PA ^ OH

ou SQ = (/i — />)

On obtiendra donc la valeur approchée OS de la racine OR, en ajoutant à la plus petite substitution p la quantité

ou en retranchant de la plus grande substitution q la rpiantité

fiP) +./Xy)

13i0. La valeur OS est approchée />«/• eacès dans le cas des //,ir. 6i et 64; elle est approchée par défaut dans le cas des /ig^. 62 et 63.

En se reportant à ce qui précède (I339j, on peut donc poser cette règle :

La valeur donnée par la méthode des parties proportionnelles est approchée par excès, lorsque /{jt) et /"{jc) sont de même signe pour la première substitution œ ^= p (et, par conséquent, de signes contraires pour la seconde subslilulion x^q); inversement, cette valeur est approchée par défaut, lorsque f{x) et f"{x) sont de signes contraires pour la première substitution x =: p (cl, par conséquent, rie même signe pour la seconde substitution x = q).

13U. On peut évidemment, en calculant, à l'aide de/(j), l'ordonnée SM qui répond à la première valeur approchée OS, reproduire de nouveau le calcul qu'on vient d'indiquer, et approcher davantage de la racine OR. Seulement, pour opérer avec certitude, il faut que Papproximation ait toujours lieu dans le même sens, et une précaution est alors nécessaire.

Si la première valeur OS est approchée par excès (Jig. 61 et 64), on doit mener la corde AM, dont le point d'intersection S' avec l'axe Ox est entre R et S, et considérer la portion de courbe AM. L'abscisse OS étant représentée par s et

ALGÈBKE SUPÉRIEURE. 02 1

l'ordonnée SM étant /(y), on obtient la seconde valeur approchée de la racine OR, en ajoutant (1339) à la première substiiiilion p la quantité

fin)

./ip)^./\-')

où/(^)doit être pris en valeur aijsolue. Cette seconde valeur approchée OS' est toujours par excès, mais plus resserrée.

Si la première valeur OS est, au contraire, approchée pa/défaut {Jig. 62 et 63), on doit, pour la même raison, mener la corde BM, et considérer la portion de courbe MB. Il faut alors ajouter à la première substitution s la cjuantilé

fK-<)+J{q)

et l'on obtient ainsi une seconde valeur approchée OS' de la racine OB, toujours par défaut, mais plus resserrée /(.9)doit être pris en valeur absolue.

Application.

J3i2. Appliquons ces considérations si simples à l'exemple traité au n" 133V.

D'après les premiers calculs, l'équation

a sa plus petite racine positive comprise entre i,3=/> et ( ,4 = '/. On a trouvé en même temps

fip) =./'U,3) = -^'>>«97' .A^)=/(''4)= — o,o56.

En ne considérant que les valeurs aitsolues, on aura une première valeur approchée de la racine, d'après la règle des parties proportionnelles (1339;, en augmentant i,3=/? de la quantité

f{p) o,oq7 „„

J{P)+JK9) o,o.j7-ho,oob

On peut donc prendre pour cette première valeur approchée

D2'2 ALGÈBRE SUPÉRIKUllK.

Pour rccomiaître si elle esl approchée par défaut ou pai' excès, on n'a (13i0) qu'à comparer le sig;ne de/"(j") =r G.r à celui (le /(j?), pour la même subslilulion .rr=i,3=:y>. Ce signe élanl le même, la valeur exacte de v esl approchée par excès, ainsi que sa valeur i,36 à un centième près; car on trouve

f{] ,3o 1 --: — o,oo45.'i').

Pour obtenir {\ne seconde valeur plus l'esserrée, il suffit (13V1) d'ajouter encore à la plus |)etile sul)stitulioii /^ m i , 3 la (luanlilé

f(p) . O.OQ7

{s — p) ,. ■' ' \.. = o,oO -^^ ,.,, =0,007 ....

JKI>)^JK'^) O,097-H0,004;j,-!

On a donc, comme nouvelle valeur appiochée de la racine cherchée, toujours par excès,

Comme on trouve

la racine qu'on veut calculer tombe entre i,356 et 1,357, mais beaucoup plus près de cette dernière valeur. On la connaît donc à o,ooi près par défaut ou par excès.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 32^