CHAPITRE IX

HECHERCHE DES RACINES INCOMMENSURABLES. - MÉTHODE D'APPROXIMATION DE NEWTON ET DE FOURIER.

Méthode d'approximation de Newton.

13V3. Quand on a déterminé deux nombres comprenant une racine réelle et une seule d'une équalion donnée, on peut en approcher davantage par de nouvelles substitutions ou en employant la méthode des parties proportionnelles, comme on vient de le voir. Mais les calculs deviennent plus pénibles à mesure que la racine cherchée doit être obtenue avec un plus grand nombre de chiffres décimaux. Aussi, dès qu'on a trouvé les deux ou trois premiers chiffres exacts de cette racine par les procédés indiqués, convient-il d'avoir recours à d'autres méthodes, dont le caractère principal est d'accroître rapidement l'approximation atteinte. Pai^mi ces méthodes, celle qui semble préférable est celle de Newton, améliorée par FoLRUcR, et nous allons l'exposer d'abord en nous écartant peu de la marche suivie par Newtox (^).

13i'î. Soit l'équation donnée

Supposons qu'elle admette une racine réelle et une seule entre deux nombres donnés p et 7 >/>, et que /> -h A représente la valeur exacte de cette racine. On aura alors

Développuns le premier membre de celte relation par la for- (') Méthode des fluxions.

5^4 ALGÈBKE SUPÉUIEUllE.

nuilo de T;iylor, réduite à ses liois premiers lermes (680). Nous aurons

fin + /O = f{p) + -f'iP) + ^ /"(/> + '^'0 = «.

6 étant un nombre positif compris entre o el i. r)ii en déduit

/\P) 2 J'ip)

Au lieu de représenter par/> 4- /< la valeur exacte de la racine comprise entre p et q, en partant de sa valeur par défaut, on peut représenter celte valeur exacte par q—k, en partant de la valeur de la racine approchée par excès. On a alors

ou, d'après la formule de Taylor (676),

en désignant par 6' un autre nombre positif toujours compris entre o et i. On en déduit

Les formules (i) et (2) ne font pas connaître directement h et k, puisque ces quantités restent engagées respectivement dans les seconds membres de ces formules. Mais, si les quantités h et k (nécessairement inférieures à 7 — p) sont suffisamment petites, on peut négliger les termes où entrent leurs carrés, et adopter les valeurs approchées

i^ihis) h —

La première valeur approchée,/? ou <[, de la racine cherchée sera ainsi remplacée par une seconde valeur approchée

ou

A l'aide de la seconde valeur approchée et en opérant de même, on en obtiendra une troisièm-o; à l'aide de la troisième, une quatrième; et ainsi de suite.

Telle est la méthode indiquée succinctement par Newton. Elle donne, en général, une approximation rapide. Mais elle peut se trouver en défaut, et tout dépend de la véritable valeur des termes négligés.

Si l'on se bornait à ces premières notions, il faudrait donc examiner dans chaque cas les résultats trouvés, afin de ne pas courir le risque de s'éloigner de la valeur exacte de la racine cherchée au lieu de s'en rapprocher, et la rapidité de la méthode deviendrait illusoire.

Il est par suite indispensable de découvrir des caractères qui permettent de l'employer toujours avec certitude, et c'est là le but du complément apporté par FouRiEn(') à la règle donnée par Newtox. Nous présenterons ce complément de la manière suivante

Perfectionnement de Fourier.

1345. Pour qu'on soit sur d'approcher davantage de la racine cherchée, comprise entre p et q, à l'aide du terme de

— y, \ applicable à p, ou du terme de correc-

orrection

fin

lion

applicable à q, deux conditions doivent être rem-

plies.

Il faut d' abord que ces tcimes soient positifs. Alors, la nouvelle valeur approchée (a) (13i4)

' ru')

sera supérieure à p; et la nouvelle valeur approchée (jS) ( 13ii)

sera inférieure à q.

Il faut ensuite, en se reportant aux formules (i) et (2)

( ' ) Analyse des équations.

