ICI

2 n'est plus racine.

5 est racine.

— 2 est racine.

— 7 est racine.

^ Ainsi, pour essayer 2, on dit : 140 divisé j)ar 2 donne 70, et l'on écrit —70; la somme i32-4- 70 divisée par 2 donne loi, et l'on écrit — ICI : la somme 93 — ici divisée par 2 donne 97, et l'on écrit — 97: la somme -45-1-97 divisée par 2 donne 26, et l'on écrit —26: la somme — 36-r-26 divisée par 2 donne —5, et l'on écrit -t- 5 : la somme +3 — 5 divisée par 2 donne — i, on écrit -t- i, et 2 est racine.

:)(>(> ALOEBUE SUPERIEURE.

Après avoir vérifié que >. est racine, il faut l'essayer de nouveau, parce que le dernier terme — 70 de la nouvelle équation admet le diviseur -2. (>omme on rencontre alors un (|uoticnl fraftioimaire, 2 n'es! plus racine. 5 est rr.cine une seule fois, parce que le dernier terme — i \ (ic la nouvelle équation n'admet plus le diviseur 5. Après avoir vérifié ([ue —2 est racine, il est inutile d'essayer — 5 qui ne divise pas le dernier terme -^ 7 de la nouvelle équation. Enfin — 7 est racine une seule fois, parce que le dernier terme — 1 de la nouvelle éciuy.lion n'est |)lus divisible j)ar — 7.

L'écpiation donnée admet donc les racines entières

et, lorsqu'on la débarrasse de ces quatre racines, on \ abaisse au second degré. Cette équation dn second degré est immédiatement, d'après le tableau,

Elle adaiet les deux mciaes iniaginaires conjuguées

et ces racines, qui sont les deux racines cubiques Imaginaires de l'unité'^ SSI^j'ëômpîèterit ' lè^' ràciné's' de réquation proposée.

Théorème fondamental relatif aux racines fractionnaires. 1324. Soit l'écjualioii, à coetlîcieiits ODliers,

Supposons i|u'elle adaiellc une racine fractionnaire (|uon pourra toujours représenter par uwi" fraction irréductible - Substituons celte valeur à la place de .r. Nous aui'ons

Ce résultat peut être écrit de deu\ manières diirérentes, . On peut d'abord multiplier les deu\ membres de l'éfiualion par (&'"-', et isçilpi] ensuite le premier terme dans le premief membre. On peut également multiplier les deux membres de ,l'é(|ualion par b'", les diviser par a, et isoler au contraire \t

Al.GEBIlE SUPERIEURE. OOli:

(leriiior terme dans le premier membre. Ou a ainsi les deux iilenlilés

\ Cl '"

j)„ ., — ^— — — ( A,^'"-' -t- Aor/"'-- 0-^... -^A,„, a/r"-^ + A,„ b'" )>,

Les seconds membres tle ees identités étant entiers, la relation (i) prouve que ù, premier avec a'" {Arithm., i\\), doit diviser exactement Au,* la relation (a) [jrouve que a, premier avec b'", doit diviser exactement A,„.

On peut donc énoncer celte proposition : Les numérateurs des racines fractionnaires d'une équation à coefficients entiers sont des diviseurs de son dernier ternie X,„ ; les dénoniinateura de ces racines fractionnaires sont des diviseurs du coefficient Ao du premier terme de V équation .

1325. Cette pioposilion conduit immédiatement à une remarque importante.

Si le coefficient Ay est égal à l'unité, les dénominateurs des racines fractionnaires sont eux-mêmes égaux à l'unité, c'està-dire que ces racines fractionnaires deviennent entières.

Ainsi, toute équation à coefficients entiers, qui a l'unité pour coefficient de son premier terme, lie pèuî admettre, comme racines commensurahles. que des racines entières.

Détermination indirecte des racines fractionnaires.

1326. D'après la remarque précédente, d est facile de ramener la recherche des racines fractionnaires à celle des racines entières (1319 et suiv. i.

