II- =: :;i, ("- ^=i Z9, l
c'est-à-dire ^
;/=;/-!, 1'=^/^,, tzzzsjz^.
l>a valeur de a- =: « + c + ^ est donc déterminée, et l'on a, d'une manière générale,
(•>) œ=\lz^ + \J7^-^\lzi,
formule élégante indiquée pour la première fois par Euler.
Chaque radical carré ayant deux valeurs égales et désignes contraires, si Ton combine ces valeurs de toutes les manières possibles, on trouve pour l'équation (i) /««iV racines au lieu de quatre. Mais il faut observer qu'on a élevé au carré les deux membres de la seconde équation de condition obtenue directement,
UVtr=--,
et qu'on a doublé par cela même le nombre des solutions {Alff. éléni., 104-). Il s'ensuit ([ue, pour avoir les véritables racines de l'équation (i), il faut que les radicaux carrés qui entrent dans la valeur (5) de a; soient pris ai-ec des signes
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5q3
erplicites, tels qu'on ait
cest-à-dire que le produit des trois valeurs associées soit de si:,'/ie contraire à cj.
Il est nécessaire de discuter avec soin la formule d'Euler.
Discussion.
1388. Trois cas peuvent se présenter (»), et ces trois cas conduisent pour les racines de l'équation (i) à des formules dillerentes, suivant que g est positif ou négatif
La réduite (4) (1387) ayant son dernier terme négatif, quel que soit g, a toujours une racine positive (1010) Par consé quent, les trois cas à examiner sont les suivants : i» la réduite a ses trois racines positives; 2° la réduite a une racine positive et deux racines négatives; 3° la réduite a une racine positive et deux racines imaginaires conjuguées.
Premier cas. - La réduite ayant ses trois racines z - positives, nous admettrons que les trois radicaux correspondants y^,. V^2»v/~-3. représentent des déterminations positives IVous aurons alors, pour les quatre racines ^„ a-, a-, ^ de l'équation (i), les deux Tableaux suivants, puisque 'le p'roduit uvt doit toujours être de signe contraire à g (1387).
g positif.
g négatif.
(*) La discussion de ces trois cas et de la formule d'Euler a éfP ^ • )o«r la première fois, d'une manière complètement exacte par M n"" Correspondance sur l'École Polytechnique, t. II). ' ^ ' ^^'^^
' De C. — Cours. IV.
5q/ ALGÈBRK SUPÉRIEURE.
On voit en même temps que, lorsque la résokante a srs trois racines posUives, l'équation proposée a ses quatre racw< réelles.
Deuxième cas.- La réduite ayant une racine posithe z, et deux racines négatives^, et ^3, nous admetlrons que v/£. represent.une détermination positive, landis que s/z, et v-s seront(l<quantités imaginaires qu'on peut mettre sous la forme t y/- -^ et /v'=^, en supposant également les deux radicaux posuilr^. Quand on multipliera les valeurs àes trois radicaux pour vérifier la condition u.t^- |, on obtiendra donc dans le premier membre un facteur i^ = - i qui permettra de changer I.si-ne des deux membres, sans modifier les signes àe^valeux des radicaux. Par suite, il faudra ici que le produit des troi^ déterminations choisies ait au contraire le même signe que 7. Il en résulte les deux Tableaux suivams pour les valeurs (k~ racines de l'équation (1) :
q positif.
q négatif.
On trouve les mêmes Tableaux que dans le premier comais renversés, c'est-à-dire que celui qui correspondait : ./ positif correspond maintenant à q négatif, et inversemoni
On voit seulement que, lorsque la résoWante a une racu. positi^-e et deux racines négati^-es, la proposée a,, en gênerai ses quatre racines imaginaires.
Nous disons, en général, parce qu'il peut arriver que lo deux racines négatives de la réduite soient égales entre elle^ Si l'on a =o=-3, l'équation proposée présente, a son tour deux racines réelles égales et deux racines imaginaires conjuguées.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5q5
Si q est positif, on a
•^1 = -!- v'- 1 + 2 v'^2 , J^o = + v^^ — 2 sjl. . Si q est négatif, on a
Troisième cas. — La réduite ayant une racine positives, et deux , radnes imaginaires conjuguées.-o et z^, nous admettrons que v/-i représente une détermination positive, et qu'il en est de I même pour v^. et y.-a, qui sont aussi des quantités imaginaires conjuguées quand on prend leurs signes parallèlement (831, 832). On aura donc
