En substituant dans/(.r) les nombres entiers renfermés

Ces substitutions séparent les deux racines négatives entre 3 et — 2 et entre — i et o; mais, quant aux racines positives, il n'apparaît qu'un seul changement de signe de 2 à 3

Trois cas sont alors possibles. Si l'équation admet trois ra cines positives, il peut y en avoir trois entre 2 et 3, ou biei une seule entre 2 et 3, en même temps que deux autres entn o et I ou entre i et 2, qui donnent des résultats de mèm< signe (1027). Si l'équation admet une seule racine positivé elle est nécessairement entre 2 et 3.

Consultons l'équation dérivée

/' ( j:' ) =r: 5 ùt' — I 5 x" — 8.

ALGEBRE SUPERIEURE. 0 ï 'j

nii la inettanl sons la forme

/'(.r) = :,.r'-{jc'-— 3) + 2(4.r — 3) = o,

iiii voit que 2 est une limite supérieure de ses racines positives. Il en résulte que la proposée ne peut pas avoir trois racines positives entre 2 et 3, sans quoi (123i) l'équation dérivée admettrait deux racines positives entre ces mêmes liites, c'est-à-dire au delà de 2. Pour décider maintenant si qualion proposée a deux racines positives entre o et i ou lire I et 2, il faut lui appliquer le théorème de Sturm(1268) ' compter les variations de la suite correspondante pour les Irais substitutions o, i, 2.

Le quatrième polynôme X3 ne pouvant changer de signe tant qu'on donne à j- une valeur positive, on peut s'arrêter à ce polynôme (1270) et former le Tableau ci-dessous :

X,=: ."ijT* — \ojr- -^ Sj: — 6

X2= tox^ — i2a;--t- 24 J" -r- 35. . . . Xj^: \gS.r- -V- 23g J? -+- 2-0

Le nombre ûei variations restant le même pour chaque substitution, l'équation proposée n'admet aucune racine positive entre o et 2. Par suite, elle a finalement deux racines négatives entre — 3 et — 2 et entre — i et o; une racine positive entre 2 et 3; et deux racines imaginaires conjuguées. Les racines réelles sont donc coinplètement séparées, et il restera à en approcher davantage.

Méthode des parties proportionnelles.

1339. Pour approcher plus rapidement des racines réelles séparées, on peut d'abord employer la méthode des parties proportionnelles.

Supposons que l'on construise la courbe représentative, y^f{x), de l'équation algébrique considérée /(.a?) = o, par rapport aux axes rectangulaires Ox e\, 0/, comme on l'a indiqué précédemment (1030). Examinons celte courbe dans l'intervalle de deux substitutions consécutives comprenant une racine réelle et une seule de l'équation donnée.

0 1» AI.GICBUF, SUI'EIUF.UIIK.

Les (Jeu\ subsUlulioiis faites à la place de r élaiil {fig. 6)) p =^ OV cl Y = OQ, les valeurs correspoiidanles de la fonction, nécessairement de signes contraires (1027),/(/7) et /(7), seront leprésenlées par les ordonnées PA et QIÎ.

On admet d'ailleurs que les deux nombres p et -y sont assez rapprochés, pour que les deux équations dérivées/'(^) = o et /"{-r) =zo n'aient aucune racine réelle entre /> et 7. Alors, .r variant d'une substitution à l'autre, /'(r) et/'(j7) ne changeront pas de signe (1027). La valeur (Xa f{œ) sera donc, dans l'intervalle dont il s'agit, constamment croissante ou décroissante (llOo). Il en sera de même de la valeur de/'(.r), qui est la tangente trigonométrique de l'angle foi"mé avec l'axe 0.r par la tangente en chaque point de la combe représentative AB (535).

Par suite, dans les conditions posées, l'ordonnée de la courbe AB va constamment en augmenlant ou en diminuant du point A au point B; et, entre ces deux points, la tangente trigonométrique de l'angle formé avec l'axe 0^ par la tangente en chaque point de la courbe, allant aussi constamment en augmentant ou en diminuant, la courbe AB elle-même tourne toujours sa convexité dans un même sens.

Il n'y a, d'après cela, pour la courbe AB, que ijuatre dispositions possibles, représentées par les fi g. 61, 62, 63, 64, où nous conservons les mêmes notations.

Les différentes fonctions sont liées dans ces quatre ligures (le la manière suivante.

Fig. (ji :/(a) décroît, en passant du positif au négatif. La valeur négative de /'(-r) croît en tendant vers zéro; par suite, la valeur de/"(jr) est constamment positive.

Fig. 62 : /{r) décroît en passant du positif au négatif. La valeur négative de /'{j^-) décroît en tendant vers— x; par suite, la valeur de /"(a) est constamment négative.

Fig. 63 : /{-r) croît en passant du négatif au positif. La valeur positive de/'(jr) croît en tendant vers -hoc; par suite, la valeur de /"{a:) est constamment positive.

Fig. 64 : /{x) croît en passant du négatif au positif. La valeur positive de/'(^) décroît en tendant vers zéro; par suite, la valeur def"{cc) est constamment négative.

^'oyons mainteiiant en quoi consiste la méthode des parties proportionnelles.

P(iis(iu"ii y a une racine réelle et une seule de l'équation

ri /(x)i=o entre OP = p el 00 = 7, la courbe représenlative AB coupe nécessairement l'axe Oa- une seule fois entre les points P el Q. Si l'on désigne par R ce point d'intersection, la valeur exacte de la racine comprise entre p et q est représentée par OR.

Fi(T. 62.

Fig. Gi.

' ""XW

or

Fig. 63.

Fig. 64.

Menons alors la corde AB qui coupe à son tour l'axe (}x au point S. Si la courbe AB se confondait avec sa corde, c'est OS qui représenterait la racine comprise entre p et 7. La méthode des parties proportionnelles revient à rem|)lacer la valeur exacte OR de la racine en question par la valeur approchée OS, facile à calculer à l'aide des données.

En effet, les notations restan.t les mêmes sur les quatre ligures ci-dessus, on a, en vertu des triangles semblables PAS, QBS, el en valeur absolue,