Supposons, en elïel, rpie i'é(|uation

(0 /(•rj=Ao.r"'^A,.r"'-'-^A2.r';;---h...+A„,,.i-^A,„ = o

ait été débarrassée de ses racines entières et qu'elle ait d'autres racines commensurables fractionnaiies. Il suffira de ramener le coefficient de son premier terme à l'unité, par la transformation connue (lOGO), pour n'avoir plus à chercher que les racines entières de la transformée, afin d'en déduire ensuite les racines fractionnaires de la |)roposée.

50Ci AI.GKWnK SUHltRIEXJUK.

Miilliplioiis les racines »ie l'équation (i) par la quanlil"in Icicriiiiiu'e /. La nniivelle (''qnation sera

A'"// - j=Ao.r"' 4- A-A, ./•'"-' + /.-A. ./;'"--+. ..-^K'" 'A„,^,./- ^ K"'A„

on, en divisaiil les deux nieinhi-es de récinaiion par \o, , , /.A, , A^\., , A"'-'A„,, /.'"A,,,

Ao A;, Aq *()

Le ( oelficienl du premier terme est ainsi ramené à l'nnilé: mais, ponr que les antres coefficients de l'équation restent entiers, il faut qu'ils soient tous exactement divisibles par A,,. Pour ((ue cette condition soit remplie, il suffil évidemment de prendre A- = An- La transformée devient alors

+ A 1 .c'"-' + Ai Ao J-'"-- -r- A.3 A l j£"'-^ -i- .

On cherchera ses racines entières et, en les divisant par A^, on obtiendra les racines fractionnaires de l'équation donnée.

J327. On n'est pas obligé de débarrasser préalablement l'équation proposée de ses racines entières; On trouvera alors, par la marche indiquée, toutes ses racines cammensurables, entières et fractionnaires.

En prenant A':= Aq, l'opération réussit toujours, et ce choix est justifié d'avance; car, les dénominateurs des racines fractionnaires étant des diviseurs de Ao ( 132i), on est certain, en multipliant par Ao les racines de Téqualion (i) [13-26], que l'équation (3) n'aura plus que des racines commensurables entières.

Comme la plus grande racine fractionnaire de l'équation (i) a pour limite supérieure (1324) le dernier terme A,„ divisé par le plus petit diviseur de Ao, il est clair que la plus grande racine entière de l'équation transformée (3) a pour limite supérieure le produit de la limite précédente par Ao. Lorsqu'on cherchera les racines entières de l'équation (3), on pourra donc, s'il y a lieu, regarder ce produit (atïecté d'un double signe) comme une limite supérieure et comme une limite inférieure des racines réelles entières de l'équation (3).

L'é(piation (2) [132(»] montre qu'on peut, dans la pratique,

ALGEBRE SUPERIEURE.

employer un muUiplicateur k infé'i'ieur à Aq- On doit simplement prendre pour ce multiplicateur le plus petit nombre entier qui puisse i-endre entiers tous les coefficients de cette équation (2).

Détermination directe des racines fractionnaires.

1328. On peut éditer la foiniation de la transfonm'e en Ao'^ ou en l< X et applujuer directement à la détermination des racines fractionnai/ es la méthode de recherche des racines entières (1319 et suiv.).

Soit l'équation à coefficients entiers

/(.r)r=Ao.r"'^-A,.r'«-'4- U,r'"-2 + . . .^A„,ix+ A,„=:o. Supposons que cette équation admette la racine fractionnaire y (rendue irréductible), et divisons son premier membre

par le binôme jc — .-• La division sera exacte et la loi de forb

mation du quotient restera évidemment la même (1319). On aura donc pour les coefficients du quotient à partir du second (le premier étant Ao)

Ou voit par là que, si les coeflicienls du quotient ne sont j)as entiers, ils ne peuvent contenir en dénominateur que des facteurs premiers de b.

