CALCUL DE X

log 2 = o,3oio3ou logy/p = o,i839S81

log COS 160°— I j = 1,9991272 log COS ( 120" — 5- j = 1 ,647*'^^ '

log(— xo) = 0,4841456 X2 = — 3,048917

logj^s = o. i3254(>7 X3 = I ,336896

Les valeurs des racines sont les mêmes que celles que nous avons trouvées au n" 1363, et l'on a bien (1382;

■i" Partager un héinispJière en deux parties é<iuWalentes par un plan parallèle au grand cercle qui lui sert de ba.fe.

Le plan sécant partage l'hémisphère en deux parties : l'une d'elles est un segment sphérique à une base, qui s'appuie sur le cercle déterminé par le plan sécant, et dont nous désignerons la hauteur par x. Le volume de ce segment sphérique à une base devant être la moitié de celui

584 ALGÈBIVI-: SVPÉRIEURE. il

de l'hcmisphère, nous aurons, en appelant R le rayon de la sphère {Géom., 596, 589),

L'équation du problème est donc

Si l'on prend pour plus de simplicité le rayon de la sphère pour unité, | cette équation devient

et c'est celle qu'il faut résoudre. On fera disparaître son second terme en

posant (1064)

X = Y -\- - ou .r =j- H- I,

d'où

j-3 — "iy — I = o.

Cette dernière équation a ses trois racines réelles ( 1376), puisqu'on a

d'après le théorème de Descartes, elle a une seule racine positive et deux racines négatives. Au point de vue de la question posée, x doit être positif et moindre que le rayon i. La relation .r = j -h i montre alors qu'il faut rejeter la valeur positive de)- et n'admettre, de ses deux valeurs négatives, que celle qui est moindre que i en valeur absolue. On a, pour l'équation en j (1380),

-v/'-IVI=

et cos o = — - = - •

11 en résulte

o = 6o° et i; = 20".

Les trois racines de l'équation en y sont donc

ji = 2 cos 20°, j)-2 = — 2 cos îo", j'3 = 2 cos 100°.

En se servant des Tables des lignes trigo/iome'triques naturelles qui terminent le t. II {Trigon., p. 763), on a

cos 20°= 0,93969, 00340"= 0,76604, cos 100° = — cos 80" = — 0,1 7865,

(;'est-à-dire

ji = 1,87938, ro = — 1 , 33208, ) 3 = — 0,34780.

ALGÈBRE SUPÉUIEURE. 585

iJii a. par suite (x = r -t- i),

D'après ce qui précède, la seule racine ^3 répond au problème tel qu'il a été énoncé. On en déduit, si l'on veut, pour la distance du plan sécant au centre de la sphère,

I — ^3 = o ,34730 = —Xz.

Résolution trigonométrique du cas irréductible.

138i. Quand Téquation du troisième degré à coefficients réels a ses trois racines réelles, il est facile de la résoudre en se reportant au problème de la Trisection de l'angle.

Nous avons vu, en effet ( Trigon.,T^), que, lorsqu'on cherche

cos - en lonction de cos«, 1 inconnue, jc ^1 cos-tj est detero o

minée par l'équation du troisième degré

, .; ,3 cos a

(1) œ^'—yx ^— =0.

On trouve alors, par laTrigonométrie, que les trois racines de cette équation sont réelles et ont pour expressions

cos

-5 COS ( 120° -h 7ï )» COS( 24o°-f- -^ ]

OU, d'une manière générale,

ikr.-r- a

cos

en faisant successivement /.■ égal à o, 1,2.

Si l'on pouvait identifier l'équation donnée du troisième degré

(2) x^ -\- px ^ fj ^o,

avec l'équation (i), ses racines seraient donc immédiatement connues. Or l'équation (2) renferme deux paramètres arljilraires/> et ^, tandis que l'équation (i) n'en renferme qu'un seul, cosr/. Pour rendre l'identification possible, il faut donc introduire une nouvelle quantité dans l'équation (i). C'est à quoi Ton arrivera en multipliant ses racines par un paramètre

.*)86 ALGÈBnE SUPÉRIEURE.

indéterminé p. On ol)licnl ainsi la transformée (1057) ( I ois) .r' — - p^x — p3 — — Q^

»'l les racines de cette nouvelle équation ont, à leur tour, pour expressions

{à) p COS 5 [A- = 0,1,2].

L'identification des équations (2) et (i bis), devenue possil)le, conduit aux relations

p =:— jP% r/ =: — y rj COS a.

il en résulte

P — kq

Ainsi, en donnant à p et à cos« ces valeurs, les racines de l'équation (2) se confondront avec celles de l'équation (i bis), de sorte qu'elles seront exprimées par la formule (3). On est ramené, par conséquent, d'une manière très simple, aux valeurs déjà obtenues (1380).

D'ailleurs, y^o«/' que ces valeurs soient admissibles, il faut, puisque cosa est réel, que p le soit aussi, c'est-à-dire que p soit négatif. Il faut, de plus, que le carré de cosa soit moindre que l'unité, puisque cosa est compris entre — i et -r-i. On en conclut

~ <— — ou V+— <o»

ce qui est précisément la condition pour que l'on se trouve elTectivement dans le cas irréduclibie (1380).

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 58j