I , 356 — O , OO0896 1 2 . . . = I

La moyenne arithmétique des deux résultats ohtenus est 1 ,35689489. . . et leur demi-difîérence est 0,000001 23. . . .

On ne peut donc pas affirmer, en conservant les six premiers chiffres décimaux de la moyenne arithmétique, que la valeur de la racine est 1,356894 à 0,000001 près, par excès ou par

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ■^ig

délant. 11 esl possible que le ùeriiier chiffre 4 soil faillir trune uiiilé (' ).

En substiluant 1,356894 el 1,356890 dans /(a), on obtient deux résiillals positifs; mais, en substituant 1 ,356896, on obtient un résultat négatif. La racine, à 0,000001 près par défaut,

estdonc finalement

1 l-^n consultant la limite supérieure du n" 1316. {'J — p)~ — ^ on

trouve ICI — = . - , ■> c est-a-clire — >i.

m 2,9b7o6^ ni

54o AI.r.EBKï; SLIM.UIKUUF..

CIIAIMTRI' \.

RECHEHCHE DES H ACIXES IXCO.M.MENSUKABLES - .MÉTHODE D'APPIIOXIMATION DE LAGILVXGE.

Méthode d'approximation de Lagrange.

1355. Nous lie pouvons passer sous silence la méllioile d'approximation de Lagraxge, donnée par ce grand géomètre comme complément de sa méthode de séparation des racines réelles (1265). Celte méthode d'approximation, qui consiste à développer chaque racine incommensuiahle en fraction continue ('), exige des calculs en général fort pénihles, et on lui préfère celle de Newton; mais elle a, du moins, l'avantage d'être parfaitement régulière ol de conduire directement à une approximation certaine.

Comme la recherche des racines négatives d'une équation f{x) rrr o se ramène toujours à la recherche des racines positives de sa transformée en — x, nous supposerons dans co qui suit qu'il s'agit seulement de racines positives.

135G. Soit l'équation de degré /;/

Admettons (|u'on ail IrcMivé (par l'un des procédés de séparation indi(iués précétlemmeni) que cette équation a une racine réelle jc, et une seule. com|irise entre les deux entiers consécutifs/» et /> — i. Il faut ap|)rocher davantage de celte racine.

(') Traité de la résolution det équations numériques, Cli. III.

ALGEBRE SUPÉRIEUHE. 0:\l

l^our cela, v élant une quanlilé positive plus grande (iiie i, posons

Cela revient à ditninuer d'abord de p les racines de l'équation donnée (1061), puis à former l'équation aux inverses des racines de la transformée obtenue (1067). Dans ces conditions, la transformée en jc -[- p {en conservant le même symbole J? pour la nouvelle inconnue) aura une racine positive, et une seule, plus petite que i; sans quoi l'équation /(j;) =0 aurait, contre Ihypotbèse, plus d'une racine entre/? et/» + r. Il en résulte que l'équation aux inverses des racines de la transformée en x -\- p aura, à son tour, une racine positive, et une seule, plus grande que i. Cette équation aux inverses étant représentée par/, (j) =0, on pourra donc découvrir la partie entière de son unique racine positive plus grande que I, en substituant dans /i(^v) la suite naturelle des nombres ( 1027).

On aura, en premier lieu (1061 ),

f{x ^ p) =f{p) 4- /' ( p) X -h ^— X-' + . . . + ■' ./ ' - X'" zz: O.

On aura ensuite (1007)

Mf) =f{p)y"'-^f\i>)r"-'---y^y"'-'^- • -^ 77273.

La règle pour passer, ilaus le premier calcul, de l'équation f{x)=^o à la transformée /'i(/) est évidente, et elle s'applique à toutes les o[)érations successives.

Supposons maintenant que l'unique racine positive supérieure à I de l'équation (2) tombe entre les entiers consécutifs q ei q -h 1. Nous poserons alors

z étant une quantité positive supérieure à l'unilé. En raisonnant sur q, }■, z-, comme on vient de le faire sur />, r, y, on parviendra à une transformée

542 AL<;i:BllK SUPICUIEURE.

qui aura encore une racine positive, et une seule, supérieure à 1. Si celle racine tombe entre les entiers consécutifs /• et /• + I, on [)Osera

u étant une quantité positive supérieure à l'unité, et l'on écrira la transformée en «, comme on vient d'écrire la transformée en z. Le calcul se poursuivra de la môme manière jusfju'à ce que l'approximation jugée nécessaire soit atteinte. En rapprochant à ce moment les relations (a), ((3), {y), . . on obtiendra

c'esl-à-dire le développement de la racine cherchée en fraction continue.