Mais, puisque la division est exacte, on peut ordonner le dividende et le diviseur en sens inverse, c'est-à-dire suivant les puissances croissantes de x : le quotient restera le même. et l'ordre de ses termes sera seulement renversé (9). La division se présente alors de celte manière :

-i-Ai-/;'

Ao.r''

^in ., ~i~ A/H— 1

5o4 ALr.KBUK SUPKRIKLT.i:.

Il résulte de celle seconde division que, si les coelTicieiildu quolienl ne sonl pas entieis, ils ne peuvent contenir en dênoniinatcur que des facteurs premiers de a. Comme a el /> sont premiers enlre eux el que le quotient reste identique à lui-même, la double condition trouvée montre que les coefficienls du quolienl ne peuvenl contenir que l'unité en dénominateur, c'est-à-dire qu'ils sont entiers.

Toutes les relations trouvées dans le cas des racines entières (1319) se reproduisant sous forme entière dans le cades racines l'ractionnaires, on peut essayer les racines Irai tionnaires en suivant absolument la même niarcbe que pour les racines entières (1322). Pour limiter le nombre des essais, on s'aidera du théorème fondamental du n" 132'i-.

Exemple.

1329. L'cquation ( 1 ) G ./'^ — 7 x^ -I- 8 ./ 2 — 7 .i- -T- li = o

// 'a pas de racines entières, et nous nous proposons de déterminer ses racines fractionnaires.

Première méthode. — lùi appliquant lu première méthode (132(! ). nous aurons d'abord à considérer la transformée sénérale

7/rî

Pour rendre tous les coelEcieuls entiers, on ne peut ))as donner a A- une valeur plus simple que G. On a donc, en faisant h = 6, c"esl-à-dire on multipliant par 6 les racines de la proposée.

( X ) .r'» — 7 .v^ -h 4 8 ,r - — 2 r^ .r -+- \iA = o.

(Connue celte éciualion est complète el que ses termes sonl alternati\ement positifs el négatifs, elle n'a pas de racines négatives (131o ). Do plus, l'équalion (i) pouvant se mettre sous la forme

on voit, que 2 est une limite suj)érieure de ses racines positives. En I prenanl la transformée en - de la même équation, on trouve (1007)

•2r'* — 7 x'- -+- 8 .r- — 7 .'■ -r G = o. el celle é(|ualion peul se mettre sous la forme

ALGEBRE SUPEKIECRE. 1303

4 est (Jonc une limite supérieure de ses racines positives, et Ton peut

alors regarder y comme une limite inférieure des racines positives de

l'équation (i).

Comme l'équation (2) a pour racines celles de l'équation (i) multi- [)lices par 6, on peut dire que 2x6 ou 12 est une limite supérieure des racines positives de l'équation (2). et que |- x 6 ou | est une limite inférieure des racines positives de la même équation. Par conséquent, pour trouver les racines entières de l'équation (2), nous nt^ devons essayer que les diviseurs positifs de 482 compris entre | et 12. '■ Cst-è-dire

D'ailleurs, en substituant i et — 1 a la place de jc dans l'équation (2). on obtient les nombres 222 et 740 ; et, en appliquant le théorème du n" 1321, on reconnaît que 4 et 3 peuvent seuls être racines. Dès lorsle Tableau ci-dessous résume les opérations nécessaires suivant la règle du n° 13-22.

4 est racine.

— 108 Ij 4 n'est plus racine.

3 est racine.

3 n'est plus racine.

L'équation ( 2) admet donc les racines entières 3 et 4 et, débarrassée de ces racines, elle devient l'équation du second degré

Pour avoir les racines de l'équation ( 1 ), il faut diviser par 6 celles de l'équation (2), de sorte que l'équation (i) a pour racines

^ ou -

et qu'elle est coinplèteuient résolue.

Seconde méthode. — Re[)renons l'équation (1)

et appliquons-lui la seconde méthode (1328j.

Les dénominateurs des racines fractionnaires ne peuvent être ( \3ii

5o6 ALGÈBUr; supéuieuuk.