026 ALCÈBnE SUPÉRIEURE.

(134-4), que les rjuanlités négligées dans chaque hypothèse soient elles-mêmes positives. S'il en est ainsi, les nouvelles valeurs approchées resteront respeclivement comprises entre les premières valeurs approchées et les valeurs exactes, puis- ([u'on n'ajoutera pas assez à p pour avoir p -\- h et qu'on ne retranchera pas assez à q pour avoir q — /.-.

De cette manière, les nouvelles valeurs ap[>rocIieronl davantajre de la valeur exacte, le sens de l'approximation étant conservé. En poursuivant l'opération et les mêmes conditions étant toujours satisfaites, les valeurs par défaut formeront une série convergente croissante, les valeurs par excès une série convergente décroissante, et la valeur exacte de la racine sera la limite commune des deux séries.

Cela posé, il reste à examiner dans quels cas les deux conditions énoncées sont sûrement remplies à la fois.

Admettons que l'équation donnée /(a) ^ o n'ait pas de racines égales. D'après la théorie des racines égales (1089), les èqualions/'(j?)^o et/"(j:-) = o n'auront aucune racine réelle dans l'intervalle {p, q) qu'on considère, si les limites p et q sont assez resserrées. Et c'est ce que nous supposerons. Dans cet intervalle (/?, q), les deux dérivées /'(j?) et/"(j") ne pourront donc pas changer de signe, f{jc) ne passera par aucun maximum ou minimum, ^Xf\-x) variera également toujours dans le même sens (T^i, 7*27).

La première condition imposée se trouve alors nécessairement remplie, et les quotients

Ap) /(7)

sont tous deux positifs.

En effet, l'équation /(j:) ;= o ayant une racine réelle et une seule entre /> et q, J\p) et f{q) sont toujours de signes contraires (1027).

Si l'on •àf{p)>o ei f{q)<.o,J{x) décroit de .v=:p à jr^q, /■'(j) est constamment négative dans l'intervalle (/>, q), et l'on a à la fo\s f{p)<o,/'iq)<o.

Si l'on a /{p)<o et f{q)> o, /(r) croit de x=ip à x^q, f\x) est constamment positive dans l'intervalle {p, 7), et l'on aàlafois/'(/?)>o, /'(7)>o.

Quant à la seconde condition imposée, une distinction est nécessaire.

ALGEBRE SUPERIEURE. 02'j

f {jc) et / "(r) ne pouvant respectivement changer de signe i\Qxz^p à j: = 7, /'(/?) et/'(7) conservent le même signe dans cet intervalle, aussi bien que/"(/»-r- 9h) e{/"{q— y k). Il en résulte que, des deux quantités

•^ f'ip) ' '-^ /V/) '

(/ V <?/2 « toujours une qui est positii'e. mais une seule. La première quantité est positive, si f'{jc) et /"{-r) sont de signes contraires dans l'intervalle (/?, 7); mais, alors, la seconde quantité est négative. La seconde quantité est positive, si f'{x) et f"{-r) ont le même signe dans l'intervalle {p, q)\ mais alors la première quantité est négative.

Ainsi, l'un des deux termes de correction (i bis), (2 bis) (I3i4), est toujours admissible, l'autre ne l'étant pas. Celui

qu'il Caut appliquer est — -^ si f'{x) el/"{x) sont de signes contraires, ou • ; si /'{x) e\ f"{x) sont de même

signe.

Mais nous avons établi que les deux quotients

j'ipy /'(7)

sont toujours positifs. Par suite, pour xzzzp, /{x) et f'{j^') sont toujours de signes contraires, tandis qu'ils sont toujours de même signe pour x z= q.

Il en résulte que, lorsqu'un doit employer le terme de correction — • ; f'ip) et /"(/») sont de signes contraires

comme f'ip) et /{p), de sorte que f{p) et f\p) sont forcément de même signe; tandis que, /'(y) eif"{q) étant aussi de signes contraires, /(7) et f'\q) sont forcément de signes contraires, puisque /'(7) ei f{q) sont de même signe. Egalement, lorsqu'on doit employer le terme de correction

fi'( ^* f'i^) et f'iq) sont de même signe comme f'{q)

et/(7)> de sorte que f{q) et f"{q) sont forcément de même signe; tandis que f'{p) et f"{p) étant aussi de même signe, /(/?) et f'ip) sont forcément de signes contraires . puisque f'ip) et/(^) sont de signes contraires.