Si .r était conimensurabte, la fraction continue devrait sf terminer, et l'une des transformées successives admettrai elle-même une racine entière. Mais , si j? est incommensurable, comme nous le supposons, la fraction continue qui re présente cette racine est nécessairement illimitée (152, 153)

1357. D'après les propriétés des fractions continues, ce développement spécial de la l'acine incommensurable cherchée présente les avantages suivants :

Si Ton forme les réduites consécutives de ^ (157), cba cune d'elles exprime la valeur de la racine aussi simplemen que possible, eu égaril au degré d'approximation obteni (IG8). Quant à ce degré d'approximation, on sait que a- t toujours comprise entre tieux réduites consécutives, la i< duile de rang impair étant la plus petite (loi). On sait au-que, lorsqu'on s'arrête à une certaine réduite, l'erreur corn mise est moindre que l'unité divisée par le carré du dénonii nateur de cette réduite, ou encore, que l'unité divisée par u produit des dénoiuinateurs de celte réduite et de la réduiw suivante. Par conséquent, en poursuivant les opérations, oi

pourra toujours parvenu' a une réduite jr-, donnant lapproxi

mation voulue y II suffira d'avoir 1,166}

j^\l<^. ou lV>v^A-.

1358. Il est clair que, si les deux nombres entiers p et p -^ I (1336) comprennent plusieurs racines réelles de ré([uation /(J7) = G, la transformée /i (/) = o, obtenue en posant

x^=p ~ 5 aura aussi necessau'emeut plusieurs racmes po-

sitives supérieures à l'unité.

Admettons, par exemple, que /? et /> -H i comprennent deux racines réelles de f\jc)zzzo. Ces deux racines étant représentées par

il faudra que y ait deux valeurs réelles supérieures à l'unité; et, si ces deux valeurs ont même partie entière q, il faudra, en posant

que z ait deux valeurs réelles supérieures à l'unité, etc. Mais, si les deux valeurs de )' ont des parties entières différentes <i et q' , on aura à la fois

et, à chacune de ces égalités, il ne correspondra qu'une seule valeur positive de ^ supérieure à l'unité, de sorte qu'on rentrera, pour le double calcul à effectuer, dans les conditions précédentes (1336).

D'ailleurs, lorsqu'on a opéré la séparation des racines de l'équation /(^) = G, et que ce cas de plusieurs racines comprises entre deux entiers consécutifs se présente, on peut toujours multiplier les racines de l'équation proposée (1037) par un nombre tel que les racines de l'équation substituée aient des parties entières différentes, de manière à appliquer à cette dernière équation la maix-he qu'on vient d'exposer (1336) sans aucun changement.

;V'j^ AI.CLIIIIK SLPKRIKURE.

135!). Il pciil arriver, en api)li(|uaiil la inélhode de Lagrange au calcul d'une racine incommensurable, (|u'on obtienne une fraclion continue i)ériodique (173). C'est ce (jui aura lieu lorsque, dans la suite constituée par la proposée et les transformées successives /",(/), /^(c), ..., il se trouvera doux éfjuations ayant une même racine supérieure à l'unité. Par exemple, si la racine .a?cberchée pour l'équation /(x) = o appartient aussi à V équation /,{z) =:o, il est clair qu'au lieu d'écrire (1356)

on pourra poser (174, 1°)

Oi", toute fraction continue périodique est (17i) l'une des racines irrationnelles d'une équation du second degré à coefficients rationnels, facile à établir. On a alors immédiatement l'expression exacte de la racine incommensurable clierchée, qui est de la forme a -+- s/b. En outre, si les coefficients de l'équation /■(^)=o sont commensurables, elle ne peut admettre la racine a h- \'b, sans posséder aussi (1035) la racine conjuguée a — y/6. Par conséquent, dans l'bjpoibèse examinée, un seul calcul donne à la fois deux racines incommensurables de la proposée.

