RECHERCHE DES RACINES LMAGINAIRES

Méthode de Lagrange pour le calcul des racines imaginaires.

136i. Nous avons déjà dit quelques mois de la recherche des racines imaginaires d'une équation.

En construisant ses points racines (1016), on détermine graphiquement les racines imaginaires qu'elle peut admettre.

Au point de vue algébrique, le mieux est de recourir à l'élimination, comme nous l'avons expliqué (1198). La recherche des racines imaginaires est alors ramenée à la recherche des racines réelles d'autres équations déduites de l'équation proposée, et toutes les méthodes précédentes sont applicables.

Le théorème de Sturm (12G8) permet d'ailleurs de connaître exactement le nombre des racines réelles de l'équation proposée et, par suite, celui de ses racines imaginaires. Si l'équation a ses coefficients réels, ses racines imaginaires sont conjuguées deux à deux ( 1031).

1365. Lagrange, conformément à sa méthode (1265, 1355), procède comme il suit.

Supposons qu'on ait formé, relativement à Téquation considérée /(g) = o, l'équation aux carrés des différences des racines (1151, 1152). Cette équation

a (1228) autant de racines négatives (et sa transformée en — a autant de racines positives) que l'équation donnée a de couples de racines imaginaires conjuguées.

Si cette équation admet, par exemple, les deux racines ima-

ginaires conjuguées a -+- (3i et a — (3/, le carré de leur ditlérence sera — 4(5% et la transformée en — u de l'équation aux carrés des différences aura une racine positive égale à 4(3^ Par suite, si les racines positives de cette transformée sont «,, Ui, ii-i, . . ., les valeurs correspondantes de (3 seront

v/mi v/«7 y/«3

Pour trouver maintenant les valeurs de a associées aux valeurs de [3, on n'a qu'à substituer a^-hyi à la variable c dans l'équation donnée /(s) =o; en égalant ensuite séparément à zéro la partie léelle et la partie imaginaire de son premier membre, on la remplacera (1198, 1199) par les deux équations

L'une des valeurs de (3 étant substituée à y dans ces équations, les deux équations en ^ qui résulteront de cette substitution devront avoir pour racines communes les valeurs de a associées à la valeur choisie pour [3. Par conséquent, si l'on regarde / comme connue, les premiers membres des équations (A) admettront un plus grand commun diviseur en ^; et ce plus grand commun diviseur, égalé à zéro, aura précisément pour racines ( 1079) les valeurs de a associées à la valeur de [3 que v est supposée représenter.

Il y a plusieurs cas à distinguer.

Si toutes les valeurs de [3 sont inégales, chacune d'elles répondra à une seule valeur de a, et le plus grand commun divisem' dont nous venons de parler sera du premier degré. On devra donc poursuivre l'opération jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste du premier degré en x ; et, en l'égalant à zéro, la valeur de a; qu'on en déduira sera l'expression générale de a, c'est-à-dire que chaque valeur de (3 mise à la place' de / dans cette expression fera connaître la valeur correspondante de y..

L'équation donnée étant débarrassée de ses racines égales, si (3 présente plusieurs valeurs égales, les valeurs correspon-

ALGEBRE SUPERIEURE. 000

danles de a seront différentes pour chacune d'elles : le plus grand commun diviseur des premiers membres des équations (A) sera alors d'un degré indiqué par le nombre de ces valeurs égales de |3. 11 faudra donc pousser l'opération jusqu'à un reste de ce degré, qu'on égalera à zéro, et dont les racines (/ étant remplacé dans le premier membre de l'équation formée, par la valeur multiple de (3) seront les valeurs cherchées de a.

1366. Tant que les parties réelles des racines imaginaires de l'équation donnée, /(^) =o, diffèrent aussi bien entre elles que des racines réelles de cette équation, il n'y a rien à ajouter à ce qui précède. Mais il peut arriver que cette condition ne soit pas remplie. Dans celte hypothèse, l'équation aux carrés des différences peut avoir plus de racines négatives que la proposée n'a de couples de racines imaginaires conjuguées ; et il faut alors faire attention que, si la méthode conduit à des valeurs imaginaires pour les parties réelles des racines imaginaires, ces valeurs doivent nécessairement être rejetées comme inadmissibles d'après l'hypothèse.

