V-2 = +(«^- hi), y''7^=.-i-(a~bi

Le produit des trois déterminations choisies pour u, v, t, devant être égal à — |, et le produit de a ~ bi par a ~ bi étant la quantité essentiellement positive a-~i-b-, les quatre racines de l'équation (i) auront absolument la même expres- ^jSion que dans le premier cas. On n'a donc qu'à se reporter aux deux Tableaux qui répondent à ce premier cas.

En consultant ces Tableaux, et la différence de deux imaginaires conjuguées étant une quantité imaginaire simple (803), tandis que leur somme est une quantité réelle, on voit que, lorsque la résolvante a une racine positive et deux racines imaginaires conjuguées, l'équation proposée a deux racines réelles et deux racines imaginaires conjuguées.

Si q est positif , les deux racines réelles sont

•^■i=^— V -1 -+- V'-i + v'-3 = — \/-i -t- la,

■t les deux racines imaginaires conjuguées ont pour expresion

•2^1 = -4- v/-i -^ y/^ — y/'^ = -4- y/'^ — 2 bi, j7, — + v'-i — V^^2 -+- V''-3 = + V''^ — 2 bi.

5q6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

5/ cj est négatif, les deux racines réelles sont

et les deu«. racines imaginaires conjuguées onl pour exprcsions

^3 = — y/ii -f- v/-2 — v/-3 = - \/-i -^- 2 ^',

Remarque.

1389. Nous avons trouvé pour résolvante (1387) l'équation complète du troisième degré

Pour la résoudre à l'aide des formules démontrées au Chapitre précédent, il faut faire disparaître son second terme en

remplaçant ^ par c — ^- On obtient comme transformée

P-+I2/- p^ pr q''

(ibis) --^^^.-4. + ^-gT=o.

Lorsqu'on aura trouvé les racines de cette transformée, i

faudra les augmenter de — -^ ou les diminuer de -^ pou

avoir d'abord les racines de la résolvante (4) et, ensuite, ei consultant les tableaux qui répondent à la nature des racine de la résolvante (1388), les racines mêmes de l'équation pro

posée.

Exemple.

1390. Soit à résoudre l'équation

x'* — ibx--^Ç>ox — 36 = 0.

La résolvante (4) (1389) est ici

25 , 769 inoo

ALGÈBRE SUPÉRIELRE. OQ"

36oo Qoo , • 1- 1 T 1

ou, en remarquant que -^ — = ■— r et en multipliant les deux membres

54 ib

de l'équation par i6,

On vérifie facilement que cette résolvante admet la racine 2,25. En divisant alors son premier membre par s — 2,25, on trouve pour quotient le trinôme i6z- — 164 -: -f- 400 qui, égalé à zéro, fait connaître les deux autres racines de la résolvante; ces racines sont 6,25 et 4- On a ainsi

On a d'ailleurs </ = 60 ou </ > o. En se reportant au premier cas de la discussion (1388), il vient donc, pour les quatre racines réelles de l'équation proposée,

V G , 2 5 — VM = — 1 , 5o — 2 , 5o — 2 = — 6.

OqS ALGÈBIlf: SUPKIUEURE.