1360. Dans la pratique, lorsque la méthode de Lagrange conduit à une suite de quotients incomplets se reproduisant dans le même ordre, on ne peut pas affirmer a priori que la racine correspondante est bien exprimée par une fraction continue périodique. On peut obtenir d'abord un résultat qui semble indiquer une fraction continue périodique; mais, en continuant l'opération , la périodicité apparente peut se trouvei' rompue.

Pour lever cette difficulté sans être obligé à de trop lungs ^ (iilculs, il convient de former l'équation du second degré

/Jt. J?- + V a- -i- }. HT. 0,

qui répond à la fraction continue périodique supposée. Si les

ALGEBRE SUPERIEURE. O^ù

coefficients de l'équation donnée /(j?) ^ o, sont conimensurables, et si la fraction continue, développement de la racine cherchée, est bien périodique, le trinôme

fJL J?- -i- V J" -T- /. =: o

sera (1359) un diviseur commensurable du second degré de/(^).

On devra donc effectuer la division de/( j:") par ce trinôme, jusqu'au i-este du premier degré Mx-f-N, et, dans le cas de l'affirmative, ce reste devra être identiquement nul, c'està-dire qu'on devra avoir M = o et N == o.

On connaîtra alors (1359) deux racines incommensurables de la proposée, et le quotient Q de la division représentera le premier membre de la nouvelle équation qu'on devra substituer à la proposée, dont le degré se trouvera ainsi abaissé de deux unités.

13G1. En exposant le théorème de Fourier, nous avons vu (126i) que la difficulté (qu'il n'avait pu vaincre entièrement) était de décider, lorsque deux substitutions consécutives dans le premier membre f{jc) de l'équation donnée entraînaient la perte d'un nombre pair de variations, si celte perte indiquait ou non l'existence de racines réelles entre les deux substitutions.

Il faut ajouter néanmoins que Fourier, dans les Mémoires de l'Institut pour 1827, annonça qu'on pouvait appliquer immédiatemeiit la méthode de L.vgka>ge à ces racines douteuses et que, en essayant ainsi leur développement en fraction continue, la distinction entre les racines réelles et les racines imaginaires ne devait pas manquer de s'opérer. Mais cette assertion n'était appuyée d'aucune preuve.

C'est M. VuNCE.M' (') qui l'a mise hors de doute, en démontrant une belle propriété des fractions continues. Voici l'énoncé même de l'auteur :

« Si, dans une équation numérique rationnelle en x dépourvue de racines égales, on fait successivement et conformément

(') Mémoires de la Société des Sciences de Lille, iSo^. — Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. I, 180H.

De C. — Cours. IV. 35

546 ALGÈURE SUPÉRIEURE.

au procédé (Je Lagrange,

X r= a -\ 5 XiTZTZ b -, > O'.^-r-. C -■ , • • • ;

on parvient toujours par la suite des transformations, et quels que soient d'ailleurs les nombres a, b, c, ... [supposés toutefois positifs et plus grands que i], à une équation transformée qui se trouve dans l'un de ces deux cas : ou de ne plus avoir que des permanences, ou de ne plus oflYir qu'une variation.

» Dans ce second cas, ré(|uation en a: a une racine réelle positive représentée par la fraction continue

et n'en a qu'une seule de celle valeur; le premier cas, au contraire, arrive toutes les fois que l'équation n'a aucune racine susceptible de l'expression indiquée. »

En vertu de celte propriété remarquable, la mélbode de Lagrange suffit pour reconnaître d'une manière certaine l'existence ou l'absence des racines réelles , lorsqu'il y a doute; et la séparation s'effectue bien d'elle-même, comme l'avait annoncé Fourier. Quand on parvient par cette mé- ' thode à une transformée qui n'a plus que des permanences, les deux substitutions considérées ne comprennent aucun» racine réelle de l'équation proposée. Quand on parvient ii une transformée qui n'a plus qu'une variation, les résultat? successifs fournis par les transformées précédentes formeni une fraction continue, dont les réduites successives représentent des valeurs de plus en plus approchées de l'une deracines réelles de la proposée comprises entre les deux substitutions indiquées.