(|iic (les (livisciii's (Je Ao, c osL-à-diro ici i cl 3 : les numérateurs ne peuvent ôtre que dos diviseurs de A„,, c'est-à-dire ici i et ■'. On n'a donc à essayer, comme racines fractionnaires, que les combinaisons

on oprrant absolument conimc pour l'essai des racines entières. On l'orme ainsi le Tableau ci-dessous :

- est racine.

- n'est plus racine.

- n'est pas racine.

- est racine.

On retombe donc, comme cela doit ôtre, sur les racines données par la première méthode, et l'avantage reste de beaucoup, au moins dans l'exemple traité, à la seconde métliode.

La méthode des racines égales ne doit être appliquée aux équations à coefficients commensurables qu'au delà du cinquième degré.

1330. Nous avons montré (1092) coiniiicnt le premier membre d'une équation o(;) = o admettant des racines égales peut être remplacé par un produit, l(d (pie -i-i;-^;! • • le polynôme ;, répondant aux fadeurs simples, le polynôme .^2 ai^i^ fadeurs doubles pris seulemeni une fois, le polynôme ^:, aux fadeurs triples pris seulement une fois, .. La résolution de l'équation donnée est alors ramenée à celle des équations de degrés moindres.

ALGÈBRE SUI'ÉRIEUKE. OOy

Si l'éciiiation 9(5) = o a ses coefficients comniensui'ables, il en est de même ries équations subordonnées, puisque les polynômes z■^, z,, ^3, . . . s'obliennenl seulement par voie de division.

Il en résulte, comme nous lavons déjà remarqué ( 109i), (|ue, lorsr/ue l'équation 0(^3) =ro n'a qiiune seule racine d'un certain ordre de multiplicité, cette racine est nécessairement commensurahle. puisqu'elle est alors fournie par une équation du premier degré à coefficients commensurables.

1331. (]ela posé, considérons successivement les ditférenls degrés.

Au point de vue des racines égales :

L'équation du second degré peut avoir une racine double, et son premier membre est alors un carré parfait.

L'équation du troisième degré peut avoir une racine double et une racine simple, ou une racine triple.

L'équation du quatrième degré peut avoir une racine double et deux racines simples, ou deux racines doubles (mais alors son premier membre est un carré parfait, et elle s'abaisse au second degré), ou une racine triple et une racine simple, ou une racine fjuadruple.

L'équation du cinquième degré peut avoir une racine double et trois racines simples, ou deux racines doubles et une racine simple, ou une racine triple et deux racines simples, ou une racine triple et une racine double, ou une racine quadruple et une racine simple, ou une racine quintuple.

Dans tous les cas examinés, sauf un seul, on voit que l'équation considérée, si elle a des racines égales, a nécessairement une seule racine d'un certain ordre de multiplicité, et cette racine est alors commensurahle (1330).

Il n'en est plus de même lorsqu'on s'élève au sixième degré. Une équation du sixième degré qui a des racines égales peut avoir, entre autres, deux racines doubles et deux racines simples, ou deux racines triples. Ces racines seront alors données par des équations du second degré et pourront être incommensurables.

En résumé. Jusqu'au cinfjuiènie degré inclusivement, toute équation ci coefficients commensurables qui a des racines égales a nécessairement des racines commensurables (sauf le

TxiR ALr,i:Bni'. sui'Kiuf.uiîf..

cas où rcMiiialinii esl du (|iiatrièini' do^-^rr ol a |>oiii' pieiiiir, memhro nii carré parfait).

Il est donc inutile d'appliquer à une pareille é<|ualion l<' mode de décomposition ou d'abaissement, toujours pénihie, lounii par la théorie des racines égales; et il y a tout avantage à procéder immédiatement à la recherche des racines commensurables, qui existent d'une manière certaine précisément dans le cas des racines éjrales, et dont le calcul conduit alors à la résolution complète de l'équation.

ALGEBRE SLPÉRIEL UE . DOq