positif le premier facteur Aq^p'""^'"^', on peut diviser les deux membres de l'inégalité par ce facteur. On peut remarquer ensuite que le produit xP-^{x — i) est, pour x plus grand que i, supérieur au produit {x — i)i'-\x — i) ou à {x — i)^. Finalement, la valeur positive donnée à x doit simplement satisfaire à la relation

(^jc-i)P— :^'>o, Ao

et l'on en lire

Par suite, p étant la dilf'érence (jai existe entre le dei^ré de l'équation donnée et celai de son premier ternie négatif, on obtient une limite supérieure de ses racines positives en ajoutant l'unité à la racine p"^"^*^ du quotient de la valeur absolue du plus grand coefficient négatif de l'équation par le coefficient du premier ternie.

Si le premier terme négatif est le second terme de l'équation, on a p^^i, et l'on retombe sur la limite de Maclaurin (1301).

1303. Si l'on applique les deux règles précédentes à l'équation

2x^-h 'Sx-' -\- lO.r* — -x^ — rî.r--f- .r — 4 :=: o.

ALGÈBRE SUPÉUIEURE. 4^1

l;i rèsle de Maclauriii donne i h ou ■: comme une limite

supérieure des racines positives, et la seconde règle conduit

à la limite {)lus resserrée i + 1/ — ou i H- yti, quantité

moindre que 3.

Méthode des groupements.

130V, Cette méthode n'est que la mise en œuvre répétée du principe démontré au n" 1298; elle peut donc être regardée comme une conséquence du théorème de Descartes. Le résultat dépend ici de la manière dont on applique le procédé.

Supposons qu'on partage le premier membre de l'équation donnée en groupes de termes, disposés de telle sorte que chaque groupe commence par un terme positif et présente dans son ensemble une seule variation. Chacun de ces groupes, égalé à zéro, constituerait une équation n'ayant qu'une seule racine positive. Par conséquent, dès qu'on aura trouvé, pour chaque groupe, une valeur positive de x qui le rende positif, toutes les valeurs plus grandes rempliront la même condition, en imposant au groupe des valeurs croissantes (1298).

Il suffira donc de substituer à x, dans l'équation ainsi partagée, des nombres positifs croissants. On s'arrêtera au premier qui donnera à tous les groupes des valeurs positives, et ce nombre sera évidemment une limite supérieure des racines positives de l'équation proposée (1296).

1305. i" Soit, par exemple, l'équation

2X^'' -+- 3^* -h lOx'* — 7^^ — I2X-H- ^ — 4 ^^ o>

déjà considérée au n" 1303.

Nous partagerons son premier membre en trois groupes, que nous écrirons comme il suit :

( 2 X*"' 4- 3 X-' ) -H X- (ioj:.- — '] x — i2)-f-(^ — 4) = 0.

En substituant successivement à la place de x les nombres positifs croissants i, 2, 3, . . ., on voit que le premier groupe est toujours positif, que 2 suffit pour imposer cette condition

De C. — Cours. IV. 3i

j82 AL(;ÈBIîK SI Pl^iRIF.tKF.

au deuxième groupe et que, pour le troisième, il faut aller jusqu'à 4. On peut donc regarder 4 comme une limite supérieure des racines positives de Téqualion donnée.

Mais on peut faire mieux en adoptant un autre groupement, et cette élasticité rend la méthode l'égale de toutes les autres.

Ajoutons et reli'anchons r au premier membre de l'équalion. Elle prend alors la forme

et Ton voit immédiatement que 2 est une limite supérieure de ses racines positives.

2" Soit, encore, V équation

X^ — 2 x'' -\- I OX" — -ix'^ — I 2 J?' -i- 3 JP- — I OO.C H- I 000 =: O.

On peut, en groupant directement les termes du premier membre, la mettre sous la forme

x'' {x — 2 ) H- 2.Î7*( OcC- — X — 6) -h (3 J7- — lOOX -+-• 1000 ) -=^ O.

Les deux premiers groupes sont positifs pour a: = 2. Quant au troisième groupe [qui ne satisfait pas à la règle posée (130i), puisqu'il présente deux variations'], on obtient, en l'égalant à zéro, une équation du second degré dont les racines sont évidemment imaginaires, de sorte que ce groupe conserve une valeur positive pour toutes les valeurs réelles de X ( Alg. éléni.. 237, 252). Le nombre 2 représente donc une limite supérieure des racines positives de l'équation donnée. [La règle de Maclaurin (1301) conduirait à une limite égale à 101.]