Nous renverrons, pour la démonstration du théorème (h M. Vincent, aux Mémoires de ce savant. Nous ne croyons pa> devoir insister non plus sur les ingénieux perfectionnement;apporlés par Lagrange à sa méthode, dans le but de rendri l'approximation plus rapide. Au point de vue du calcul proprement dit, on peut, en effet, se servir de la méthode d<\ Lagrange pour obtenir, avec une approximation déterminée,!

les premiers chiffres de la racine cherchée; mais il est ensuite préférable d'avoir recours à la méthode d'approximation de Newton, combinée avec celle des parties proportionnelles, comme on l'a expliqué dans le Chapitre précédent.

Pour mieux faciliter la comparaison des méthodes, nous terminerons en appliquant la méthode de Lagrange à deux équations déjà traitées.

Applications.

1362. I. Soit l'équation ( I ) f{x)^ x^ — ix — 5=0,

étudiée au n° 1333. Nous savons qu'elle admet une seule racine réelle comprise entre 2 et 3, et qu'on a/(2) = — i et/(3) = -f- 16.

Nous voulons obtenir cette racine à 0,000001 près. Nous avons donc ici (1337) k = loooooo, el il faudra parvenir à une réduite dont le dénominateur soit supérieur à \/k ou à 1000. Pour pouvoir nous arrêter juste à tempS; nous formerons les réduites de la fraction continue d'après la règle connue (137), au fur et à mesure de la détermination des quotients incomplets, et nous écrirons ces réduites entre crochets, à côté des relations qui mettent les quotients incomplets en évidence.

Nous poserons (1336)

La transformée enj- sera, daprès ce qui précède,

c'est-à-dire, en changeant les signes pour rendre le premier terme positif,

(2) /j( ) )= )3 loj2— 6j — [ = G.

Cette équation ayant une seule racine plus grande que i, on peut y substituer les entiers i, 2,8, ...; mais, comme o et 10 donnent un résultat également négatif, on commencera les substitutions seulement à 10. On a/i(io)= — 61 et /i (11) =4- 54- La racine cherchée tombant entre 10 el 11, on posera

La nouvelle transformée est

/2(-)=/l(lO)33-^y,(lO)22H---l— - 2-^ YTT ^"

OU, en changeant tous les signes,

(3) f-2(z) =^ 6l Z^— IJ^Z- — 20 3 I = O.

On 3/2(1)= — 54 et /2(2) = ^- 71. La valeur (le 3 est donc comprise entre i et u, et l'on posera

en = = ..,;

La transformée en u est

ou, en changeant tous les signes,

(4 ) /s'' II) = 54«* -r- l'm- — 89.7 — 61 = 0.

Cette équation a toujours une seule racine plus grande que 1. Comme on trouve /s (i) =— 71 et /s (2) =-1- 293, la valeur cherchée de u tombe entre i et 2, et l'on posera

La marche à suivre et les calculs à etl'ectuer étant toujours les mêmes, nous nous contenterons maintenant d'écrire les résultats successifs. L'indice de / augmente d'une unité quand on passe dune transformée à la suivante. Nous aurons (en changeant toujours les signes)

j\{.t) = 352.S-5 — 173 V- — 3o3.v — 71 = o, /gdt^-igS. /-(2) =-T-i447-

(fi)

f^i^t) = ig5f^'— 407^-— 883/ — 35> = o, 144-, /6(2)=-2i8G, /6(3) = -i399, /6(4)-

/-( II' ) =; 1 399(1'^ — ig4ofr'2 — 1 348(1' — njj = o. f-(\\ — — 2084, f- ( 2 ) —-^ 34 I ,

ALGÈBRE supÉraEURE. ;")4q

(9) fg(r) = 2084 /-^-f- loSir^ — 22Ô77' — 1899 = o,

(10) /9(^) = 34[fy3 6o57(/2 7.283^ — ao84 = 0,

y;(i2) = — 26840, /giiS) = -1-68181,

Le dénominateur de cette dernière réduite surpassant 1000. nous pouvons nous arrêter et prendre

L'erreur, commise par excès puisque la dernière réduite est de rang pair, sera moindre que

ou que

Cette erreur n'atteindra donc même pas le chiffre des dix-millionièmes. Et, en effet, en réduisant la valeur de .r en décimales, on

trouve

valeur exacte, d'après ce qui précède (13S3), jusqu'au chiffre des cent-millionièmes.

