CHAPITRE PREMIER

RÉSOLUTIOxN GÉNÉRALE DE L'ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ.

Cas particulier de l'équation du troisième degré.

1371. Comme nous l'avons fait pour le second degré {Algèbre élém., 231), nous considérerons d'abord un cas particulier.

Supposons que Téquation proposée n'ait ni terme du second degré, ni terme du premier, c'est-à-dire qu'elle se réduise à la forme binôme {Alg. élém., 267)

A étant une quantité quelconque, réelle ou imaginaire. On en déduit

et l'inconnue est l'une quelconque (8i-6) des racines cubiques de A.

Si l'on pose (836)

A = /(cosa -r- / sina),

on a, par la formule de Moivre (8i3 et suiv.),

3 - / a -f- 2 A- - . . a -r- 2 A" 77 X = V /■ I cos — — 5— r i sin

et l'on trouvera les trois valeurs de x ou les trois racines de l'équation (i), en substituant à l'entier k les valeurs o, i, 2.

On peut aussi se servir de cette propriété fondamentale, que, dans tous les ordres, les racines d'une quantité quelconque s'obtiennent en multipliant l'une d'entre elles par les racines correspondantes de l'unité (850).

Or, si l'on part de l'équation

0()() ALGKBRE SUPÉRIEURE.

dont rime dos racines est évidemment égale à i, on a, en la supprimant, c'est-à-dire en divisant (li) le premier membre r^ — I par jc — I, à résoudre Téqualion du second degré

.r''^-f- X + \ ^~ o, d'où résultent les deux autres racines (') — I -h < V^S — I — i\iï

ot il est facile de vérifier, comme on l'a déjà fait (Soi), qu;' chacune d'elles est le carré de Vautre. Ainsi, l'unité a trois racines cubiques, dont deux sont imaginaires, et si l'une de ces racines imaginaires est désignée par y., l'autre le sera par y}.

Par suite, en revenant à l'équation (i) ou .r^ — A =: o, si a est l'une quelconque des trois racines cubiques de A, les trois racines de l'équation (i) ont pour expressions

Cas général de l'équation du troisième degré.

1372. Prenons maintenant l'équation du troisième degré sous sa forme la plus générale

Ao •ï-'' -f- \ 1 X' -H A, a; + A3 = o.

Nous ramènerons d'abord le coefficient de son premier terme à l'unité en multipliant ses racines par 3 A^ (1057) ou en remplaçant X par

(') On trouverait facilement les mêmes résultais, à l'aide de la formule \ de Moivre appliquée à l'unité, c'est-à-dire à l'aide de la formule (8i7)

3/- ik- . . jAir 1/ 1 = cos — T, h i sin —7: —

A- = 0 donne ^1 = 1; k = i flonnc '\/ ^ = '- i — ; A' = 2 donne

V/'--^-'^ (Trigon.).

Il viendra

A,, J^^4- 3 AoAiO^'^H- qAjAjJ^" + 27 Ao A3= o

ou, en divisant par A,,,

jc^-+- 3Ai.r^+ QAoAa.r +27 AjAs^ o.

Pour faire disparaître le second terme de cette première transformée, il faut (i06i) remplacer r par

3 Al .

■r ^ ou par v — Ai.

(Jn voit (|ue cette double transformation revient à remplacer immédiatement, dans l'équation proposée, jc par

ce — Al

3Ao

Qu'on opère d'une manière ou de l'autre (en chassant les dénominateurs dans l'hypothèse de la transformation immédiate), on trouve pour nouvelle transformée

./■■^4-3(3AoA2— A])^ + (2A'J — 9A0A1A2+ 27A^A3) =0.

On peut donc réduire toute équation complète du troisième

degré à la forme

en posant

p=-i{3\o\,-Al), y^=2AÎ-9AoA,A,+ 27A^\3;

et, lorsqu'on aura ohtenu les racines de celte dernière équation, il faudra les augmenter de — Aj, puis diviser les résultats par 3Ao, pour avoir les racines de la proposée.

1373. Nous n'avons donc plus qu'à chercher les formules générales de résolution de l'équation

(i) x^-h pcc -h q =^0.

Pour cela, posons (2) j::=y-\-z.

L'équation (1) devient, par substitution,

^(jy ALoicBUF, StPÉKIEUr.E.

c'esl-à-dire, en dévcloppanl,

011, eu groupant les leinios,

(f hh) j^H- ;35+ <y -!-(>• +^) (3/2 4- /J) —o.

Mais le partage d'une quantité x en deux autres, /et z, peut SL' faire d'une infinité de manières ou, si l'on veut, les inconnues auxiliaires y et- n'étant assujetties qu'à la condition (2) on peut les soumettre à cette seconde condition, d'ailleurs arbitraire,

(3) ivz-^p^o ou z=i— 1^'

L'é(iualion (i bis) devient alors

(1) r-^j+V^o ou y« + r/.v3-|^ =0,

équation qui peut se résoudre comme les équations du second degré, en regardant r^ comme l'inconnue. Elle fera donc connaître V, d'où l'on déduira ensuite c par la relation (3), et l'on aura l'inconnue principale x par la relation (2). Comme on a à la fois, d'après ce qui précède,

r^H-G^^— 7 et y^^3 = — i- ,

on peut remarquer aussi qu'on connaît la somme et le produit des deux quantités r^ et z"", et qu'elles sont, par suite, les racines de l'équation du second degré {Alg. élém., 243)

Cl bis) t--^qt — '— —O,

réduite qui remplace alors la résolvante (4) en > (1370). On a donc finalement

^"=-^\/FI' ^'=-f-/f

c'est-à-dire

't, d'après (2),

^-^v^FI-v-iV?

El

Telle est la formule générale de résolution de l'équation du iroisième degré privée de son second terme. Cette formule est attribuée à Tartaglia, mais elle porte le nom de Cardan (^), qui lui a certainement donné une plus grande extension. ViÈTE et Albert Girard s'en son! ensuite occupés.

Les deux radicaux cubiques qui entrent dans la valeur de ^sont respectivement susceptibles de trois déterminations distinctes (8i6, 1371), En réunissant ces déterminations deux à deux de toutes les manières possibles, on obtiendrait donc «e/// valeurs pour l'inconnue, qui n'en admet que trois (1017). On remarque alors que, en vertu de l'équation de condition (3), on ne doit assembler que les déterminations dont le

produit est égal à — -■

Si l'on désigne alors par A et par B deux déterminations respectives satisfaisant à cette condition, par y. et par a- les deux racines cubiques imaginaires de l'unité, les déterminations du premier radical cubique de la valeur de x seront (830, 1371)

A, A a, ky}, et celles du second,

B, Ba, B^:-.

Le produit AB étant, par hypothèse, égal à — 4' et a^ étant

l'unité, le produit des déterminations à associer pour avoir les valeurs de x devra nécessairement être égal à ABa' ou à AB. et l'on aura ainsi, pour les trois valeurs de x [équation (6)]

^2^= A a -T- Ba-, ^3= Aa^^Ba,

(') Cardan et Tartaglia, savants italiens, nés au commencement du XVI* siècle; Viète, profond mathématicien français (i54o-i6o3) ; Albert Girard, géomètre hollandais, mort en i63j|.

o'jo algi:bre supérieure.

oti, en remplaçant a el a- par leurs valeurs (1371),

, . , .V" r»-'-iV'3 • A+B .(A-B)v/^ A h B ^— z= h i —

— \ — i\JZ