:")28 ALGÈBRE SUPÉRIEH R F. .

Finalemeiil, le terme de correclion à appliquer est celui qui répond à la substitution {p ou q) pour laquelle f{x) et f" {x). c'est-à-clire le |)remiei" membre de l'équation donnée et s.t seconde dérivée, sont de même signe.

C'est dans celte remarque très simple, dont on comprendi.i mieux l'importance un peu plus loin, que consiste le perlée tionnement apporté par Foluier à la méthode de Xkwto>.

Nous résumerons ce qui précède dans la règle suivante, qui suppose l'équation donnée débarrassée de ses racineégales :

Les deux nombres p et q >- /» coniprenant une seule racine réelle de l'équation f{x)^=o, et la dijférence q — p étant assez petite pour que, dans rintervalle {p, q), f'{-x) et /" {-r) ne changent pas de signe, on obtient une valeur plus approchée de la racine considérée, et dans le même sens que le limite employée, en substituant à x, dans l'expression

celui des deux nombres p et q qui, mis à la place de x, kend f{x) ET f"{x) DE MÊME SIGNE. E/i Substituant à X daus {K) la valeur ainsi calculée, on obtient une nouvelle valeur plus approchée de la racine, toujours dans le même sens. Cette noui'elle valeur permet d'en trouver une troisième encore plu.i resserrée, etc.

Limite de l'erreur commise.

13i6. Pour avoir une liniilo supérieure de l'erreur c commise en employaiit le premier terme de correclion, il sulTil de considérer le terme complémentaire

~^' f'ip). *"" ^ /('/)""'

En remplaçant h ou k par la quantité plus grande q — p, /"{p -h 9h) ou /"{q — O'k) par la valeur maximum M prise par /"(jc) entre x:=zp et x^-q, i/'{p) ou i/'iq) par le nombre entier m immédiatement inférieur, on a évidemment, en valeur absolue,

ALGEBRE SUPERIEURE. O29

Par conséqueiil, si le nuotienl — se trouve être inférieur à

l'unité, on peut écrire plus simplement

Or, 7 — p représente une limite supérieure du degré d'approximation déjà obtenu au moment où l'on applique la méthode de Newton, soit pour la première fois, soit de nouveau en poursuivant l'opération de la même manière (13i5). 11 en

résulte que, si l'on a — <i, l'applicatiou de la méthode

double chaque fois le nombre des décimales précédemment calculées.

Si l'on part, par exemple, de q —p = o,r, la première opération donne, dans l'hypothèse admise, la valeur de la racine cherchée à o,oi près; la seconde opération, à o,oooi près; etc. En général, en partant de q — p:=o,\, l'approximation obtenue en appliquant /i fois la méthode (en supposant toujours — < i) sera représentée par (o, i )-".

Interprétation géométrique de la méthode de Newton.

I3i7. On peut interpréter géométriquement la méthode de Newton, et il est très utile de le faire pour l'éclaircir com- ■ plètementet pour montrer à quoi est dû son manque de certitude, lorsqu'on l'applique sans tenir compte du perfectionnement de Fourier (13i5).

En nous reportant aux explications déjà données au sujet de la méthode des parties proportionnelles (1339), construisons la courbe représentative / z^f{x) de l'équation /(.r) =: o, dans l'intervalle {p, q).

Il est entendu que, entre les limites p et q, l'équation f{x) i=o admet une racine réelle et une seule, ainsi séparée. Il est entendu également que, dans le même intervalle, les deux équations dérivées /'(^) = o, f"{x) = o, n'ont aucune racine réelle. Cela revient à dire que, dans les mêmes limites, l'arc de la courbe représentative coupe une seule fois l'axe Ojc, que son ordonnée varie toujours dans le même sens ou ne présente aucun maximum ou miiiimum, que son allure reste toujours la même, puisiiue y '( c) varie aussi

De C. — Cours. IV. 3i

ALGEBRE SL PEIHEUUE.

constamment dans le même sens, ou que cet arc ne présente aucun point d'inflexion (*) dans l'intervalle considéré.

En conservant les mômes notations qu'au n" 1339, l'arc dont il s'agit ne pourra présenter que quatre dispositions, indiquées par \QsJig. 65, dÇ^, 67, 68.

l'ig. 65.