Méthode de Newton.

1306. Le procédé indiqué par Newton (') repose sur une remarque presque évidente.

L'équation proposée /(a?) = o étant de degré ni, considé-

(') Dans son Ailtlimetique unn'erseUe.

I oiis son premier membre avec ses m dérivées, c'est-à-dire la -aile

Si une valeur posilue a substituée à x rend positives toutes ces fonctions ou positifs tous les termes de cette suite^ a est une limite supérieure des racines positives de l'équation

En effet, la formule de Taylor (324) donne

Il II- h"'

Tous les termes du second membre étant positifs, par li,\pothèse, il en résulte

/{a -— li)~^ o,

f/uel que soit h (positif), ce qui justifie l'énoncé (1296). On voit en même temps que J\jc), à partir de la substitution X = ff, va constamment en croissant.

La marche à suivre pour déterminer a est très simple. On ne substitue, en général, que dos nombres entiers.

On forme la suite (i), et on la parcourt en sens inverse. Le premier terme de/(^) étant toujours supposé positif, /"*( a;) est une constante positive. f"^~^{x) étant du premier degré et son premier terme étant alors positif , on trouve immédiatement une valeur positive de x {xq par exemple) qui rend celte fonction positive. On passe à la fonction précédente /"'--(^), qui est du second degré, et l'on vérifie si la valeur Xq suffit pour la rendre positive; sinon, on augmente x^ jusqu'à une valeurs-, telle, qu'on ait /'"'-- (j;,) > o. On continue ainsi en remontant et en conservant la dernière valeur donnée à x tant qu'elle rend les différentes fonctions positives, mais en l'augmentant dès qu'elle impose une valeur négative à l'une des fonctions rencontrées. On ari'ive ainsi nécessairement à une valeur a de x pour lacjuelle f{x) et toutes ses dérivées sont positives, et a est alors la limite que peut fournir la méthode.

Par la manière môme dont elle est obtenue en opérant de proche en proche, celte limite est t'orcémentla plus resserrée

484 ALGKBRF. Stl'ÉR lELUK.

possiljlo. I.a mrlliodo dos pjroupemcnls, convenaljlcment applicjLiée, peut d'ailleuis conduire au même insultât.

1307. Appliquons, pour le constater, la métliode de Newton à la dernière équation traitée (1305, 2"),

Nous aurons successivement

f{x) =: X^ — 2 J?^4- JO^'' — 2^^ — 12^*4- 3^'^ — lOO.r -^ I OOO,

f {x) ■=■ 8j?'' — i{\x^ -\- 60^^ — lo.r* — [\èx^ -\- 6.r — loo. f"{x) nz 66x^ — 84^'+ 3oo^* — ^ox^ — iWx-~- 6, f"{x) = 336.r^ — /420>ic* + 1200 a;' — 120^:-^ — 288^, /'^'(j?) =: i68o.r^ — i68oj?3+ 3600^-- — 24o.r — 288,

f^ix) = 6720^:^ — OO^OX'^-h 7200 J7 — 2/10,

f^^{x) =: 20160 J7-— ioo80cr H- 7200,

Nous commencerons par essayer, en remontant, la substitution x=:i. Elle donne des résultats positifs pour les différentes fonctions, jusqu'à ce qu'on parvienne hf'ix). Pour .r =: 1, on a/'(i) < o, et il faut prendre x =^2, qui rend positives les deux dernières fonctions /'(j?) et/(.r), et est, par conséquent, comme nous l'avons déjà vu (1305, 2°), une limite supérieure des racines positives de l'équation f{x) = o.

Il n'est pas douteux que la méthode des groupements ( 130i) ne conduise, en général, beaucoup plus rapidement au résultat que la méthode de Newton.

Méthode de M. Laguerre.

1308. M. Laguerre a indiqué ('), poui- trouver une limite supérieure des racines positives d'une é(]uation, une méthode élégante, analogue à celle de Newton, mais d'une application ordinairement plus facile, parce que, pour une substitution donnée, les termes de la suite qu'on doit employer se déduisent les uns des autres suivant une loi simple et dé/à connue.

(') Nouvelles Annales de Mathématiques. 2' série, t. \I\, 1880.

