U) -•- I i/| 3 -h v/iâ

est inférieure à S. On peut donc regarder 8 comme une limite supérieure des racines positives de l'équation /(— .r) = o et, par suite

comme une limite inférieure des racines négatives de l'équation f(x) = o. Enfin, l'équation aux inverses des racines de la transformée en — .r est évidemment

En groupant les termes, on obtient /( 1 = .r^dioo.- — \3i ) -+- g3.r4-t- .r{^5.i'^ — 36,r — 3) -i- i = o.

et l'on voit que, pour ^ = i, tous les groupes sont positifs et croissent avec ^. Donc." i pouvant être regardé comme une limite supérieure des

racines positives de l'équation f( j = o, - ou i peut être regardé

comme une limite inférieure des l'acines positives de l'équation/i — .r) = o. Par conséquent (1313), — i est à son tour une limite supérieure des racines négatives de l'équation proposée f(.r) = o. dont toutes les racines négatives sont comprises alors entre — i et — 8.

En résumé, toutes les racines réelles de l'équation donnée /(.r) = o sont comprises entre — 8 et -1-6. et ii n'y en a aucune entre — i et -f- 1.

Recherche des limites des modules des racines d'une équation quelconque.

1317. Pour trouver les limites des modules de toutes les racines, réelles et imaginaires, d'une équation quelconque^ nous appliquerons à cette équation

' +A,„iG-t-A,„z=P + Q/ = o,

une transformation analogue à celle employée au n" 1110.

ALGÈBRE SLPÉRIEUIîE. '\gi

Soient

; =: r(cosa -h /siiia) et \,ji =: Z.j. (coswji + /sinoja).

A[A étant un coefficient quelconque de l'équation donnée et ,a pouvant varier de o à ni.

Le premier membre de l'équation (i) prendra la forme (8il,

SÏ3)

Zo /•'" [ cos ( /« a — oj^ )~ i ^\n{m y. ~T- WiO] - Zi /•'"-' ;cos[(m — i)c(. -i- 0),] -f- fsin [(/?« — i )a -i- wj j — . . . y^iir'"-" ]cos[{ ni — «)a-i-co„] + /sin [(/?« — «)a4- a)„] J — .". . -Z„, (coso),,, + ? sino)„, ).

On aura donc

: Zu'""cos(ma -h Wo) — . . — Z„ /•'"-" cos [( m — «}a +-aj,,]H- - . . — Z,„cosw, : Zor"'sin(ni7. -H too ) - . . . —Z„r"'-"s\n [( w — //(a -^ w„]— . . . — Z,„siQW/

Le module R de 9(^) ayant pour expression (820) \'P- — Q-, on peut évidemment poser

R-2= [P cos {ni y. + oj^,) — Q sin(ma -h ojo)]" -i- [P sin {iny.-^ 03o) — Q cos(«ia-^ '^h)V-

On a donc

(i) R-> [Pcos(wa -T- 'jOo) h- q sin (/«a -F ^.jo)]'-

Toutes les racines de l'équation o(s) =o donnent à la fois P = o et Q = o, c'est-à-dire R = o. Il s'agit de trouver entre quelles limites doit tomber la valeur du module /■ de :;, pour qu'on n'ait jamais en même temps P=o et Q = o, c'està-dire pour que R reste constamment supérieur à zéro.

Or, on a [en se rappelant que cos5 := cos(— 9)]

P cos {niy.-\- ojo ) -'- Q sin ( m a -i- cop )

= Zo /•'" -^ . . . - Z„/-'"-" cos ( /i a — (Oo — w« ) -i- . • • — Z,„ cos ( m y -i- w„ — a)„, ).

Désignons par Z le plus grand des modules Zi, Z,, Z3, . . .,

Z,„...,Z,„, et ajoutons au second membre de l'expression précédente la quantité identiquement nulle

Uyi Ai.Gi;nr,E .sii'kiukukf..

Si l'on roinai(|ue (lu'oii peut ('criie

,-, Zo/-'"(/--.-^)-r-Z

on aura, après l'addition indiquoo,

P CCS ( /« 5c + fJ)^, ) -i- Q sin ( m y. -i- (,)„ )

j 1 [Z -r- ZiCOs(a -i- ojo — (.Ji)] /•'"-' i

f +1 — [Z + Z2C0s(p.a + ojo— «2)]/""~--H.-. •

( -H [Z -i- Z„, cos( /«a 4- o)„ — r,),„) \

La parenthèse entre crochets du second memhre de l'égalité (2) restant évidemment positive d'après le choix de Z, il suffit que le premier terme de ce second memhre soit positif, pour qu'on puisse affirmer qu'il en est de même du premier memhre de cette ésalité. On est ainsi conduit à la condition

Z Zo

La quantité

Z Zq + Z

ou — -. — -

est donc une limite supérieure des modules des racines de l'équation proposée, puisque, pour toute valeur de la variahle z ayant ce module ou un module supérieur, le premier membre de l'égalité (2) est positif, de sorte que, en raison de l'inégalité (j), le module R de 9(-) est, a fortiori, une quantité supérieure à zéro.

Si l'on forme maintenant la transformée en - de l'équation

'<i{z)=i o, et si l'on cherche une limite supérieure des modules des racines de cette transformée, on obtiendra, en prenant l'inverse de cette limite, une limite inférieure des modules des racines de la proposée (842).

D'après cela, représentons par Z' le plus grand des modules

des coefficients de la transformée en -• En se reportant à ce

qui précède et à la règle de formation de la transformée

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ^q3

(1067), l'expression —^ — ^ sera une limite supérieure des modules des racines de la transformée. L'expression inverse

est donc, à son tour, une limite inférieure des modules des racines de l'équation proposée.

On peut rapprocher ces résultais de la limite de Maclaurin (1301) et de la règle indiquée au n'' 1312.

^ql ALGÈBRE SUPltniF.UnE.