A -^^" + B -iiM :.- ^^^ - «ii^nil
ISTV. Les six autres valeurs de x qu'on doit rejeter sont, d'une part
A + Ba, Aa4-B, Aa^+Ba-,
et, de l'autre,
A + Ba^ Aa-+B, Aa-i-Ba.
Le produit des déterminations associées est ABa ou r- ?
pour les premières (puisque a''^= a^a == a); il est ABa- ou
— At- pour les secondes.
Par conséquent, Xa formule de Cardan résout à la fois les trois équations (1373)
x^-^px-^qzrzo, x'^ -\~ pax + q =zo, x^ -]- p X- X n- q ^= o;
et, en égalant à zéro le produit de leurs premiers membres, on obtient l'équation résultante du neui'ième degré qui, d'après les valeurs de a, oC-, y?, se réduit à
1375. La méthode exposée (1373) pour la résolution générale de l'équation du troisième degré privée de son second ferme est due à Hudde (•), et elle est applicable, que les coeflicients p Qi q soient réels ou imaginaires. Nous allons maintenant pousser plus loin la discussion de la formule de Cardan, en supposant ces coefficients réels.
(') Savant géomèlre hollandais (i633-i-o4).
ALGEBRE SUPERIEURE. 0" I
Discussion de la formule de Cardan, lorsque les coefficients p et 7
sont réels.
1376. Nous distinguerons trois cas.
Premier cas. — On a
Dans ce cas, l'équation (i) [1373] a nécessairement (1245) une racine réelle et deux racines imaginaires conjuguées. C'est ce que les formules (5) et (7) [1373] vérifient immédiatement.
En elfet, dans les valeurs (à) de / et de z, les radicaux cubiques recouvrant alors chacun une quantité réelle ont une de leurs déterminations réelle (130), et l'on peut désigner respectivement ces deux déterminations par A et par B. On voit donc, par les formules (7), que la racine ^, est réelle et que les deux autres racines x^Qi j^s sont imaginaires conjuguées; car l'hypothèse adoptée empêche qu'on puisse avoir A == B.
Deuxième cas.
- On a
L'équation (i) a, dans ce cas, trois racines réelles, dont deux sont égales entre elles (124-5).
En effet, d'après les valeurs (5) de j et de ;, on a alors
et les formules (7) donnent
.3:i = Ah-B, .r,r=zx^-
ou, si l'on veut, en conservant seulement la valeur arithmétique du radical,
^■j'I ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Troisième cas. — On a
Dans ce cas, réqualioii (i) a ses trois racines réelles et inégales ( 1243).
Au premier abord, les formules (5) et (7) [1373] semblent contredire ce résultat connu, puisque, dans les valeurs (5) de Y et de z, les deux radicaux cubiques recouvrent une quantité imaginaire et n'ont, respectivement, aucune détermination réelle ('). Mais il est facile de lever cette première difficulté.
La racine cubique d'une quantité imaginaire étant, rl'une manière générale, une imaginaire de même forme (8V6),
et
ont trois valeurs imaginaires, évidemment conjuguées (843). On peut donc (830) représenter les premières par
a -h ùi, {a-\-bi)y., {a ^^ bi)y.-^
et, les secondes, par
a — bi, ( a — bi) a, {a — bi) y.-.
Il vient alors, en se rappelant qu'on a
(') II n'y a pas lieu de sélonner de ce qui arrive ici; car, en posanl
lien n'exprime ou n'exige que les quantités y et z soient réelles. Et nos calculs montrent que ces quantités sont imaginaires, précisément quand les trois racines de l'équation donnée sont réelles.
et en associant toujours les déterminations dont le produit est — ^ (condition qu'on suppose remplie par les deux déterminations a -1- hi et a — bi),
Xi-= {a -h bi) -i-(rt — bi) =2a,
ir2 = (a + bi)y. -f- (« — bi)^.- = — a — b\/'6,
a:;i = (a + bi)x- H- (« — bi) y. ^ — r/ -h b\ o.
Les trois racines de l'équation donnée sont donc bien réelles, quoiqu'elles se présentent sous forme imaginaire. On peut montrer, en outre, qu'elles sont inégales.
On ne peut pas avoir x^=.x^, car b serait alors nul, et les trois racines cubiques des quantités imaginaires
fJ . . /'/- , P'
ne seraient pas toutes imaginaires; ce qui est impossible.
On ne peut pas avoir non plus x, = x^ ou Xy^= x^; car, de ici ^^ — a zp b\J^, il résulterait
3ai=qz^\/3 ou 6=i:zay/3.
On aurait donc
a -h bi ^= ayizr is^ 3 )
ou, a cause de a=: — (puisque y, est l une quelconque
des deux racines cubiques imaginaires de l'unité), a -\- bi^ — 2rt3c.
11 viendrait alors, en élevant au cube,
{a + biy = ~ 'L + t /^' -r- ^ =- 8«^
égalité impossible d'après l'bypotbèse -,- -v — < o, puisque le dernier membre est réel.
AI.GKBllE SUPÉRIEUnE.
Cas irréductible.