ALGÈBRE SUPÉniEURE. ^85

Élant donnée l'équation /(^) = o, de degré m, considérons la suite

l/m (j")=Ao,

I fm-i{jc) — AqJ? 4- a,,

(i) (f'"-^^-^) =Ao^--|-A,.r +A,,,

f/i(^") =Ao.c'"-'+A,a:'"--+A,^'«-3^ H-\

^f{.x) =Aoa:"'+A.^-'+A,^— ^ + ...+A„,,^+A.„,

dont le dernier terme est le premier membre de l'équation proposée.

Quand on veut essayer si le nombre a est racine de l'équa- [■umJ\x) = o, on a précisément (102i) à effectuer la division de/(^) par j:- — a, et les différents coefficients du quotient nr sont autre chose (13, 2<-D-) que les termes de la suite précédente (moins le dernier), où a est substitué à x. Quant au reste (qui doit être nul si a est racine), c'est le dernier lerme/(a).

Par conséquent, les termes de la suite (i) [x étant remplacé par a] se déduisent les uns des autres par l'algorithme bi<'n connu (13, 1024), qui consiste à multiplier par a le k'ime précédent, en ajoutant au produit obtenu le coefficient <iii terme ùq f{x) qui est de même rang que le terme de la suite qu'on veut calculer.

Or, puisqu'on a identiquement, d'après la division supposée effectuée, /(^) = (^ a)Q + r, c'est-à-dire

'•n voit que, si un nombre positif a substitué à x rend posii ils tous les termes de la suite (i), f{x) prend une valeur positive et croissante pour a et pour toutes les valeurs de x ■supérieures à a et croissantes; a est donc alors (1296, 1298) 'HIC limite supérieure des racines positives de l'équation

On applique la méthode comme celle de Newton. On comix'nce par essayer la racine de l'équation du premier degré

f„i-i{x) = AqJ? -h A,=:0,

'|00 Ai.r.r.RiîE sui'KiîiKuni:.

ou le nombre enliei- immédiatement supérieur jt^. On calcule de proche en proche les valeurs des fonctions suivantes /,n-2{j^o), fm-zi-^o), ■ ■ -, d'après l'algorithme rappelé. Si tous les résultais, jusqu'à /(.Xu), sont positifs, ./o répond à la question. Sinon, en essaye le nombre entier consécutif, et l'on continue de la même manière jusqu'à ce que la dernière substitution conduise à des résultats tous positifs.

1309. Reprenons l'équation déjà traitée deux fois par la méthode de Newton (1307) et par la méthode des groupements (1305, 2°), et pour laquelle on a

f{jc):=zx^ — 2j;' -]- lo.r®— 2a'"' — 12 j:-'*+ 3.r- — iooj: -h lOOO.

En égalant à o la fonction du premier degré, il vient ici

On commencera donc par essayer 2. On obtient alors successivement [pour les termes de la suite (0] les nombres

Tous ces résultats étant positifs, 2 est une limite supérieure des racines positives de l'équation donnée. Cet exemple montre l'avantage de la méthode de M. Laguerre sur celle de Newton.

Limite supérieure des racines positives de l'équation dérivée

1310. Les démonstrations précédentes prouvent que, a étant une limite supérieure des racines positives de l'équation/(^) =: o, trouvée par une méthode quelconque, la fonction/(j?) (plus grande que zéro pour jr-=ia) va constamment en croissant, depuis cc^= a jusqu'à a- =: -t- oc.

Il en résulte que, dans le même intervalle, la dérivée /'(-a?) est constamment positive (1105), c'est-à-dire qu'elle ne peut jamais s'annuler.

a est donc en même temps une limite supérieure des racines positives de l'équation f{jc) = 0 et de l'équation dérivée f{x) -=i o.

Recherche d'une limite inférieure des racines positives d'une équation.

1311. Pour trouver une limile inférieure des racines positives de l'équation /{•r) = o, il suffit de poser x =z — ou de

former (1067) la transformée en - de l'équation donnée,

c'est-à-dire l'équation aux inverses de ses racines.

On sait que, pour obtenir celte dernière équation, il suffit d'échanger dans l'équation donnée les coefficients des termes également éloignés des extrêmes.

Si X est alors une limite supérieure des racines positives

de l'équation /( — j ^ o, il est clair que - est une limite

inférieure des racines positives de l'équation f(x)^o; car, à la [dus grande racine positive de la transformée, correspond la plus petite racine positive de la proposée. Dans les applications, on doit cherclier à parvenir pour ).

à la plus petite valeur possible, afin d'avoir pour - la plus

grande valeur possible.

1312. Lorscju'on veut déterminer immédiatement, c'està-dire sans calculs, une limite inférieure des racines positives d'une équation, on peu! opérer comme il suit.

