CHAPITRE VllI
RECHERCHE DES RACINES LNCOALMENSUUABLES. - :\!ÉTHODE DES PARTIES PROPORTIONNELLES.
Indications générales.
133:2. Poi.ir l'ésoudie coiii|ilèleiiienl une équation algél)i'if|ue, on commence par la ramener à la forme ordinaire
oii/{a:) est un polynôme entier à coeflîcienls réels, commensurables on incommensurables.
Lorsque le degré de l'équalion surpassée///'/ i 1331), il peut être utile de lui appliquer d'abord la théorie des racines égales ( 1092). Si l'équation donnée a de pareilles racines, on ramène ainsi sa résolution à celle d'équations de degrés plus siiiiples et qui n'ont que des racines inégales.
En opérant sur chacune de ces équations, d'après la régie connue ( 1322), ou sur l'équation (i) elle-même quand elle n'a pas de racines égales, on détermine alors les racines commensurables qu'elle peut admettre, et l'on débarrasse, par di vision, /(j:-) des facteurs correspondants.
Il ne reste plus ensuite qu'à chercher les racines incommensurables et les racines imaginaires de l'équalion simplifiée. Nous ne nous occuperons ici que des premières.
1333. Pour calculer les racines uicominensurables du ne équation ramenée préalablement, comme on vient de le dire, à la forme la plus simple possible, on fixe (Chap. VI j une limite supérieure et une limite inférieure des racines réelles de cette équation. (Jn effectue ensuite la séparation des racines incommensurables compi-ises entre ces limites, soil cm
^lO ALGKISIIK SLl'r.li IKUKK.
appliquaiil la Méthode de La(;uan(;k ( 1265), soil, ce cjiii est liabiluellcmeiil bien préférable, à l'aide du lltroirnie de Stubm.
Les calculs exigés par l'applicalion de ces deux métliodes certaines de séparation étant le jjIus souvent très pénibles, on s'efforce de les éviter ou de les alléger dans la pratique. Pour cela, on substitue directement, dans le premier membre de l'équaiion considérée et entre les limites des racines réelles, des nombres équidistants. En examinant les variations de signes que peuvent présenter les résultats des substitutions (10*27), en s'aidant du théorème de Descartes (1214et suiv.) et du théorème de Rolle (123i et suiv.), c'est-à-dire de l'étude de l'équation dérivée, on parvient souvent à effectuer complètement la séparation des racines incommensurables. Si cette séparation demeure incomplète, on fait, en dernière analyse, intervenir le tliéorème de Sturm, qui résout toujours la question.
Une fois les racines incommensurables séparées, de nouvelles substitutions intermédiaires permettent d'en approcher davantage. Pour abréger le nombre de ces substitutions, on peut avoir recours à la règle des parties propoitionnelles (701), qui constitue dans ce cas une méthode spéciale d'approximation.
Pour préciser ces indications, nous allons parcourir quelques exemples choisis. Nous exposerons ensuite la méthode des parties proportionnelles.
Première recherche des racines incommensurables, exemples choisis.
133i. I. Soit V équation
à laquelle Lagrange a appliqué sa méthode dans son Traité
de la résolution des équations numériques (Chap. IV), et qui
n'a aucune racine comniensurable.
On a ici
Par conséquent, l'équation proposée a ses trois racines réelles (12i-o). En consultant le théorème de Descartes (1214-, 1216), on voit que, son premier membre présentant deux
ALGEBRE SUPERIEURE. DM
variations el le premier membre de sa transformée en — x n'en présentant qu'une seule, eile a nécessairement deux racines positives el une racine négative. Il s'agit maintenant (le séparer ces racines.
L'équation donnée et sa transformée en — x pouvant -écrire
f{jc)—-x\x''— 7) + 7 = 0,
j\—x)^x{x-—(^)^{-xx — -]) — o,
les nombres — 4 et h- 3 représentent des limites des racines réelles de la proposée.
En substituant dans /Xr), à la place de x, les nombres entiers consécutifs compris entre ces limites et ces limites elles-mêmes, on forme le Tableau suivant des valeurs correspondantes de X et de/(^) :
D'après le seul cbangemeut de signe de la fonction, la racine négative de l'équation J\x) =0 est comprise entre —4 et— 3(1027). Quant aux deux racines positives, l'absence d'un autre changement de signe montre qu'elles tombent toutes deux entre deux entiers positifs consécutifs (1027).
On peut s'aider alors du théorème de Rolle (1234). Puisque la racine positive de l'équation dérivée
f'{x)z=iZx-—-—o est
c'est-à-dire comprise entre i et 3, el qu'elle doit aussi être
A 1 .r; K B 1\ F, SITE i; 1 F. L r. F, .
rciircniu'c ciitro les deux racines |iositivc'.s de la proposée, c'est entre ces mènies snbstiliitions i et ■>. (\\\c ces racines positives doivent se irotiver.
On essaye alors dans/(r) la substitution interniédiairc .v^=\,o, et l'on obtient pour résultat /'r) r= — o,i5>5. (]omme il y a chan;j:ement de sigrne, l'une des racines positives es! entre i et i,.> et, l'autre, entre i,'j et r>.
Les trois racines réelles de réijuatiou sont donc séparées. Pour approcher davantage de chacune d'elles, il faut faire de nouvelles substitutions intermédiaires ou avfur recours à la méthode des parties proportionnelles.