Supposons, par exemple, que l'équation /(:;)=: o ait en même temps les deux racines imaginaires conjuguées

a -T- 3/ et y. — 3 i,

et une racine réelle a=iy.. L'équation aux carrés des différences aura les deux racines

( a — a ~ '^jiy- (M ( a — a — f3 iy,

c'est-à-dire, puisque a^^a, les deux racines négatives égales — j3-, en outre de la racine négative —4(3-, qui correspond aux deux racines imaginaires conjuguées. Or, les deux racines négatives égales — |3-, qu'on vient de trouver à cause de la racine réelle a égale à a, pourraient répondre également à ces deux couples de racines imaginaires conjuguées :

a.-^- et a,— -«, a.>-f--/ et a, /.

Ainsi, l'équation aux carrés des différences ayant trois racines négatives, dont une double, la proposée peut avoir une seule couple ou trois couples de racines imaginaires conjuguées.

556 ALGÈBRE SUPÉRIELRE.

On voit par là f|ne, si la transformée en — u de l'équalion aux carrés des différences F (m) admet, parmi ses racines positives, des racines égales, toute racine positive simple conduit bien, comme précédemment,;! une couple de racines imaginaires conjuguées de la proposée; mais que chaque racine positive multiple peut conduire à un nombre de couples de racines imaginaires conjuguées de la proposée, qui dépend de son ordre de multiplicité, sans être toujours égal à cet ordre.

Supposons, pour préciser, que F( — ?/)=:o ait une racine positive double égale à |3. Pour cette racine, il faudra poursuivre, comme nous l'avons dit, la recherche du plus grand commun diviseur des premiers membres des équations (A) [1365], jusqu'à un reste du second degré en x. Les racines de ce reste, égalé à zéro, seront les valeurs de a qu'on doit associer successivement à |3, Or, cette équation du second degré pouvant avoir ses deux racines réelles ou imaginaires, la valeur double de (3 répondra à deux couples de racines imaginaires conjuguées de la proposée ou à aucune.

De même, si F( — «) = 0 a une racine positive triple égale à (3, il faudra, pour celle racine, poursuivre la recherche du plus grand commun diviseur jusqu'à un reste du troisième degré en x. Les racines de ce reste, égalé à zéro, seront les valeurs de a qu'on doit associer successivement à ^. Or, cette équation du troisième degré pouvant avoir une racine réelle et deux racines imaginaires ou trois racines réelles, la valeur triple de |3 répondra à une seule couple ou à trois couples de racines imaginaires conjuguées de la proposée, etc.

Exemple.

1367. En remplaçant par z le symbole x, appliquons ce qui précède à l'équation déjà considérée (1362)

Elle a une racine positive que nous avons évaluée et deux racines imaginaires conjuguées, que nous nous proposons de calculer avec quatre chiffres décimaux à leur partie réelle et au coefficient de leur partie imaginaire. Nous avons déjà remarqué que léqualion donnée a pour équation aux carrés des différences (1333) l'équation

Yiu) = n^ — iiu--^ 36 « -I- 6 |3 = o,

ALGEBRE SUPERIEURE.

dont la transformée en — a est

OOT

F(— u) = y{u) = u^-^ lin- -!- 367< — 643 = o.

Cette équation a une seule racine positive ui, dont la détermination résoudra la question. Cherchons à approcher de cette racine, d'après la méthode de Lagrange ( 13S6). Nous aurons successivement (1362, 1363)

y i(c) = 38i'^ — aSi ('■' — 271' — I = o, 7.1(6) = — 271. 7,(7) =^i5-25,

7,(5) = -io53, 7,(6) =^8837,

I r 160 7 [tT

yz{t) — Io53^^ — 68>> /2 — 0760^ — 271 = o, 7i(6)= — 34975, 7:i(7) = -H 73 10,

La racine positive «1 que l'on cherche a donc pour développement en fraction continue