QQ I

La dernière réduite ^^— étant de ran» pair, l'erreur commise par

excès en s v arrêtant est moindre (tue , ou que

En prenant

= 5,iGi î5f

et en négligeant les deux derniers chiffres, on commet donc une erreur par défaut certainement moindre qu'un d x-m'llième. On a, avec la

558 ALGÈBRE SUPÉRXEURK.

/// cinc appro. ri m ci l ion ,

ai (Jrit/i/u., '3 i3)

Si l'on subàliluc maintenant .r-hji à la place de :■ dans l'équation donnée, on en déduit ( J363) les deux équations

On doit clierclier le plus grand commun diviseur en j- des premier» membres de ces équations et arrêter l'opération au reste du premier degré. Ce reste, égalé à zéro, conduit à la relation

d'où l'on déduit

En remplaçant. )" par p ou Sr- par HS^. on doit prendre alors {Arithm., 33 i)

valeur obtenue à un dix-millième près par excès ou par défaut. Les deux racines imaginaires cherchées ont donc pour expression, jusqu'à l'ordre décimal indiqué,

Élimination et méthode d approximation de Newton combinées.

1368. Quand on opère par voie d'élimination pour arriver à la détermination des racines imaginaires d'une équation (1198, 1199), on peut, après les premières substitutions, recourir à la méthode de Newton pour obtenir rapidement des résultats plus approchés. Celte marche semble devoir èlre préférée dans la pratique.

Nous nous contenterons de l'appliquer à l'exemple suivant.

1369. Soit à chercher lea racines de l'équation

(0 /(G) = ,.^-27..-i-8i=zo.

D'après le théorème des lacunes (1220), cette équation a au moins deux racines imaginaires. Le théorèiiîe de Sturm

ALGEBRE SUPÉRIEURE. OJQ

(1268) montre facilement qu'elle a ses quatre racines imaginaiies. La suite des fonctions donne, en effet, ce tableau :

/j2'~^ ol z — 024 — -4-

Pour trouver les racines dont il s'agit, nous poserons ^ = a? + ) /, et nous obtiendrons (J198, 1199) les deux équations

c'est-à-dire

On déduit de l'équation (3)

et, en substituant cette valeur dans l'équation (2), y est éliminée. On trouve ainsi, en changeant les signes des deux membres,

équation qui n'a, comme racines réelles (1215), qu'une racine positive et une racine négative. On pourrait la résoudre directement à ce point de vue; mais les calculs sont plus simples, si l'on change de variable en posant

On a alors 64^*^=;t'S 1296.^7-= 324 <', ^t l'équation en x devient

Celte dernière équation n'a qu'une racine positive, et c'est

56o ALGÈBRE SUPÉRIEU UE.

celle-là qu'il faut calculer. Enmeltaïit le premier membre de l'éfiualion (6) sous la forme

on voit qu'il faut commencer à 18 les substitutions entières. On a successivement

La racine positive cliercbée tombe donc entre 19 et 20; comme on a 9(19,1) =^-t- 50,471, elle tombe entre 19 et 19,1. On passe alors aux centièmes, et, comme on a

cette même racine est comprise entre 19,08 et 19,04. Une

première application do la formule de Newton (1345, 1346)

donne

o(ro.o3) — 3,1786-3 .

o\ig,o3) 762,4227

On a doue les deux limites 19,0341 et 19,0342, pour lesquelles on trouve

9(19,0341 ) ^ — 0,051780178179 et

Une nouvelle application de la formule donne

o(iq.o34i) — 0,051-80178179 ,

On a donc, comme nouvelles limites, k;, 03416787 et 19,03416788, de sorte qu'on prendra, par délaut,

La relation (5) conduira ensuite, avec la mèn.e a,)proximation (Arithm., 343), à la valeur

x^=- — =zir 2,18140825.

L'équation (4) donnera alors, pour la valeur positive de x {.irithm., 332),

c'est-à-(lirc {A rit/un., 343)

y—dz 1,290042; et, poit/- la valeur négati^'e de jc,

c'est-à-diru

On a donc, finalement, pour les qualre racines imaginaires de l'équation (i),

La marche qu'on vient d'exposer est également applicable aux équations dont tous les coefficients ne sont pas réels.

De C. — Cours. IV 36