CHAPITRE VIÏ
DÉTERMINATION DES RACINES COMMENSUR ABLES DES ÉQUATIONS A COEFFICIENTS RATIONNELS.
Observations préliminaires.
1318. Nous supposons (lue les coelficients de léqualion donnée, /(^) =o, sont des nombres rationnels. On peut, dans ce cas, chasser les dénominateurs présentés par le premier membre de l'équation, et les coefficients de tous ses termes deviendront ainsi des nombres entiers.
Si l'équation proposée admet alors des racines commensurables, il est facile de les obtenir par une méthode régulière et très simple, dont l'application, théoriquement parlant, doit précéder toute autre recherche. En effet, si l'équation considérée n'a que des racines commensurables, elle se trouvera complètement résolue. Si elle a des racines commensurables en nombre inférieur à son degré, on pourra supprimer par voie de division les facteurs correspondants { 1018), et abaisser de cette manière le degré de l'équation, c'est-à-dire diminuer la difficulté de sa résolution complète.
Les racines commensuraides peuvent être entières ou fractionnaires. Nous indiquerons d'abord la marche à suivre pour trouver les racines entières.
Détermination des racines entières.
J\.r) HT \qJc"' -4- A , X'"-^ -t- A."—- -^ . . . -î- A„.i a- -H A,„ — O, dont tous les coefficients sont des nombres entiers.
ALGKBIIK SUPÉRIEURE. -|q5
Soit a un nombre entier. Pour essayer si a est racine de [équation proposée (lOiV), on doit diviser/(.r) par le binôme r — - a. On obtient alors un quotient
0= Ao./—'- B,.r"'-^+ B,^— ^'-H. . . -,- B,„^^ ^ B,,,,
dont les coefficients se forment d'après une loi comiue, et un reste R soumis à la même loi. En vertu de cette loi, on a (1024) les égalités suivantes, où toutes les lettres représentent des nombres entiers :
B, — A„a-i-Ai, P.,~ l},./ + Ao, B,,= !%«-hA„ R,„2 = \^,n-,fi + A,„^,, B„,i -I- B„,.« H- A,„^,, Il =-- B,„^,c/ + V,„.
.!5/ a est racine, on a R — o, et la dernière égalité donne
On déduit ensuite des autres égalités, en remontant,
a ~ "'--' a ——Km- 3, ...
^i^i» = - li., Ai:^' = B, i^-i:^ - V
Les relations précédentes renferment les conditions nécessaires et suffisantes, pour qu'un nombre entier, positif ou négatif, soit racine d'une équation donnée à coefficients entiers- Nous allons les énoncer sous forme de i-èf^le.
Pour que le nombre entier a soit racine, il faut d'abord qu'ilsoit un diviseur exact du dernier ternie A,„ de l'équation. (On ne dkvra donc chercher les racines entières de l'équation proposée QUE PARMI LES DIVISEURS DE SON DERNIER TERMî;.) Il faut ensuite
que la somme du quotient obtenu — B,„, et de V avant-dernier coefficient A„j, de l'équation soit exactement divisible para; qu'il en soit de même de la somme du nouveau quotient obtenu — B,„2 et du coefficient A,„2 de l'équation qui est de même indice; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait à diviser par a la somme du quotient — V»i de la {m— i )"'""- division et du second coefficient A, de l'équation. On doit alors trouver pour
-{qO ai.gf.bre supérieure.
flernier rjuotU-nt — A^, cesl-à-dire le coejficiml du premier terme de l'équation^ changé de dgne .
On e?l donc averti que a n'est pas racine, lorsqu'on parvient dans la série des opérations à un quotient fractionnaire ou lorsque la dernière division donne un quotient dilTérenl de — Ao.
Il faut remarquer avec soin, lorsque a est racine, que les quotients obtenus successivement
IJ//i — 1> \iiii—2i t>/« -3> • • -5 "'i' '^1» Aq,
sont précisément, mais en ordre inverse, les coefficients changés de signe du quotient du premier membre /(j:) de l'équation considérée par le facteur x — a.
La règle indiquée montre donc si a est racine et, dans l'affirmative, conduit d'elle-même à la nouvelle forme du premier membre de l'équation débarrassée de cette racine a, c'est-à-dire tout préparé pour l'essai d'une nouvelle racine entière.
Avant de chercher les autres racines entières d'une équation, on doit toujours, à cause de la facilité de cette vérification, essayer si -^- 1 et ^ — i sont racines.
1320. Ainsi qu'on vient de le voir, on ne doit regarder comme pouvant être racines entières que les diviseurs du dernier terme \,n, pris positivement ou négativement.
Pour ne pas faire d'essais inutiles, on cherchera préalablement les limites des racines réelles de l'équation proposée, d'après les règles développées dans le Chapitre précédent, et l'on aura soin de rejeter tous les diviseurs de A,„ qui tomberont en dehors de ces limites.
On peut encore diminuer le nombre des essais, à l'aide d'un théorème très simple à appliquer et qui est le suivant.