1363. II. Soit l'ef/uatio/i <i) f{x) = x^ — 7.r -1-7 = 0,

déjà considérée (13oi, 1334). Nous savons que cette équation a deux racines positives entre i et 2 et une racine négative entre — 4 et — 3.

La première des deux racines positives étant comprise entre i et -

et, la seconde, entre - et 2, on peut facilement transformer l'équation (i) en une autre équation dont les racines positives n'aient plus la môme partie entière (1338). Il suffit de multiplier par 2 les racines de l'équation (i), qui deviendra (1037) [en conservant le même symbole pour l'inconnue]

55o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

L'équalion {i) aura alors deux racines positives, la première entre 2 et 3, la seconde entre 3 et 4. et l'on pourra les calculer en suivant la marche ordinaire.

Rien n'empêche d'ailleurs de calculer les deux racines positives de l'équation (i), sans lui faire subir aucune transformation ( 1338). En effet, puisqu'elles sont toutes deux entre i et 2, on peut poser

et^ n'aura que deux valeurs, l'une plus grande que 2 cl correspondant à la plus petite valeur de a-, l'autre plus petite que 2 et correspondant à la plus grande valeur de .r.

Or, la transformée en r est ici

c'est-à-dire

On a alors

La transformée en j a donc bien une racine entre 2 et 3 et une racine entre i et 2. Par .suite, on posante la fois

les deux transformées en :; n'auront chacune qu'une seule racine plus grande que i, et les deux calculs, poursuivis parallèlement, conduiront aux deux racines positives de l'équation (i). Pour avoir ensuite sa racine négative, on remarquera que la somme de ses trois racines réelles est égale à zéro (1036).

Cherchons d'abord la plus petite racine positive .r,, en partant de

r = a -f- - • On aura successivement

fJz) =s3-r-s2 — 2-— 1 = 0. :; =1—-!-;

/^(u) =11^ — 3u-—in — i = o, Il = ^ — - ;

/7(.v) =i52i.ç3 — -igov^ — II04.V — 277 = 0. t = I -i- - ;

ALGEBRE SUPERIECRE.

La valeur de xi est donc

ei les réduites successives ont pour expressions

En s'arrêtant à l'avant-dernière réduite (qui est de rang impair), on commet une erreur par défaut moindre que

On a d'ailleurs

Par conséquent

.ri = ! ,356895

est la plus pelile racine positive de l'équation (i), à un millionième près par défaut.

Cherchons maintenant sa plus grande racine positive .r,. en parlant de

/ = ! + -• On aura successivement [d'après l'équation

/] (j- ) -- .) •' — î.) - -H 3 r -,- I ~ o et en conservant les mêmes notations pour ce second calcul J /•,■=, ^ .

f^(u) = u^ — iu- — 4 " — 1 = 0, Il = i -] — ;

Cette dernière transformée étant, par une propriété spéciale, identique à celle de même rang dans le calcul précédent, il est inutile d'aller plus loin. A partir du quotient incomplet 4, nous obtiendrons de part et d'autre les mêmes quotients incomplets dans le même ordre. La

.)5a ALGÈBRE St'PÉRIEURE.

valeur de .r-y csL donc celle fois

el les réduites successives ont pour expressions

I a 3 Ti. 41'» 9i' 25169 3i8i I I i i3 -iG'J ÔJ9 ib4i 1^)80

En s'arrêlanl à ravanl-dernière réduite, on commet une erreur par défaut moindre que

— — — — -^ — = 0 ,000000 Jq ....

i34i X iJiHo 2J21080

On a d'ailleurs

Par conséquent,

pourrait présenter une erreur par défaut supérieure à un millionième. On prendra donc, pour la plus jrrande racine positive de Téquation (1).

et l'erreur commise sera alors, par défaut ou par excès, inférieure à un millionième (il est facile de s'assurer que cette erreur est une très faible erreur par excès).

On aura enfin la racine négative x^ de l'équation (i) en prenant en signe contraire la somme de ses deux racines positives. Cette racine négalivc sera donc

et, d'après ce qui précède, elle se trouve ainsi obtenue à un millionième près par excès.

ALGEBRE SUPERIEURE.