DE LA RÉSOLUTION ALGÉRRIQUE DES ÉQUATIONS

OBSERVATIONS PRÉLIMINAIKES.

1370. Nous avons marqué (997) la distinction nécessaire entre la résolution des équations numériques et celle des équations générales, et nous avons dit que, au delà du quatrième degré, la résolution algébrique des équalions gé/ié /-a les devenait impossible.

Après avoir traité complètement de la résolution numérique des équations de tous les degrés dans le Livre précédent, nous allons consacrer celui-ci à l'exposition des métliodes spécialement applicables aux équations du troisième et du quatrième degré, et à certaines classes d'équations de tous les degrés. Mais là, nous serons forcé de nous borner, le champ à parcourir devenant beaucoup trop étendu.

Il convient d'abortl de remarquerque toutes les mélhodesqui ont été employées jusqu'à Lagrange, pour résoudre les équations générales du troisième et du quatrième degré, consistent à ramener leur résolution (par des substitutions ou transformations convenables) à celle d'une équation de degré inférieur, qu'on appelle la réduite ou la résolvante de la proposée. Les racines de la résolvante étant déterminées, celles de la pi'oposée s'ensuivent. La résolution de l'équation du second degré elle-même n'échappe pas au fond à cette marche {Alg. élém., 232).

Les racines de l'équation donnée étant ainsi des fonctions les racines de la résolvante, celles de la résolvante sont à leur

5'Î4 AI.OÈBRE SUl'ÉlUEURE.

loiiv (les foiulioiis des racines de la proposée. Il en résulte que les méthodes dont il s'agit reviennent à trouver une l'onction des racines de l'équation considérée qui puisse dépendre d'une équation de degré inférieur, et faire ensuite connaître facilement les racines de la proposée.

C'est d'après ces principes que Lagrange (') a donné une méthode uniforme très remarquable pour la résolution algébrique des équations des quatre premiers degrés, méthode qui peut s'appliquer également aux équations binômes de tous

les degrés.

Malheureusement, passé le quatrième degré, cette méthode ne conduit plus qu'à des résolvantes dont le degré est supérieur à celui de l'équation donnée et qui, par conséquent, ne peuvent plus utilement être employées à sa résolution.

Nous laisserons donc de c«Mé la méthode de Lagrange, d'ailleurs plus longue, et nous nous en tiendrons aux méthodes spéciales par lesquelles on est parvenu en premier lieu à résoudre algébriquement les équations du troisième et du qu;i-| trième degré.

(') Lagrange, Traité de la résolution des équations numériques, N'Hei XIII, et Mémoires de l'Académie de Berlin (1770, ly'yO- 1

Comme niluslre auteur l'indique, Vaxdermonde, par une métliode pl.i^, directe (c'est Lagrange qui parle), était arrivé en même temps que lui aux mêmes résultats {Mémoires de V Académie des Sciences de Paris, année i77i)'