Fig. 6G.

Fig. 67.

^yk//

Fig. 68.

Sur ces figures, que nous faisons correspondre exactement d^xxxfig. 61, 62, 63, 64, on a

Les notations restant partout les mêmes, menons la tan-

(') Oa appelle point d'inflexion d'une courbe, comme on le sait, un point où cette courbe change d'allure, c'est-à-dire devient concave vers l'axe des y, par exemple, après avoir été convexe, ou réciproquement. Il en résulte évidemment que, à partir d'un point d'inflexion, l'axe Oa; étant toujours parcouru de — 00 à -hoc,f'{^x) diminue après avoir augmentéou augmente après avoir diminué. /"(j;) passe donc alors du positif au négatif ou inversement, de sorte que /(a:) et ses deux premières dérivées étant supposées continues, les points d'inflexion correspondent k /" (x) = o, comme les maximums et minimums à /'{x) — o. Nous retrouverons ceS détails en Géométrie analytique, t. V.

ALGEBUE SUPERIEURE.

génie AT {dans le cas de la Jig. 65) et la tangente BTi {dans le cas de la fig. 67 ) .

On a alors (533)

/'(/^) = tangATa^ /'(v) = tangBT.a-.

Le triangle rectangle ATP {Jig. 65) et le triangle rectangle BT,Q {fig- 67) donnant respectivement

APr=TP tangATP = - TP langATo^, BQ ^ T, Q tang B T, Q = T, Q tang BT, x,

il en résulte immédiatement

ÏP=/|4 et l^)-^--^--

f'ip) y (7)

Ce sont précisément les deux corrections indiquées par la méthode de Newton (13ii), suivant qu'on part de la première substitution p ou de la seconde substitution 7.

Or, TP et TiQ sont les sous-tangentes {Géoju., Toi) qui répondent aux points A et B. Par suite, la méthode de Newton consiste à augmenter la valeur par défaut ou à diminuer la valeur par excès de la racine déjà séparée, de la sous-tangente qui, sur la courbe représentative de f{x), répond à l'une ou à l'autre limite.

D'après la définition de la dérivée et sa représentation géométrique (533), \njig- 68 conduit d'ailleurs au-méme résultat ([ue lay?^-. 65, et la fig. 66 au même résultat que la fig. 67. On a, en elfet, respectivement, pour ces deux figures,

/'(/?)=- tangAT.r, /'{q) =- tangBT,.r.

Le triangle rectangle ATP {/ïg. 68) et le triangle rectangle BT,Q i/ig. 66) donnent ensuite, en valeur absolue,

AP=TP tangATP r=-TP tangATr, BQ -^ TiQ tangBTiQ = T,Q langBT,^,

c'e^t-à-diie encore, puisque /(/j) = — AP et /(y) =:— BQ, Tl^— ^ et T.Q=/^.

533 ALr.ioBRK SCPKRIEUnF..

13V8. On voil en même temps que, si l'on mène la Uuif^enle en B dans les //^. 65 et 68, on obtient une sous-tangenle QT, dont loxlrémité T, tombe nécessairement de l'autre côté de n par rapport au point Q, et peut même n'ètie plus com- [irise dans l'intervalle PQ. La correction relative à «7 ne donne donc plus, dans ces deux cas, une valeur approcbée par excès, et elle peut môme conduire à une valeur (— OT, ou OT,) de la racine beaucoup moins approcbée que les limites p et q. Au contraire, dans les mômes figures, la sous-tangente TP donne nécessairement une valeur par défaut de la racine 011 l)lus approcbée que p.

Si l'on mène maintenant la tangente en A dans les y?,:,'. 66 et 67, on obtient une sous-tangente TP dont l'extréniité T tombe forcément de l'autre côté de R par rapport au point P, et peut même n'être plus comprise dans l'intervalle PQ. La correction relative à p ne donne donc plus, dans ces deux cas, une valeur approcbée par défaut, et elle peut même conduire à une valeur (OT) de la racine beaucoup moins approcbée que les limites/; et </. Au contraire, dans les mêmes figures, la sous-langente QT, donne forcément une valeur par excès de la racine OR plus approcbée que rj.

