RÉSOLUTION GÉNÉRALE DE L'ÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRÉ

Méthode de Ferrari.

1385. La méthode la plus anciennement connue pour résoudre l'équation du quatrième degré est celle de Louis Ferrari ('), élève de Cardan. Celte méthode réduit finalement la résolution de l'équation du quatrième degré à celle de deux équations du second degré : voici en quoi elle consiste.

Supposons qu'on ait ramené l'équation donnée à la forme

(i) œ'^Pa^^^Qa:^ + Ra:-i-S = o

.r* + Pa:^ = — Qjc-—l\œ — S.

bi l'on ajoute aux deux membres ^ — ^ — ? le premier membre

rleviendra un carré, et l'on aura

Cherchons maintenant à rendre également le second membre un carré, sans que le premier membre cesse de remplir celte condition. Pour cela, ^- étant une indéterminée, ajoutons aux deux membres de la dernière équation la quantité

(') Mathématicien italien de la première partie du xvi' siècle.

ALGEBRE SUPERIEURE.

Il viendra

Pour que le second membre de l'équation (2) soil aussi un carré, il suffît que v satisfasse {■■l/:^. éléni., 2?,9) à la relation

Pv \- /P^

c'est-à-dire, en développant, à l'équation du troisième degré

( 3 bis) y^ — Q v-2 + ( PR - \ S ) V — S (P^ — ^ Q ) - R2 = o.

Cette équation du troisième degré est la réduite ou la résolvante de l'équation donnée.

La connaissance d'une seule racine de la résolvante entraîne la résolution de l'équation (i), ou de l'équation (2) qui n'en diffère que par la forme.

En effet, l'équation (2) peut alors s'écrire [d'après l'équation (3)]

et, son premier membre étant la différence de deux carrés, elle se décompose (en ordonnant), dans ces deux équations du second degré

VT

fjui, résolues, à l'aide d'une seule valeur de ■>', font connaître les quatre racines de l'équation (i).

On voit que les racines de V équation générale du quatrième

ALGÈBRE SUPÉRIF.URK. 389

degré sont, comme celles des équations générales du troisième et du second degré, exprimées par des radicaux. Les deux équations (4) ayant respectivement pour racines-

r, et .T2, x-i et ^4, on a

X^Xi — —

c'est-à-dire, en ajoutant,

Ainsi, la résolvante (3 bis) a pour racine la fonction ci-dessus des quatre racines de la proposée, fonction qui n'est susceptible que de trois valeurs différentes, lorsqu'on varie la substitution des racines de toutes les manières possibles.

Méthode de Descartes.

1386. Nous avons déjà indiqué cette méthode (1087). Ert exprimant que le trinôme x--^px-i-q est un diviseur ûvt premier membre de l'équation proposée, soit par division, soit par identification (1085), on obtient deux équations entre les inconnues p ei q et, en éliminant l'une d'elles, on parvient à une équation du sixième degré qu'on peut toujours (que l'équation donnée du quatrième degré soit ou non privée de son second terme) ramener au troisième degré comm.e nous l'avons expliqué (1087). Celte équation du troisième degré est la résolvante, et elle ne diffère pas au fond de celle de Ferrari. Une seule racine de la résolvante étant déterminée, la résolution de l'équation générale du quatrième degré est encore ramenée à celle de deux équations du second degré.

Reprenons ici la question, en supposant l'équation donnée privée de son second terme, c'est-à-dire de la forme

(i) ^'h- A,z-"^+ Bj? -i- C= o,

ALOÈBnK SUPÉIUKURE.

Cl on simplifiant un peu l'éliniiiialion. Si l'un dos diviseurs (lu second degré du premier meud)re est x'^-\- px -\- q, celui qui lui sera associé sera de la l'orme x'^ — px-\-q', puisfjuc réf|uation donnée étant privée de son second terme, la somme do ses racines doit être nulle (1030,1087). On peut donc écrire idenliquement

ou

x'* ->r kx^ -^ B .2; H- C = ^* + /? I ^^ -î- 7