1377. Lo troisième cas ([n'on vient d'examiner est Irèremar(|nable. Les racines de ré(]iiation donnée sont alors toutes les trois réelles et inégales, et la formule de Cardan cache cette réalité sous une forme compliquée d'imaginaires.
II y a plus. Essayons de mettre effectivement les radicaux (■ubi(iui'S qui entrent dans la formule de Cardan sous la forme a + bi (\\xQ nous avons, théoriquement, supposée acquise dans ce qui précède.
Les trois racines de l'équation
ont alors pour expressions (137G, 3"= cas)
.ri=:2ff, 37.2 = — a — b\IZ, x-i^zz— a -\- b\/Z.
Les relations connues entre les racines (1036) donnent (failleurs
^1 H- ^2 H- ^3 rz: O, X^X^ + X^X-i -h X\X,i "~/>,
La première est satisfaite d'elle-même, et les deux autres deviennent, par substitution,
a- -h ^- =^ — -^5 ■? à^ — 6 ab- := q.
En éliminant b- entre ces deu\ équations de condition, il vient
OU
Or, la fonction qui caractérise la nature des racines de cette équation en a est précisément ( 12'»o)
ALGEBRE SUPERIEURE. 0~ >
OU, en multipliant par la quantité positive 64, ce ([ui est permis,
On retombe ainsi sur la fonction qui caractérise la nature des racines de l'équation proposée. Il en résulte que l'équation d'où a dépend a ses trois racines réelles et inégales comme l'équation en^, et que la difficulté pour calculer a est identiquement la même que pour calculer l'inconnue ic. Si l'on essayait de calculer b au lieu de a, on parviendrait à un résultat analogue. C'est à cause de cette curieuse circonstance qu'on a donné à ce troisième cas, véritable impasse mathématique, le nom de cas irréductible.
On pourrait, il est vrai, développer en série la racine cul)ique ou la puissance fractionnaire (827, 691, 968)
Dans ce développement, la partie réelle représenterait a et le coefficient de i représenterait b. Mais il est bien préférable de ramener à la forme trigonométiique les deux radicaux cubiques de la formule de Cardan. C'est ce que nous montrerons dans un instant (1380).
Calcul des racines de l'équation du troisième degré, lorsqu elle n'a qu'une seule racine réelle.
1378. L'équation donnée étant
a;^ — pjr -:- q = 0, reprenons la formule de Cardan
On a ici ^ h- — > o. Par conséquent, chaque radical ci:-
bique est susceptible d'une détermination réelle, et d'une seule (130); et, en désignant ces déterminations par A et par
li, on a, pour les trois lacines do l'éciualion (1373), A + B .(A-B)v/3
On n'aura donc qu'à calculer séparément, en s'aidant des 'J'ables de logarithmes, les deux déterminations A et B, et la (jueslion sera résolue par les formules précédentes.
On pourrait avoir recours aux transformations Irigonométriques pour rendre A et B directement calculables par loirarithmes ; mais la marche que nous indiquons est incontestablement plus rapide. Nous c>onnerons un exemple.
1379. Exemple. — Soit l'équation
.r^ — IX — 5 = o
déjà considérée (1367), et qui n'a qu'une seule racine réelle positive et deux racines imaginaires conjuguées. Nous avons trouvé pour ces racines les valeurs
.ri = 2,094551 ....
.rj = — 1,0473 . . . -r- 1 , 1359. . ./,
Nous allons les vérifier en appliquant la formule de Cardan, c'està-dire les expressions du numéro précédent. On a ici
c'est-à-dire, en réduisant en décimales et en extrayant la racine carrée,
L'emploi des logarithmes pour extraire les racines cubiques donne ensuite
A = 1 ,7o3i loS. . . . B = 0,3914406. . . ;
et il en résulte comme ci-dessus, avec quelques décimales de plus,
/7i = A H- B = 2,og455[4. • ., A+ B , (A — B)v/3
Calcul des racines de l'équation du troisième degré, lorsqu'elle a ses trois racines réelles : cas irréductible.
1380. La condition -^ + ^ < o est supposée remplie. La
quantité placée sous les radicaux du second degré de la foiimule de Cardan
<"^=\/-f-\/f^-\/-?VFI'
est donc négative, et la valeur de x se présente comme somme de deux quantités imaginaires : c'est le cas irréductible (1377). Pour ramener chaque imaginaire à la forme trigonométrique (836), nous poserons [en désignant par p le module et par cp l'argument qui sont communs aux deux imaginaires conjuguées]
— - = p cos o, ^ + =f— = — p2 sm- (
Il viendra
X = v/p(coscp -h t sin 9 ) -h \/p(cos(p — f sincp)
ou, en appliquant la formule de Moivre (846),
/ 3/-/ aA-TT + cp . . 2A-7:-4-cs\ l x=i\/p i cos ^ — - -h i sin 1
f -(- y/p ( cos ^ — ^ — i sm ^ — ^1-
Dans cette formule, on doit donner à l'entier k les valeurs successives o, i, 2, et il doit recevoir la même valeur dans les deux parenthèses du second membre.
De C. — Cours. IV. 07