13V9. L'interprétation géométrique qu'on vient de présenter montre bien pourquoi la mélbode de Newton peut être en défaut, et elle justifie la règle de Fourier (13io), qu'il est facile de retrouver en considérant les figures précédentes.

En etïet, pour les Jîg. 65 et 68, où l'on doit [irendre le terme de correction

J\P) f'iP)' on voit immédiatement que, /(/>) étant positif (ou négatif), f'{jc) croît (ou décroit) constamment en tendant vers zéro. f" {x) est donc constamment positif (ou négatif); et, pour X =zp, f{x) etf"{x) sont de même sii^ne. tandis que ces tleux fonctions sont de signes contraires pour x=^q.

Pour \es/ig. 66 et 67, où l'on doit prendre le terme de correction

on constate é>galemenl ([ue, /[</) étant négatif (ou ()ositil ),

ALCÈBRE SI PL:IVIEUKK. 53o

f i-r) décroîl (ou croîlj conslammenl en s'éloignaiil de zéro. f" {oc) est donc constamment négatif (ou positif); et, pour X ^q, f{x) etf"{x) sont de même signe, tandis que ces deu\ fonctions sont de signes contraires pour x^=ip.

13o0. Il est clair (13io) que, lorsqu'une correction a été etlectuée, on peut géométriquement en obtenir une nouvelle, absolument dans les mêmes conditions, en partant de la nouvelle valeur admise

Oï =/> - '^r^ — t [ fis. 65 et 68] / {p) "

or

/;, [ A>. ^^ et 6;].

On n'a qu'à suj)poser le point dinterseclion K de la courbe représentative avecOj", entre T et <J ou entre 1^ et Ti, au lieu de le supposer entre P et O.

En considérant l'ordonnée TM avec l'ordonnée BQ (/ti,'. 69) ou l'ordonnée Al* avec l'ordonnée T,M, Kjig. 70), on mènera

^xK \s

la langente Ml" au point M un la lauyeule -Mi'l\ au poial Mj On atn^a ainsi

AM

et l'on pourra prendre pour valeur plus approcbée de la racine

or = i —

Oï ~./'Al

La valeur exacte y> — h ou 7 — /. de !a racine n'étant pas

r)34 ALGÈBRE .SVPF.niEinK.

rraiic.Iiic,/(.r) et f" {.r) rcsienl ioujouis de inêinc signe (13'»9), pour le point A et pour le point M {Jîg.Sç)) aussi bien que pour le ]ioint IJ et pour le point M, (Jig. 70), comme l'exige la règle de Fourier (13'i-ï) pour la réussite de la méthode.

Emploi simultané de la méthode de Newton et de la méthode des parties proportionnelles.

1351. En se re|)ortaiil à toutes les ligures précédentes (el en particulier aux fig. 69 et 70), on s'assure que la méthode des parties proportionnelles (1339) conduit à une valeur de la racine cherchée qui est approchée par excès, quand la méthode de Newton donne une valeur approchée par défaut, el inversement.

Et, en effet, la valcury> ou 7 à introduire dans la formule (A). qui résume la méthode de Newton et de Fourier (1345), doii rendre les deux fonclions/(a) et f"{jc) de même signe. Or, si c'est p qui remplit celle condition, la méthode de Newton donne une valeur par défaut el, la méthode des parties proportionnelles, une Naleur par excès (13^0); si c'est 7, la méthode de Newton donne une valeur par excès et, la méthode des parties proportionnelles, une valeur par défaut (I3i0).

Ainsi, les deux méthodes donnent toujours des valeurs de la racine cherchée^ approchées en sens contraires.

H en résulte que, en combinant convenablement ces deux méthodes, on peut très simplement et très rapidement trouver, à chaque opération, une limite de l'erreur commise, préférable à la limite supérieure indiquée au n° 13i6.

135*2. (Considérons, par exemple, la Jig. 69. Le raisonnement sera identique pour les autres dispositions.

OR, qui représente la valeur exacte de la racine, tombe

entre OT (valeur fournie par la méthode de Newton) et OS

(valeur fournie par la méthode des parties proportionnelles).

„ . , .... OT + OS . , , , Mais la moyenne ariihmetique — tombe également

entre OT el OS. Par conséquent, l'erreur commise en reml)laçaut 0|{ par cotte moyenne arithmétique est toujours