1321. Lorsque a est une racine entièrede Véquation f{x)=:o, le résultat /{Y.) de la substitution d'un entier quelconque E à la place de .r est exactement divisible par la différence Y. — a.
En elTet, si a est racine, on en conclut l'identité
ALGÈBRE SUPÉKIEUPiE. 'jÇ)-
(.ù Q est ua polynùnie de mèine forme que /(^O, tic degré m — \. Puisqu'il s'agit d'une idenlilé, on peut substituer à x un eiilier quelconque E, et l'on a alors, en désignant par Q,E) le résultat de la substitution de E dans O, la relation
(|iii Justilie l'énoncé.
l'uisr|u'on doit commencer (1319) jiar essayer +j et — i, on connaît d'avance ./"(i)et/( — i), et l'on a intérêt à se servir des deux expressions
ou /b-L)^o,,.
On rejettera donc encore, parmi les diviseuis positifs et négatifs du dernier ternie .\„j qui tombent entre les limites des racines réelles de l'équation f{x) = o, tous ceux qui. diminués de I , ne divisent pas exactement /{i)., et tous ceux (/ui, augmentés de i, ne divisent pas exactement f{ — i).
On peut ajouter que l'équation proposée n'admet aucune racine entière lorsque, des trois résultats /(l'i, /(o), /( — i), aucun n 'est divisible par 3,
■Ml effet, reprenons l'égalité (i) sous la l'orme
{^bis) -^-— ,.---:- 0,E,.
On en déduit les trois identités
Des trois nombres entiers consécutifs a — i, a, a -.- i, l'un lest nécessairement divisible par 3; il en sera donc de même Ides trois premiers membres J'{\), /(o), /( — i), si l'équation ladmet une racine entière a.
La réciproque n'est pas \raie. L'un des trois nombres/(i), '(o)>/(— 0» pt^ut être divisible par 3, sans que ré(|ualion admette aucune racine entière.
Di; C. - Coun:. IV. 32
ALrikuiu-: sri'Kuir.uuF..
compl
0.) 11 es» commode, une fois toutes ces éliminations a< plTes, (l'efleclucr l'essai des seuls diviseurs «le A,„ qm puissent 'être racines, de la manière suivante.
On écrit sur une même li^ne horizontale tous les coefl.cients du premier membre de l'équation donnée:
Al
Âo
on pose à la suite le premier diviseur a à essayei-, et 1 on tire, au-dessous de cette première ligne, un premier trait horizontal. On effectue les divisions prescrites par la règle du no 1319, et l'on place les quotients obtenus au-dessous de la première ligne, en remontant et en ayant soui de chan^^c
'' rnslfd'après la règle, ou divise A„, par «, on obtient un quotient -B..„ et Ton écrit B„,. au-dessous de A,„. On ajoute A. et - B., on divise cette somme par a, on obtient un quotient -B„,.. et l'on écrit B„.2 au-dessous de \ • etc Si l'on rencontre un quotient fractionnaire, on s'^n-ôle, ei a n'est pas racine. Si tous les quotients obtenus sont entiers et si l'on arrive, en dernier lieu, a poser Ao audessous de „ a est racine. La seconde ligne horizontale renferme alors les nouveaux coefficients du premier membre de l'équation f{œ)=o débarrassée de la racine a, ^ esl-a-diio les coefficients sur lesquels on doit opérer pour l essaid un nouveau diviseur b. On tire un second trait horizontal, et 1 on continue jusqu'à l'essai du dernier diviseur s'U y a lieu.
11 est clair que, si « divise le dernier terme B,„. cle a nouvelle équation obtenue en débarrassant une première lois 1 equation /(^■)=o de la racine a, on doit encore essayer c relativement à celte nouvelle équation.
Exemple.
1323. Soit à détermwer les racines cutiires de i'équatiou
On a, i)our le dernier terme de réquation. i4o = -2-. 5. 7,
ALGÈBRE SUPÉUIEUIli:. 400
et les diviseurs de I40 sont, en valeur absolue, renfenués dans le Tableau ci-dessous {Aràlnn., IM)
7 I 14 28 I 35 1 70 i.-Jo.
Or nous avons vuri3l6jque les racines ncgalivcs de l'équation proposée tombent entre — 8 et — i, tandis que ses racines positives sont comprises entre -^- j et — 6, de sorte que — i et -^ i ne sont pas racines.
D'après ces limites, nous ne devons essayer que les diviseurs
mais on peut encore diminuer leur nombre. On a ici /( 1)^288. /■(— n = (o8.
En appliquant alors le théorème du n° 1321, on voit que l'on doit rejeter le diviseur — 4 qui, diminué de i, ne divise pas f{i), et le diviseur 4 qui, augmenté de i, ne divise pas/(— i).
Finalement, il ne reste donc à essayer que les diviseurs
Les opérations et les résultats sont résumés dans le Tableau ci-dessous, établi d'après l'algorithme du n" 132:2. On écrit les quotients successifs en changeant leur signe; mais on a soin, dans la série des opérations, de leur rendre par la pensée leur véritable signe.
i4o 'I 2 est racine.