Par exemple, pour les racines positives comprises entre i et 2, on est naturellement conduit à essayer des substitutions intermédiaires variant d'un dixième. On loime ainsi ce second Tableau :
— o,io4
— o,oi3
D'après les changements de signe qui apparaissent, la première racine tombe entre i,3 et i, /; ou est égale à i,3 à 0,1 près par défaut; et la seconde racine tombe entre 1,6 et 1,7 ou est égale à 1,6 à 0,1 près par défaut.
Quant à la racine négative comprise entre — \ et — 3, on prendra la transformée en — x de léquaiion
/"( — x) z— JP?^- r^.r — - ;:: u.
et l'on elH'rchera à approcher, aussi à 0,1 près, de sa racine positive comprise entre 3 et 4- En substituant, à la place de X, les nombres 3 et 3,i, on trouve pour/( — x) les deux valeurs de signes contraires — i et -h 1,091. La racine positive de la transformée en —x tombant entre 3 et3,i, la racine négative de la proposée tombe entre — 3,i et — 3. Elle est donc égale à — 3, 1 à 0,1 près par défaut.
ALGEBRE .SCPÉRlEUliE. D l .J
1335. II. Soit l'équation
Elle présente deux variations : elle a donc deux racines positives ou elle n'en a aucune.
La transformée on — .r,
2 j:- — lo.r — ^ =^o.
présentant une seule variation, l'équation proposée admet une racine négative et une seule.
En niellant les deux équations sous la forme
/[JC) ^= X{j,-'- — l3) -i- {2JC- -h 4) ^= O,
on constate que 4 est une limite supérieure des racines positives de la proposée et, — 5, une limite inférieure de ses racines négatives. En substituant à la place de jc dans/(x) les. nombres entiers compris entre ces limites, on forme le Tableau suivant :
Il faut toujours avoir soin de laisser de côté les substitutions inutiles. Ainsi, ayant obtenu immédiatement l'unique racine négative entre — 5 et — 4, on n'a pas à substituer les autres nombres négatifs. Outre cette racine négative, on voit que l'équation proposée admet deux racines positives, l'une entre o et I, l'autre entre 2 et 3. Elle a donc toutes ses racines réelles (ce dont on pourrait s'assurer d'avance par la formule du n" 1247), elles sont séparées, et il ne reste plus qu'à en approcher davantage à l'aide de substitutions intermédiaires ou autrement.
De C. — Cours. IV. 3'î
Sl/j ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
]33(). III. — Soit l'éq nation
f{jc) r= 20.r* — \-X--{- !\X — 2 =: O.
Son premier membre présente trois variations : elle admet donc trois racines positives ou une seule (121i), mais elle ne peut avoir aucune racine négative (1315). En la mettant sous
la forme
on voit que i est une limite supérieure de ses racines positives. On a alors
et la riueslion est de savoir s'il y a dans cet intervalle une ou trois racines positives. Or l'équation dérivée
J''{x) = Go.r- — ?^\x + 4 = 0 donne, après qu'on a ilivisé son premier membre par 2,
DO bo
Les deu\ racines positives de l'équation dérivée, qui se réduisent à ^ et |, sont donc comprises dans le même intervalle (o, 4- 0- I' 6n résulte immédiatement (123'i.) que, si l'équation proposée a trois racines positives, une de ces racines tombe nécessairement entre o et ^j. Comme la substitution c conduit à un résultat négatif, il faudrait alors (1027) obtenir un résultat positif pour J'='|. On trouve, au contraire /'(i) zrr — '^' L'équation /(^):=o a donc une seule racine réelle positive comprise entre o et i, et l'on en approcbera davantage sans difficulté.
1337. IV. — Soit l'é(j nation
<loMl la transformée en — x est
y ( — x) ^ x'*-+ ox^ — 5x'- — 9 J- + 7 ^ o.
ALGEBRE SUPERIEURE.
JIO
La proposée présente deux variations, et il en est de même de la transformée en — .r. L'équation donnée peut donc avoir (121i, 1216) quatre racines réelles, deux racines réelles et deux racines imaginaires, ou quatre racines imaginaires. En mettant les deux équations sous la forme
/(.r) = .v^x'-—ox — o) — ^g.r + 7) — o,
on voit que 0 est une limite supérieure des racines positives de la première, et 3 une limite supérieure des racines positives de la seconde. Les racines réelles de la proposée, si elle en a, sont donc comprises entre — 3 et -f- 5. En substituant dans/(j") les nombres entiers compris entre ces deux limites, on forme le Tableau ci-après :
L'équation considérée a donc deux racines négatives comsrises respectivement entre — 2 et — i et entre — 1 et o, et ieux racines positives comprises respectivement entre i et 2 ît entre 3 et 4. Si l'on veut approcher davantage de la prenière racine positive, on forme ce second Tableau, en passant aux dixièmes,
a racine cherchée tombe donc entre 1,8 et 1,9; mais, beauoup plus près de 1,8, qui est sa valeur à 0,1 près par défaut.
5l6 ALGknilE SUPÉRIEURE.
1338. V. — Soil l'équation
f{ jc) =^ j.'-' — 0 jc'^ ^ ^x" ~ ôa- — -j =^ o, dont la transformée en —a- est
f{x) présente trois variations et/(— ^) en présente deux; l'équalion donnée peut donc avoir (1*214, 1216) trois racines positives ou une seule, et deux racines négatives ou aucune. On peut écrire, en groupant les termes,
et le nombre 3 est, pour chacune des deux équations, une limite supérieure ' ' '' "' raci
st, pour chacune des deux équations, un( des racines positives. Par conséquent, le la proposée sont comprises entre —
, . ^ant dans/(.r) les
entre ces deux limites, on trouve
les 3 et
nés réelles de la proposée sont comprises
