OS - OT

En définitive, si l'on emploie simultanément les deux méthodes et si l'on prend à chaque opération la moyenne arithmétique des deux résultats, l'erreur commise est toujours moindre que leur demi-différence. On saura ainsi quelles décimales on peut conserver avec certitude à la racine, en passant d'une opération à la suivante.

Applications.

13o3. I. Soit l'équation

C'est la seule à laquelle Newton ait appliqué sa méthode. Elle a pour équation aux carrés des différences (12i7, Jlo2)

Comme le premier membre de cette dernière équation ne présente pas que des variations, l'équation donnée n'a pas toutes ses racines réelles (1228); et, puisqu'elle est du troisième degré, elle a une seule racine réelle et deux racines imaginaires conjuguées. Nous nous proposons de calculer sa racine réelle, qui est positive (1010, 1215), ào,oooooi près.

536 Al.OÉBllE SUPLUIEtUF..

On peul ôcrire

3 est donc nue limite supérieure de la racine positive f|ue nous ciierchons. Eîi substituant 2 et 2, i à la place de jr, on a

2,1 , -r- O, oG 1

La racine tombe donc entre 2 et 2, i eî, en adoptant les notations précédentes, on peut poser

On a ici

D'après la règle de Fourier (1345), /{x) el f" (x) étant de signes contraires pour .r=/»=:2 et, de même signe, pour x=--q=:2,i, on obtiendra une nouvelle valeur de la racine, approchée par excès comme la limite q elle-même, en prenant ( 13i5) la valeur

Pour juger de cette première approximation, il faut consulter la méthode des parties proportionnelles, qui donne ici (13ol) la valeur approchée par défaut (1339)

La moyenne arithmétique des deux résultats obtenus ((jui conservera nécessairement toutes leurs décimales communes) est 2,09.4407. . ., tandis que leur demi-dilîérence est égale à o,oooi6r.... On a donc, comme nouvelle valeur approchée

ALGEBRE StPERlELKE. O,)^

do la racine, à moins de o,ooi, par excès ou pai' déraiit (1352),

Pour X ^= 2,09^, on trouve/(.r) ^ — o,oo6i534i6. Puisque la valeur par excès 2, i donne le résultat positif + 0,061, la valeur 2,094 est approchée par défaut, à 0,001 près, et la racine cherchée tombe entre 2,094 et 2,09.5.

Passons à la seconde correction. 11 faut encore partir de la valeur par excès 2,096, puisque c'est pour cette valeur ((ue /(.r) et /■"(.?•) sont de même signe. [Ou voit que le calcul se continue l)ien toujours de la même manière.]

Nous aurons donc, comme précédemment, jiour la nouvelle valeur ap[)rocliée,

/Ï2,oq5) ^ 0,005007875

2,')(),j — -^ ■ 7= 2,Oqo — r-^ — i-

La méthode des parties proporlionnelles donne à son lour, pour les nièmes limites,

2 , 095 — o , ooo44865 . . . = 2 , 09455 1 35 ....

La moyenne aiithmétique des deux résultats obtenus est 2,09455147..-. tandis que leur demi-différence est égale à 0,00000012.... On a donc, pour nouvelle valeur approchée de la racine, à moins de 0,000001. par excès ou par défaut,

Celle valetir, substituée à la place de se dans/(.r), conduisant au résultat négalif — 0,000005374708238849, est nécessairement approchée par défaut, puisque la valeur par excès 2,095 nous a donné un résultat i)ositif.

En poursuivant (si cela pouvait èlre nécessaire), la nouvelle valeur approchée contiendrait douze décimales exactes, et la racine, approchée par défaut à moins d'une unité du douzième ordi'e décimal, serait

r)38 Al.OKBUE SI l'ICRlEUnn.

Ncwlon a in(lu]iié pour celle racine, dans l'Ouvrage cilé, 9.,og.\:):)i^-.

1354-. II. Soit Véqualion

Nous avons vu (134^2) (|ug la plus petite de ses deux racines positives était comprise entre i, 356 et i,35-, et nous avons trouvé

C hei'chons s'il est [jossible d'approcher à 0,000001 prcs de cette racine, par une seule appoxinialion. On a ici

/(x):rr r'— 7.r-^-7, /'(.r)zzz3.r-^-7, /"(./) =r 6.r.

f{x)(iVf"{x) sont de même signe pour i,356 et de signes contraires pour i ,357. La nouvelle valeur approchée, toujours par défaut, sera donc (13i5)

La méthode des parties proportionnelles donne dans ce cas (1339, 1351) la valeur approchée par excès [en prenant en valeur ahsolue toutes les valeurs de/(j:)]

/(i,356) I , oob -i- 0,001

yXi,356)+/(i,357) 0,001326016