Soit Téqualiou

f{x) = A„ r'" + Ai.r'"-' -I- A.,.r'"-^ + . . . + A,„i^ -t- A„, = o.

La transformée /( — J=:o sera (en rendani son premier terme positif, s'il ne l'est pas déjà)

/f-|-)=:A„,^"' + A„,,^'«-' + A,„2.r'«-2^...+ A,^4-Ao = o.

En désignant alors par A„ la valeur absolue du plus grand coefficient qui, dans l'équation proposée, soit de signe contraire à A,„, ce coefficient deviendra le plus grand coefficient négatif de la transformée. On pourra donc, en appliquant la règle de Maclaurin (1301), regarder comme une limite supé-

488 ALGÈBRE Sri'KRIEtRE.

rieurc des racines positives de ia transformée la (|uanlilé

La ([uantité inverse

représentera donc à son tour une limite inférieure des racines positives de la proposée.

On peut, par suite, énoncer celle règle, qui est le pendant de la limite de Maclaurin : On obtient immédiatement une limite i/iférieure des racines positives d'une équation donnée, en formant le quotient de son terme indépendant pris en valeur absolue par la somme des valeurs absolues de ce même terme et du plus grand coefficient de signe contraire.

Recherche d'une limite inférieure et d'une limite supérieure des racines négatives.

1313. Étant donnée l'équation /(j:)t= o, il n'y a qu'à chercher une limite supérieure et une limite inférieure des racines positives de sa transformée en — r (1059), pour obtenir, inversement et en changeant les signes des nombres trouvés, une limite inférieure et une limite supérieure de ses racines négatives. En effet, les racines positives de la transformée en — x deviennent, changées de signe, les racines négatives de la proposée.

Remarques.

131i. I" Quand tous les termes d'une équation sont de même signe, cette équation n'admet aucune racine positive (1297). Il n'y a donc pas lieu de chercher les limites de ses racines positives.

1315. 2» Quand tous les termes de degré pair d'une équation ont un même signe, tandis que tous les termes de degré impair ont le signe contraire, aucun nombre négatif substitué à X no peut annuler son premier membre, un pareil nombre imposant nécessairement lo même signe à tous ses termes. Une pareille équation n'admet donc aucune racine négative,

ALGÈBRE SlPÉRIEinE. 4^9

et il n'y a pas lieu de chercher pour elle les limiles des racines de cette espèce.

Exemple.

1316. Proposons-nous de trouver des limites supérieure et inférieure pour les racines positives et pour les racines négatives de Téquation

/( j' ) = ./-G -T- 3 .r= — 36 .r+ — 4 j ./•* -+- gS .r- -r- i '}■>. f ^ 1 4o = o.

On peut l'écrire d'abord comme il suit, en groupant ses termes (1304):

y(.r) = .r*(,r- — 36 ) -f- '].r^(.r- — 1 3 ) — ( gS.r^-i- i3'2.r -^ i4o ) = o.

Le troisième groupe est positif pour toute valeur positive de x et croissant avec cette valeur. Pour remplir les mêmes conditions, le deuxième groupe exige qu'on fasse x = \ et, le premier, qu'on fasse x = 6. On peut donc regarder

comme une limite supérieure des racines positives de Tcquation donnée. La transformée en - de cette équation est ( 1311 )

J ( - ) ~ iio.r'''-h i3-2.r5-h 93a.-* — 4^-'^'— 36.r--

Il est visible, sans avoir besoin d'aucun calcul, que X = i est une limite supérieure des racines positives de cette transformée. Par conséquent,

Y = I sera une limite inférieure des racines positives de l'équation

donnée, qui aura toutes ses racines positives comprises entre i et G.

Prenons maintenant la transformée en — x de cette équation. 11 viendra

ou, en groupant les termes,

/( — X) = ,r^(.r-— 3.r — 36 ) -f- 4 j»./-'-^ x(()'ix — [3'>. ) -^ i4o = o.

Le quatrième groupe est un nombre positif constant. Le troisième groupe est positif pour la valeur x = 2 et croit avec cette valeur. Le deuxième groupe est positif, quelle que soit la valeur positive de j:, et croît avec cette valeur. Quant au premier groupe, si l'on considère l'équation du second degré

'ÎQo Ai.(;i;BnK svpéuieure.

dont les racines sont réelles et de signes contraires ^ Alg. clém., 2ii i. on voit que sa racine positive,